1、复数复数abi 点点 向量向量OZ O y x ( , )Z a b b a 第三十三讲：复数的有关概念第三十三讲：复数的有关概念 【学习目标】 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 【知识梳理】 1、复数的概念 （1）复数的概念：形如_的数叫做复数，其中a为_，b为_， i是_单位，且满足 2 i=_，全体复数组成的集合C叫做_. （2）复数的分类：复数( ,)zabi a bR (0) _(0) (0) (0) b a b a 实数 虚数 非纯虚数 （3）复数相等的充要条件： _( , , ,)abicdia b c dR特别地，0
2、_( ,)abia bR 2、复数的几何意义 （1）复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做_轴，y轴叫做 _轴. （2）复数集C与复平面上的点集、及以原点为起点的向量集是_对应的.如下图所示. （3）复数的模：对应复数z的向量OZ 的模r叫 做 复数zabi的 模 ，记 作|z或 |abi. |z=|abi= 22 ab.如果0b ，那么zabi是一个实数a，它的模等于_（就是a的 _）. 3、共轭复数 （1）定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_， 用_表示. （2）代数形式：abi与abi互为共轭复数( ,)a bR，即_.zabiz （3）
3、几何意义：非零复数 12 ,z z互为共轭复数它们的对应点 12 ,Z Z（或向量 12 ,OZ OZ ）关于 _轴对称. 【典题分析】 题型 1：复数的基本概念 例 1.设复数 2 2 6 (215) 3 mm zmmi m （其中mR）. （1）当_m 时是实数；（2）当_m 时是纯虚数. 方法：要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.设复数 ( ,)zabi a bR，若0zRb；若z为虚数0b；若z为纯虚数0b且0a ；若 00zab. 【题组训练】 1.设z是复数，则下列命题中的假命题是（） A.若 2 0z ，则z是实数B.若 2 0z ，则z是虚数 C
4、.若z是虚数，则 2 0z D.若z是纯虚数，则 2 0z 2.若复数(1)()i ai是实数（i是虚数单位） ，则实数a的值为（） A.2B.1C.1D.2 3已知复数 z 满足 12i z ，则复数z的虚部为（） A1B1CiD i 4i是虚数单位，复数 1 2 ai i 为纯虚数，则实数a为_ 5.若复数 2 (32)(1)aaai是纯虚数，则实数a的值为（） A.1B.2C.1或2D.1 7.实数m分别取什么数值时，复数 22 (56) (215)zmmmmi： （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 题型 2：复数相等的充要条件 例 2.已知()(1)xiiy，则实数, x
5、 y分别为（） A.1,1xy B.1,2xy C.1,1xyD.1,2xy 方法：复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式， 借助两个复数相等，可以列出方程（组）来求未知数的值. 【题组训练】 1.若(1)(2)iiabi，其中, a bR，i为虚数单位，则ab_. 2设zC， 2zzi，则z （ ） A1 2 i B 15 22 i C 3 4 iD1 2 i 3若虚数1 2i是关于x的方程 2 0 xaxb-(a，Rb)的一个根，则a bi（ ） A29B29C 21 D3 4若1zi ，则 1z z （ ） A0B 2 2 C1D 2 题型 3：复数的模
6、及几何意义 例 3. (1)a为正实数，i为虚数单位，| 2 ai i ，则a （） A.2B.3C.2D.1 (2)在复平面内，复数 3 i i （i是虚数单位）对应的点在（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 (3).在复平面内，复数 1 2 z i 对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 方法：复数的模的运算，先将复数化简为( ,)za bi a b R 的形式，再利用公式 22 | | zab；复 数与复平面的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此 复数加减法的几何意义可按平面向量的加减法理解，利用平行四边形法则
7、或三角形法则解决 问题. 【题组训练】 1复数 2 2 i z i （i是虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（） A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 2设复数z满足 1z ，则1zi 的最大值为（） A 21 B2 2 C 21 D2 2 3.已知02a，复数z的实部为a，虚部为1，则|z的取值范围是（） A.(1,5)B.(1,3)C.(1, 5)D.(1, 3) 4在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i z（ ） A1 2iB2i C1 2iD2i 5若复数z满足(1 2 )5zi ，则它的共轭复数z在复平面内对应的点在（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 6已知(12 )zii，则下列说法正确的是（） A复数z的虚部为 5 i B复数z对应的点在复平面的第二象限 C复数 z 的共轭复数 2 55 i z D 1 5 z 7已知复数z满足25zii，则在复平面内复数z对应的点 ,Z x y所在的曲线方程为 （） A 22 4xyB 2 4yxC2 0 xy D 22 1 48 xy
