1、四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 专题八专题八 立体几何立体几何 狂刷 34空间点、线、面的位置关系 1空间中可以确定一个平面的条件是 A三个点B四个点 C三角形D四边形 【答案】C 【解析】在 A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故 A 错误； 在 B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故 B 错误； 在 C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故 C 正确； 在 D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故 D 错误. 2已知异面直线, a b分别在平面, 内，且c，那么直线 c 一定 A与ab，
2、都相交B只能与a b，中的一条相交 C至少与ab，中的一条相交D与ab，都平行 【答案】C 【解析】若 ? 与 ?，? 都不相交，则 ? 与 ?，? 都平行. 根据公理 4，则 ?，与 ?，? 异面矛盾. 故直线 c 一定至少与ab，中的一条相交. 3已知 ?，? 是异面直线，直线 ? 平行于直线 ?，那么 ? 与 ? A一定是异面直线B一定是相交直线 C不可能 是相交直线D不可能 是平行直线 【答案】D 【解析】直线 a 与 b 是异面直线，直线 ca， 直线 b 和 c 有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上， 如果 b 和 c 在同一平面上，二者的位置关系为相交； 如果 b 和 c
3、不在同一平面上，二者的位置关系为异面 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 如果 bc，则 ab，与已知 a，b 是异面直线矛盾，故答案为 D. 4已知直线 ? 和平面?，若 ?，? ? ?，则过点 ? 且平行于 ? 的直线 A只有一条，不在平面?内B只有一条，且在平面?内 C有无数条，一定在平面?内D有无数条，不一定在平面?内 【答案】B 【解析】假设过点 P 且平行于 l 的直线有两条 m 与 n，则 ml 且 nl， 由平行公理得 mn，这与两条直线 m 与 n 相交于点 P 相矛盾， 故过点 ? 且平行于 ? 的直线只有一条， 又因为点 P 在平面内，所以过点 P 且平行于 l
4、的直线只有一条且在平面内 故选 B. 5如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BC、BB1的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是 A直线 AA1B直线 A1B1 C直线 A1D1D直线 B1C1 【答案】D 【解析】只有 11 BC与EF在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 选项中的直线与EF都是异面直线， 故选 D 6如图所示，平面? t 平面? ? ?，? ? ?，? ? ?，? t ? ? ?，? ? ?，则平面 ? 和平面?的交线是 A直线 ?B直线 ? C直线 ?D直线 ? 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 【答案】D 【解析】l，? ? ?，
5、? ? ?， 又 ? ? ?，CD 又 ? 在平面 ? 内，? 为平面 ? 与平面?的交线故选 D. 7设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么 A直线l不平行于直线mB直线l与直线m异面 C直线l与直线m没有公共点D直线l与直线m不垂直 【答案】C 【解析】直线 l 与平面平行，由线面平行的定义可知：直线 l 与平面无公共点， 又直线 m 在平面上， 直线 l 与直线 m 没有公共点， 故选 C 8在空间四边形 ? 的边 ?，?，?，? 上分别取 ?，?，?，? 四点，如果 ?，? 交于一点 ?， 则 A? 一定在直线 ? 上B? 一定在直线 ? 上 C? 一定在直线 ? 或 ? 上D? 既
6、不在直线 ? 上，也不在直线 ? 上 【答案】B 【解析】由题意，?，? 相交于点 ?，则点 ? ? ?，且 ? ? ?， 又 ? ?平面 ?，? ?平面 ?，则 ? ?平面 ?，且 ? ?平面 ?， 则点 ? 必在平面 ? 与平面 ? 的交线上，即点 ? 一定在直线 ? 上 故选 B 9 空间中ABCDE， ， ， ，五点不共面， 已知ABCD， ， ，在同一平面内，BCD E， ， ，在同一平面内， 那么BCD， ，三点 A一定构成三角形B一定共线 C不一定共线D与AE，共面 【答案】B 【解析】设平面ABCD为，平面BCDE为，且ABCDE， ， ， ，不共面，则,BCCD， ,BCCD
7、，则, 必相交于直线l，且,Bl Cl Dl，故BCD， ，三点一定共线且位于 平面ABCD与平面BCDE的交线上. 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 故选 B. 10在正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 1 CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为 A 2 3 B 5 3 C 2 3 D 2 5 5 【答案】C 【解析】如图，连结BE， 在正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 1 CC的中点， CDAB， BAE是异面直线AE与CD所成的角（或所成角的补角） ， 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 则2AB ， 4 15BE ，ABB
8、E， 则 22 453AEABBE ， 异面直线AE与CD所成角的余弦值为 2 cos 3 AB BAE AE . 故异面直线AE与CD所成角的余弦值为 2 3 故选 C 11平面?内有不共线的三点到平面?的距离相等且不为零，则?与?的位置关系为 _. 【答案】平行或相交 【解析】若三点分布于平面的同侧，则与平行； 若三点分布于平面的两侧，则与相交 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 故?与?的位置关系为平行或相交. 12若直线 ? 和平面?平行,且直线 ? ? ?,则两直线 ? 和 ? 的位置关系为 _. 【答案】平行或异面 【解析】由条件可知直线 ? 和 ? 没有公共点,故直线 ?
9、 和 ? 的位置关系为平行或异面. 13若直线 l1与 l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l 是平面与平面的交线，则下列命题正确的 是 Al 与 l1,l2都不相交Bl 与 l1,l2都相交 Cl 至多与 l1,l2中的一条相交Dl 至少与 l1,l2中的一条相交 【答案】D 【解析】可用反证法. 假设l与 1 l， 2 l都不相交，因为l与 1 l都在平面内，于是 1 ll，同理 2 ll，于 是 12 ll，与已知矛盾，故l至少与 1 l， 2 l中的一条相交，故选 D 14已知 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 A若 ?，?，则 ?B若? t h
10、，? t h，则? C若 ?，?，则?D若 ? t ?，? t ?，则 ? 【答案】D 【解析】对于 A，若 ?，则 m，n 可能相交、平行、异面，A 错； 对于 B，若? t h? t h，则?、?可能相交、平行，B 错； 对于 C，若 ?，则?、?可能相交、平行，C 错； 对于 D，若 ? t ? t ?，根据线面垂直的性质定理可得 ?，D 正确. 故选 D. 15设, a b是异面直线，则以下四个命题：存在分别经过直线, a b的两个互相垂直的平面；存在分别经 过直线, a b的两个平行平面；经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；经过直线a有且只有一 个平面平行于直线b，其中正确的个数
11、有 A1B2 C3D4 【答案】C 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 【解析】对于，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断 正确； 对于，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确； 对于，当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断错误； 对于，假设过直线 a 有两个平面、与直线 b 平行，则平面、相交于直线 a，过直线 b 作一平面 与平面、相交于两条直线 m、n，则直线 m、n 相交于一点，且都与直线 b 平行，这与“过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以正确. 故选 C
12、16我国古代九章算术里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺， 无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体 ?，其三个侧面皆为等腰梯形， 两个底面为直角三角形，其中 ? ? ? 尺，? ? ? 尺，? ? ? 尺，? 间的距离为 ? 尺，? 间的距离为 ? 尺，则异面直线 ? 与 ? 所成角的正弦值为 A 9 130 130 B 7 130 130 C 9 7 D 7 9 【答案】B 【解析】过点 ? 作 ? t ?，如图： 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 根据题意知 ? ? ?，所以? 是异面直线 ? 与 ? 所成的角， 又因为 ? ?
13、? 尺， ? ? ? 尺， 且侧面为等腰梯形， 则 ? ? ? 尺， ? 间的距离为 ? 尺， 故 ? ? ? 尺，由勾股定理得 ? ? ? ? ?尺， 所以 77 130 sin 130130 FDC. 故选 B. 17在长方体 1111 ABCDABC D中，O是DB的中点，直线 1 AC交平面 1 C BD于点M，则下列结论正确 的是 1 C、M、O三点共线； 1 C、M、A、C四点共面； 1 C、O、 1 B、B四点共面； 1 D、D、O、M四点共面 AB CD 【答案】C 【解析】OAC，AC 平面 11 ACC A，O平面 11 ACC A， OBD，BD 平面 1 C BD，O平
14、面 1 C BD， O是平面 11 ACC A和平面 1 C BD的公共点； 同理可得，点M和 1 C都是平面 11 ACC A和平面 1 C BD的公共点， 根据公理 3 可得 1 C、M，O在平面 11 ACC A和平面 1 C BD的交线上，因此正确 11 AABB， 11 BBCC， 11 AACC, 1 AA， 1 CC确定一个平面， 又 1 MAC， 1 AC 平面 11 ACC A，M 平面 11 ACC A，故正确 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 根据异面直线的判定定理可得 1 BB与 1 C O为异面直线， 故 1 C、O、 1 B、B四点不共面，故不正确 根据异
15、面直线的判定定理可得 1 DD与MO为异面直线， 故 1 D、D、O、M四点不共面，故不正确 故选 C 18不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面的距离相等，且 A，给出以下三个命题：ABC中 至少有一条边平行于；ABC中至多有两边平行于；ABC中只可能有一条边与相交.其中 真命题是_.（填序号） 【答案】 【解析】如图，三点 A、B、C 可能在的同侧，也可能在两侧，其中真命题是. 19如图所示，若,G H M N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN是异面直线的图 形有_.（填序号） 【答案】 【解析】中，GHMN，中，连接GM，则GMHN且GMHN，故GH，MN必相交
16、， 符合题意. 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 20如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且 2 3ABBC ， 120ABC，若异面直线 1 AB和 1 AD所成的角为90，则 1 AA的长为_. 【答案】 6 【解析】如图，连接 1 CDAC，. 由题意得四棱柱 1111 ABCDABC D中， 11 ADBC， 11 ADBC， 四边形 11 ABCD是平行四边形， 11 ABCD， 1 ADC（或其补角）为 1 AB和 1 AD所成的角. 异面直线 1 AB和 1 AD所成的角为90， 1 90ADC. 四棱柱 1111 AB
17、CDABC D中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形， 1 ACD是等腰直角三角形， 1 2 2 ADAC . 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 底面四边形ABCD是菱形且 2 3ABBC ，120ABC， 2 3 sin6026AC ， 1 2 3 2 2 ADAC ， 22 22 1111 3 22 36AAADAD . 21（2019 年高考全国卷理数）如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD 平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN
18、，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作EOCD于O，连接ON，BD，易得直线 BM，EN 是三角形 EBD 的中线， 是相交直线. 过M作MFOD于F，连接BF， 平面CDE 平面ABCD，,EOCD EO平面CDE，EO平面ABCD，MF 平面ABCD， MFB 与EON均为直角三角形 设正方形边长为 2， 易知3,12EOONEN,， 35 ,7 22 MFBFBM ，BMEN. 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 故选 B 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时
19、，先 利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题 22（2018 新课标全国理科）在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ，则异面直线 1 AD与 1 DB所成角的余弦值为 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 【答案】C 【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面， 如图，则 11 B PAD，连接DP，易求得 1 = 5DBDP， 1 2B P ， 则 1 DB P是异面直线 1 AD与 1 DB所成的角， 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 由余弦定理可得 222 11 1 11 5455 cos 254 5 DBB PDP DB
20、P DB PB . 故选 C. 23 （2017 新课标全国理科） 已知直三棱柱 111 ABCABC中，120ABC，2AB ， 1 1BCCC， 则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为 A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 【答案】C 【解析】如图所示，补成直四棱柱 1111 ABCDABC D， 则所求角为 2 1111 ,2,212 2 1 cos603,5BC DBCBDC DAB ， 易得 222 11 C DBDBC， 因此 1 1 1 210 cos 55 BC BC D C D . 故选 C 【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是
21、通过平移直线，把异面问题化归 为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0, 2 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面 直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 24 （2015 安徽理科）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是 A若，垂直于同一平面，则与平行 B若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C若，不平行，则在内不存在与
22、平行的直线 D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】由 A，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故 A 不正确； 由 B，若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故 B 不正确； 由 C，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线， 故 C 不正确； 由 D，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故 D 项正确. 所以选 D. 25（2016新课标全国理科） 平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，/平面CB1D1，I平面ABCD=m， I平面 ABB1A1=n，则 m，n 所成角的正弦
23、值为 A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 3 【答案】A 【解析】如图，设平面 11 CB D 平面ABCD=m，平面 11 CB D 平面 11 ABB A=n， 因为平面 11 CB D，所以,mm nn，则,m n所成的角等于, m n所成的角. 过 1 D作 11 D EBC，交AD的延长线于点 E,连接CE，则CE为m. 连接 1 AB，过 B1作 111 B FAB，交 1 AA的延长线于点 1 F，则 11 B F为n. 连接 BD，则 111 ,BDCE B FAB， 则, m n所成的角即为 1 ,A B BD所成的角，为60， 四川天地人教育.2022 高考数学小题
24、狂刷 故,m n所成角的正弦值为 3 2 ， 选 A. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线 成形、解形求角、得钝求补. 26(2017 新课标全国理科) a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在 直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角； 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45； 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60. 其中正确的
25、是_.（填写所有正确结论的编号） 【答案】 【解析】 设1ACBC.由题意，AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线， 由,ACa ACb， 又 AC圆锥底面，所以在底面内可以过点 B，作BDa，交底面圆C于点 D，如图所示，连接 DE， 则 DEBD，DEb，连接 AD，等腰ABD中，2ABAD,当直线 AB 与 a 成 60角时， 60ABD ，故2BD ，又在RtBDE中，2,2BEDE，过点 B 作 BFDE，交圆 C 于点 F，连接 AF，由圆的对称性可知2BFDE,ABF为等边三角形，60ABF ，即 AB 与 b 成 60角，正确，错误. 四川天地人教育.2022 高考数学小
26、题狂刷 由图可知正确；很明显，可以满足平面 ABC直线 a，则直线AB与a所成角的最大值为 90，错 误. 故正确的是. 【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面 问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0, 2 ，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两 条异面直线所成的角. （2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围. 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷
