1、第五十七讲：曲线与方程（共 2 课时） 【核心考点】 1、了解曲线与方程之间的对应关系，熟练数形结合思想； 2、能熟练地运用直接法、定义法和代入法等求动点的轨迹方程。 【知识梳理】 求轨迹的常用方法有直接法，定义法，代入法等。 1、直接法：是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件M |P(M)， 将几何条件直接翻译成,yx的形式( ,y)0F x,然后进行等价变换，化简为 ( ,y)0f x。 2、定义法：从分析问题的特点入手，运用有关知识，导出动点所满足的几何条 件符合某一基本轨迹或二次曲线的定义， 从而利用曲线的定义或利用其方程的一 般形式采用待定系数法求出动点的轨迹方程。 3、代
2、入法：此法又称相关点法，其特点是，动点随某已知曲线上的点运动而运 动， 将已知曲线上的点的坐标用动点的坐标表示，并代入已知曲线方程化简得轨 迹方程。 【典题分析】 题型一题型一: :曲线与方程基本概念曲线与方程基本概念 例 1、下列说法正确的是（） A.过点3,0A且垂直于x轴的直线的方程为3x ； B.到x轴距离为2的点的直线的方程为2y ； C.到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为1xy ； D. ABC的顶点0, 3A，1,0B，1,0C ，D为BC的中点，则中线AD的 方程为0 x . 【方法规律】考察曲线与方程之间的对应关系。 【题组练习】 1、方程 22 22 440 xy表
3、的图形是（） . A两个点.B四个点.C两条直线.D四条直线 2、(06调研)如果命题“坐标满足方程( , )0f x y 的点都在曲线C上” 是不正确的，那么下列命题正确的是（） . A坐标满足方程( , )0f x y 的点都不在曲线C上； .B曲线C上的点不都满足方程( , )0f x y ； .C坐标满足方程( , )0f x y 的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上； .D至少有一个点不在曲线C上，其坐标满足方程( , )0f x y . 3、设曲线C是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么C的方程是 . A0 xy.B0 xy.C| 0 xy.D|yx和|xy 4、作出方程 2 21yx
4、x所表示的曲线. 题型二题型二: : 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程 例 2、 （2011全国新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点0, 1A，B点在 直线3y 上，M点满足BAMBABMAOAMB,/，M点的轨迹为曲线C. （）求C的方程； （）略. 【方法规律】直接设点，带入关系式。 【题组练习】 1、 （2011）曲线C是平面与两个定点 1 1,0F 和 2 1,0F的距离的积等于常数 2( 1)aa 的点的轨迹.给出下列三个结论，正确的是_ 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称； 若点P在曲线C上，则 12 FPF的面积大于 2 1 2 a. 2、抛物线)0(2 2 ppxy
5、上各点与焦点连线的中点的轨迹方程是_ 3、圆 C 和圆 D 的半径都为 1，|CD|=4。过动点 P 分别做圆 C 和圆 D 的切线 PM， PN（M、N 为切点） ，使得|PM|=2|PN|。求动点 P 的轨迹。 题型三题型三: : 定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程 例 3、 （1）已知ABC中，A、B、C所对的边分别为, ,a b c，且acb 成等差数列，2AB ，求顶点C的轨迹方程. （2）ABC的顶点)0, 5()0, 5(BA，ABC的内切圆圆心在直线3x上， 则顶点C的轨迹方程是. 【方法规律】利用各种常见曲线的定义，写出轨迹方程。 【题组练习】 1、已知圆1) 1(: 22 y
6、xM，圆9) 1(: 22 yxN，动圆P与圆M外切且与 圆N内切，则圆心P的轨迹方程为. 2、已知 22 1xy点(1,0)A，ABC接于圆，且60BAC ，当,B C在圆上运 动时，BC中点的轨迹方程是 . A 22 1 2 xy.B 22 1 4 xy.C 22 11 () 22 xyx.D 22 11 () 44 xyx 题型四题型四: : 代入法求轨迹方程代入法求轨迹方程 例 4、 （2011高考）如图，设P是圆 22 25xy上的动点， 点D是P在x轴上投影，M为PD上一点， 且 4 | 5 MDPD 1当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 2略 【方法规律】也称相关点法：设相关点，设而不求，利用好已知的曲线的方程。 【题组练习】 1、P是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上的任意一点， 21 FF、是它的两个焦点，O是坐标原点， 21 PFPFOQ，则动点Q的轨迹方程是. 2、 设 21 AA、是椭圆1 49 22 yx 长轴的两个端点， 21 PP、是垂直于 21A A的弦的端点， 则直线 11P A与 22P A的交点M的轨迹方程是. 3、A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知| 4BC ，A到l的距离为3，求 ABC的外心的轨迹方程. 【课堂小结】本节课，你收获了什么？
