1、第四十七讲：第四十七讲： 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 【学习目标学习目标】 1. 用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题； 2. 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【重点、难点重点、难点】 重点：利用空间向量的解决立体几何中的一些简单问题； 难点：立体几何中空间向量的应用。 【知识梳理知识梳理】 1 1、异面直线所成的角、异面直线所成的角 设ba,分别是两异面直线 21,l l的方向向量，则 a与b的夹角ba, 1 l与 2 l所成的角 范围ba,0 关系 | ,cos ba ba ba | | | |,cos|cos ba ba ba 2 2、
2、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为， 则sin. 3 3、二面角、二面角 （1）如图，CDAB,是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大 小 （2）如图 ， 1 n， 2 n分别是二面角l的两个半平面,的法向量，则二面 角的大小满足|,cos|cos| 21 nn，二面角的平面角大小是向量 1 n与 2 n的夹角（或其 补角） 【常用结论】 点到平面的距离点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为 | | | n nAB BO . 【典题分析典题分析】 题型题型 1
3、1：求异面直线所成的角：求异面直线所成的角 例 1 已知直三棱柱 111 CBAABC中， o ABC120，2AB，1 1 CCBC,则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为（） A. 2 3 B. 5 15 C. 5 10 D. 3 3 【方法规律】【方法规律】 用向量法求异面直线所成角的一般步骤： （1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.（2）确定异面直线上两个点的坐标， 从而确定异面直线的方向向量.（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.（4）两异 面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值. 【题组练习】 1、在长方体 1111 ABCDABC D 中，A
4、BBCa， 1 3AAa，则异面直线 1 AC与 1 CD所成角 的余弦值为（） A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 2、直三棱柱 111 ABCABC 中， 1 ABACAA ，60BAC，则异面直线 1 BA和 1 AC所成角的 余弦值为（） A 3 2 B 3 4 C 1 4 D 1 3 3、 如图， 在四棱锥ABCDP中，PA平面ABCD， 底面ABCD是菱形，2AB， o BAD60. （1）求证：BD平面PAC； （2）若ABPA ，求PB与AC所成角的余弦值. 题型题型 2 2：直线与平面所成的角：直线与平面所成的角 例 2 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 底面A
5、BCD， 底面ABCD为正方形，2PDDC， ,E F分别是,AB PB的中点. （1）求证：EFCD； （2）求PC与平面DEF所成角的正弦值. 【方法规律】【方法规律】 利用向量法求线面角的 2 种方法 （1）法一：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的 夹角（或其补角）. （2）法二：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角（夹 角为钝角时取其补角） ，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【题组练习】 1、 在正方体 1111 ABCDABC D 中， 棱AB， 11 AD的中点分别为E，F， 则直线EF与平面 11 AAD D 所成角
6、的正弦值为（） A 30 6 B 2 5 5 C 6 6 D 5 5 2、在正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD， 则直线BC与平面PAC所成的角是_ 3、 如图，在三棱锥ABCP中，PA平面ABC， o BAC90，FED,分别是棱CPBCAB, 的中点，1 ACAB，2PA. （1）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值； （2）求点P到平面DEF的距离. 题型题型 3 3：求二面角：求二面角 例 3 在三棱锥ABCS 中，ABC是边长为 4 的正三角形，平面SAC平面ABC， 32 SCSA，NM,分别为SBAB,的中点. （1）证明：SBAC ；
7、 （2）求二面角BCMN的大小； （3）求点B到平面CMN的距离. 【方法规律】【方法规律】 利用向量计算二面角大小的常用方法 （1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的 法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐（钝）二面角. （2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起 点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 【题组练习】 1、如图所示，二面角的棱上有BA,两点，直线BDAC,分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB.已知4AB，6AC，8BD，172CD，则该二面角的大小为. 2、在底面是直角梯形的四棱锥ABCDS 中， o ABC90，BCAD/，SA平面ABCD， 1BCABSA， 2 1 AD，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是. 3、已知菱形ABCD中，60ABC ，沿对角线AC折叠之后,使得平面BAC 平面DAC， 则二面角BCDA的余弦值为（）. A2B 1 2 C 3 3 D 5 5 4、如图三棱柱，ABCD为菱形，60BAD，FAFD，M 为AB的中点，平面FAD 平面 ABCD （）求证：ACFM； （）若直线FM与平面ABCD所成角为 45，求二面角MFDA所成角的余弦值
