1、第 38 讲等差数列及其前n和（ 二）（共（共 2 课时）课时） 【知识梳理】【知识梳理】 1.等差数列的性质：等差数列的性质： （1）在等差数列）在等差数列 n a中，从第中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）两个等差数列）两个等差数列 n a与与 n b的和差的数列的和差的数列 nn ab仍为等差数列仍为等差数列 （3）若数列）若数列 n a是等差数列是等差数列,则则 n ka仍为等差数列仍为等差数列 2设数列设数列 n a是等差数列是等差数列，且公差为且公差为d，（）若项数为偶数若项数为偶数，设共有设共有2n项项，则则-SSnd 奇
2、偶 ； 1 n n Sa Sa 奇 偶 ；（）若项数为奇数若项数为奇数，设共有设共有21n项项，则则SS 偶奇n aa 中(中间项 中间项)； 1 Sn Sn 奇 偶 . 3., pq aq ap pq,则则0 p q a , m nmn SSSmnd . 4.如果两个等差数列有公共项如果两个等差数列有公共项， 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列， 且新等差数列的公且新等差数列的公 差是两个原等差数列公差的最小公倍数差是两个原等差数列公差的最小公倍数 5等差数列的增减性等差数列的增减性：0d 时为递增数列时为递增数列，且当且当 1 0a
3、 时前时前 n 项和项和 n S有最小值有最小值0d 时为递减数列时为递减数列， 且当且当 1 0a 时前时前 n 项和项和 n S有最大值有最大值 【典例分析】【典例分析】 题型三：等差数列的性质及应用 【例【例 1】 (1)设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 S312，S945，则，则 S12_. (2)已知已知an，bn都是等差数列，若都是等差数列，若 a1b109，a3b815，则，则 a5b6_. 点评：以数列项或和的下角标为突破口，结合等差数列的性质灵活解答。 【题组训练题组训练 3】 1.已知已知an为等差数列，为等差数列，a2a818，则，则an的
4、前的前 9 项和项和 S9等于等于() A9B17C72D81 2.已知等差数列已知等差数列an，a22，a3a5a715，则数列，则数列an的公差的公差 d 等于等于() A0B1C1D2 3.已知等差数列已知等差数列 n a中，前四项的和为中，前四项的和为 60，最后四项的和为，最后四项的和为 260，且，且 7 ,520aSn则=（） A.20B.40C.60D.80 4.已知等差数列已知等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn.若若 S57，S1021，则，则 S15等于等于() A35B42C49D63 5.若等差数列若等差数列an的公差为的公差为 d，前，前 n 项和为项和为
5、Sn，记，记 bnSn n ，则，则() A数列数列bn是等差数列，且公差为是等差数列，且公差为 dB数列数列bn是等差数列，且公差为是等差数列，且公差为 2d C数列数列anbn是等差数列，且公差为是等差数列，且公差为 dD数列数列anbn是等差数列，且公差为是等差数列，且公差为d 2 6.设等差数列设等差数列 n a的前的前 n 项和为项和为 n S,若若 5 912 ,18 9 ,24 12 S SS 则=() A.18B.36C.50D.72 7.设等差数列设等差数列 n a的前的前 n 项和为项和为 n S，已知，已知 kaaSS kk 则若, 0, 0, 0 11413 （） A.
6、6B.7C.13D.14 8.设等差数列设等差数列 n a的前的前 n 项和为项和为 n S,且满足且满足 15 15 2 2 1 1 1817 , 0, 0 a S a S a S SS则中最大的项为（中最大的项为（） 10 10 9 9 8 8 7 7 . a S D a S C a S B a S A 5.4.3.2. )(, 5 13 ,n,.9 6 6 DCBA b a n n T S TSba n n nnnn 则且项和分别为的前等差数列 27 494 . 23 432 . 15 242 .16. )(, 12 1438 ,n,.10 7 6 DCBA b a n n T S TS
7、ba n n nnnn 则且项和分别为的前等差数列 题型四等差数列前 n 项和的最值问题 【例 4】 等差数列an中，a10，S5S12，当 n 为何值时，Sn有最大值？ 点评：求数列前n项和的最值的方法有： （1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解； （2）通项公式法：求使0(0) nn aa成立时最大的n值即可 【题组训练题组训练 4】 1.已知等差数列已知等差数列 n a满足满足：1 10 11 a a ， 且它的前且它的前 n 项和项和 n S有最大值有最大值， 则当则当 n S取到最小正值时取到最小正值时， n=_. 2.等差数列等差数列
8、 n a中，已知中，已知 105 73aa ，且，且0 1 a，则数列，则数列 n a前前 n 项和项和 n S) Nn（中最小的是（中最小的是（） 14131287 .SDSCSBSSA或 3.在等差数列在等差数列an中，中，a1a3a5105，a2a4a699，以，以 Sn表示表示an的前的前 n 项和，则使项和，则使 Sn取到最大值取到最大值 的的 n 是是() A21B20C19D18 4.若若 n a是等差数列是等差数列，首项首项0, 0, 0 10081007100810071 aaaaa，则使前则使前 n 项和项和0 n S成立的最大自然成立的最大自然 数数 n 是（是（） A.2012B.2013C.2014D.2015 5. n S是等差数列是等差数列 项和，的前nan, 20162018 SS 20182017 SS ,则则 0 n S 时时 n 的最大值是（的最大值是（） A.2017B.2018C.4033D.4034 6.已知等差数列已知等差数列 n a前三项的和为前三项的和为-9，前三项的积为，前三项的积为-15. (1)求等差数列求等差数列 n a的通项公式；的通项公式； (2)若若 n a为递增数列，求数列为递增数列，求数列 n a的前的前 n 项和项和 n S
