1、1 主主题题 函数的单调性 教学内容教学内容 1. 理解函数单调性的定义； 2. 会用定义证明函数的单调性，能应用单调性解相关题目。 （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 1. 如图为某地区 2012 年元旦这一天 24 小时内的气温变化图，观察这张气温变化图： 问题问题 1：气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？ 问题问题 2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大 气 温逐渐升高”这一特征？ 问题问题 3: 对于任意的 1 t、 2 4,14t 时，当 12 tt时，是否 都有 12 f tf t呢? 由问题由问题 3 的结果师生合作写出单调增区间的定义的结果师生合作写出单调增区
2、间的定义. 图像在区间4,14逐渐上升， 即在区间4,14内随着t的增大， f t也增大.对区间4,14内任意的 12 ,t t， 当 12 tt时，都有 12 f tf t. 于是给出单调增函数的定义：一般地，设函数( )yf x的定义域为A,区间IA：如果对于区间I内的 任意两个值 12 ,x x.当 12 xx时， 都有 12 ()()f xf x那么就说( )yf x在区间 I 上是增函数，I称为( )yf x 的单调增区间. 注：注：找出单调增函数概念中的关键词（区间内、任意、“当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf”）. 类比单调增函数概念，让学生给出单调减函数的概念.
3、 O x y ( )yf x 1 ( )f x 1 x 2 ( )f x 2 x 2 一般地，设函数( )yf x的定义域为A,区间IA：如果对于区间I内的任意两个值 12 ,x x.当 12 xx时，都 有 12 ()()f xf x那么就说( )yf x在区间 I 上是增函数，I称为( )yf x的单调减区间. （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 定义域是10,10，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性. 解解：单调区间有 10, 4 ， 4,1 ， 1,2 ， 2,8 ， 8,10 ，其中在区间 10, 4 ， 1,2 ， 8,
4、10 上是 减函数，在区间 4,1 ， 2,8 上是增函数. 这里可以向学生说明，区间开闭都是正确的。 例 2.利用定义判定(证明)函数 12 xxf在区间,上是增函数. 证明：证明：设 1 x， 2 x是 , 任意两个不相等的实数且设 1 x 2 x， 212121 = 2121 =20fxfxxxxx 由当 1 x 2 x时， 12 fxfx ，所以 21fxx 在 , 上是增函数. 【小结】判断函数单调性的方法步骤 1. 任取 12 ,xxD，且 12 xx； 2. 作差 12 f xf x； 3. 变形（通常是因式分解和配方） ； 4. 定号（即判断差 12 f xf x的正负） ；
5、5. 下结论. 试一试：求证：函数 1 ( )f x x 在区间(0,)上为单调减函数. 3 证明: 对于区间(0,)上的任意两个实数 12, ,x x且 12 xx 21 12 1212 11 ( )() xx f xf x xxx x ， 而由 12 0 xx ，得 21 0 xx ， 12 0 x x 12 ( )()0f xf x，即 12 ( )()f xf x。 所以,函数 1 ( )f x x 在区间(0,)上为单调减函数. 例 3. 判定函数 2 f xx，4,2x 的单调性，并求出它的单调区间. 解：解：由于34,2 ，14,2 而且31 ，但39f ， 11f，即 31ff
6、， 因此 f x在4,2上不是增函数. 由于04,2 ，24,2 ，而且02，但 00f， 24f，即 02ff， 因此 f x在4,2上不是减函数. 所以，函数 2 f xx在区间4,2上不是单调函数. 但是，我们知道 2 f xx在4,0上是减函数，在0,2上是增函数， 因此，函数 2 f xx的单调区间是4,0及0,2. 小结： 1. 2 (0)yaxbxc a的对称轴为 2 b x a ， 2 yaxbxc单调增区间单调减区间 0a , 2 b a , 2 b a 0a , 2 b a , 2 b a 2.ykxb （1）当0k 时，在, 上单调递增； （2）当0k 时，在, 上单调递
7、减. 3. k y x （1）当0k 时，在,00,和上单调递减； （2）当0k 时，在,00,和上单调递增. 注意强调类似于反比例函数的这种单调区间要写和，不能用并集符号。 4 试一试：判断函数 2 23f xxx，2,2x 的单调性，并求出它的单调区间. 0a ，对称轴为1x ， 因此，函数 2 23f xxx的单调区间是2,1和1,2. 例 4. 若函数1 2 axxy在2 ,(上单调递减，则实数a的取值范围是_； 解：解：二次函数 2 1yxax在(,) 2 a 上单调递减，故2 2 a ，4a 试一试：若函数 2 1yaxx在2 ,(上单调递减，则实数a的取值范围是_； 解：当0a
8、时，函数1yx 在(,2上单调递减，符合题意； 当0a 时，由题意， 0 1 0 1 42 2 a a a 。综上所述， 1 0 4 a。 无论是在不等式还是函数中，关于二次项系数含有字母的，首先讨论二次项系数是否为零。无论是在不等式还是函数中，关于二次项系数含有字母的，首先讨论二次项系数是否为零。 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 在区间(0，)上不是增函数的函数是（）C Ay=2x1By=3x21 Cy= x 2 Dy=2x2x1 2函数 f(x)=4x2mx5 在区间 2,)上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则 f(1)的值（）D A7B1 C17D25 3.
9、 已知f(x)在区间(，)上是增函数，a、bR且ab0，则下列不等式中正确的是（） B Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b) Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b) 4. 已知函数)(xf是定义在)2 , 2(上的减函数，若(1)(21)f mfm，求实数m的取值范围是。 答案： 3 0 2 m，根据定义域和单调性，列出三个不等式求不等式组的解集。 5 5. 求证：函数 2 2yx 在区间(,0上是单调增函数. 证明证明: 对于区间(,0上的任意两个实数 12, ,x x且 12 xx。 22 12121212 ( )()2(2)(
10、)()f xf xxxxxxx ， 而由 12 0 xx，得 21 0 xx ， 12 0 xx 。 12 ( )()0f xf x，即 12 ( )()f xf x。 所以,函数 2 2yx 在区间(,0上为单调增函数 6. 已知函数aaxxxf3)( 2 ，Ra. 若)(xfy 在 3, 1上单调，试求a的取值范围； 解解： （1）若函数单调递增，则3 2 a ，6a （2）若函数单调递减，则1 2 a ，2a 综上，6a 或2a 。 本节课主要知识点：函数单调性的定义，证明函数单调性的一般步骤，单调性性质的应用。 【巩固练习】 1. 已知函数 2 212f xxax在区间4 ,上是减函数，则实数a的取值范围是（）A Aa3Ba3Ca5Da3 2. 判断函数yx在定义域0,上的单调性. 证明：设 12 ,xx是0,任意两个不相等的实数且设 12 xx， 12 fxfx 12 xx 1212 12 1212 0 xxxx xx xxxx 由当 12 xx时， 12 f xf x，所以 fxx 在0,上是增函数. 【预习思考】 6 我们在研究函数奇偶性的时候，分析过以下两组函数图像 （一）（二） 通过函数图像，你发现他们对称区间上的单调性是怎样的？试着证明你的结论。
