1、2020-2022020-2021 1 学年新教材人学年新教材人教教 A A 版必修第二册版必修第二册第八章第八章立体几何立体几何 初步初步单元测试单元测试 一、选择题 1、某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A A 64 3 B B 32 3 C C 16 3 D D 8 3 2、某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（） A A2 3B B4 3 C C 2 3 3 D D 4 3 3 3、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为
2、（） A A 1 3 B B 2 3 C C1 1D D 4 3 4、已知正方体已知正方体 1111 ABCDABC D 的体积为的体积为16 2，点，点P在正方形在正方形 1111 DCBA 上，且上，且 1, A C 到到P的距离分别为的距离分别为 2,2 3 ，则直线，则直线CP与平面与平面 11 BDD B 所成角的正切值为所成角的正切值为 ( () ) A.A. 2 2 B.B. 3 3 C.C. 1 2 D.D. 1 3 5、正方体不在同一侧面上的两顶点正方体不在同一侧面上的两顶点 ( 1,2, 1)A ， (1,0,1)B ，则正方体外接球体积，则正方体外接球体积 是（是（） A
3、 A4 3B B 32 3 C C32 3D D4 6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 BM 与 ED 成45角 NF 与 BM 是异面直线 CN 与 BM 成60角 DM 与 BN 是异面直线 以上四个结论中，正确结论的个数是（ ） A1 个B2 个C3 个D4 个 7、如图所示如图所示，直三棱柱的高为直三棱柱的高为 4 4，底面边长分别是底面边长分别是 5 5，1212，1313，当球与上底面三条当球与上底面三条 棱都相切时球心到下底面距离为棱都相切时球心到下底面距离为 8 8，则球的体积为（，则球的体积为（） A A 160 5 3 B B 80 5 3 C C 96 2 3
4、 D D 256 3 3 8、下列说法中正确的个数是（下列说法中正确的个数是（） 圆锥的轴截面是等腰三角形圆锥的轴截面是等腰三角形； 用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥， 得到一个棱锥和一个棱台得到一个棱锥和一个棱台； 棱台各侧棱的延长线交于一点棱台各侧棱的延长线交于一点；有两个面平行有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体其余各面都是四边形的几何体 叫棱柱叫棱柱 A A0 0B B1 1C C2 2D D3 3 9、 已知一个几何体的三视图如图所示已知一个几何体的三视图如图所示， 图中长方形的长为图中长方形的长为2r， 宽为宽为r， 圆半径为圆半径为r， 则该几何体的体积和表面积分别为（则
5、该几何体的体积和表面积分别为（） A.A. 3 4 3 r ， 2 (32) r B.B. 3 2 3 r ， 2 (32) r C.C. 3 4 3 r ， 2 (42) r D.D. 3 2 3 r ， 2 (42) r 10、已知不同直线已知不同直线l、m与不同平面与不同平面、，且且l ，m ，则下列说法中正则下列说法中正 确的是（确的是（） A A若若 / ，则，则l/mB B若若 ，则，则l m C C若若l ，则，则 D D若若 ，则，则m 11、 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音 mengmeng，底面为矩形的屋脊，底面为矩形的
6、屋脊 状的几何体状的几何体） ，下广三丈下广三丈，袤四丈袤四丈，上袤二丈上袤二丈，无广无广，高一丈高一丈，问积几何问积几何. .已知该刍已知该刍 甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( () ) A A3 3B B5 5C C6 6D D1212 12、已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为27，且它的侧面展开图是一个半圆且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面则这个圆锥的底面 半径为（半径为（） A A 3 B B3 3C C2 3D D 6 二、填空题 13、有如下命题：有如下命题： 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；过不在一条直线上的三
7、个点，有且只有一个平面； 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； 平行于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行； 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 其中作为公理（基本事实）的是其中作为公理（基本事实）的是_（填写序号（填写序号） 14、 如图为一个几何体的展开图如图为一个几何体的展开图， 其中其中ABCD是边长为是边长为 6 6 的正方形的正方形， 6SDPD ， CRSC ， AQAP ，点点S、D、A、Q
8、及及P、D、C、R共线共线，沿图中直线将沿图中直线将 它们折叠它们折叠，使使P、Q、R、S四点重合四点重合，则需要则需要_个这样的几何体个这样的几何体，就可以就可以 拼成一个棱长为拼成一个棱长为 1212 的正方体的正方体 15、若三棱锥若三棱锥 PABC 的所有顶点都在球的所有顶点都在球 O O 的球面上，的球面上，PA 平面平面 ABCABC， 2ABAC ， 90BAC ，且三棱锥，且三棱锥P ABC 的体积为的体积为 4 3 3 ，则球，则球 O O 的体积的体积 为为_._. 16、用一块半径为用一块半径为 2 2 分米的半圆形薄铁皮制作一个无盖的圆锥形容器分米的半圆形薄铁皮制作一个
9、无盖的圆锥形容器，若衔接部分若衔接部分 忽略不计，则该容器的容积为忽略不计，则该容器的容积为_立方分米立方分米. . 三、解答题 17、 （本小题满分 10 分）如图如图，在正方体在正方体 1111 ABCDABC D 中中，P？Q分别是平面分别是平面 11 AAD D？平面 ？平面 1111 DCBA 的中心，证明的中心，证明: : （1 1） 1 /DQ 平面平面 1 C DB ； （2 2）平面）平面 1 /D PQ 平面平面 1 C DB . . 18、 （本小题满分 12 分）如图，已知正三棱柱如图，已知正三棱柱 111 ABCABC （底面（底面ABC是正三角是正三角 形，侧棱与底
10、面垂直形，侧棱与底面垂直） ， 1 2ABAA ，D，E分别是分别是 1 AA ， 1 CB 的中点的中点. . （1 1）证明：）证明： /DE 平面平面ABC； （2 2）求三棱锥）求三棱锥E ABC 的体积的体积. . 19、 （本小题满分 12 分） 如图在三棱锥如图在三棱锥 -P ABC中 中， ,D E F 分别为棱分别为棱 ,PC AC AB 的的 中点，已知中点，已知 ,6,8,5PAAC PABCDF . . 求证求证： （1 1）直线）直线 / /PA 平面平面DEF； （2 2）平面）平面BDE 平面平面ABC. . 20、 （本小题满分 12 分）如图所示如图所示, ,
11、底面为平行四边形底面为平行四边形 ABCDABCD 的四棱锥的四棱锥 P-ABCDP-ABCD 中中, ,E E 为为 PCPC 的中点的中点. .求证求证:PA:PA平面平面 BDE.(BDE.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论, , 并最终把推理过程用简略的形式表示出来并最终把推理过程用简略的形式表示出来) ) 参考答案参考答案 1、答案 A 解析根据几何体三视图，得出该几何体为底面为正方形，高为 4 的四棱锥，求出它的体 积即可. 详解 解：由题意可得: 该几何体为底面为正方形，高为 4 的四棱锥, 其体积为： 2 164 44 33 ，
12、故选：A. 点睛 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体体积的计算问题，属于基础 题目. 2、答案 A 解析由三视图还原原几何体，可知原几何体是直三棱柱，结合三视图的数据可计算得出 原几何体的体积. 详解：由三视图还原原几何体如下图所示： 由三视图可知，原几何体是直三棱柱，该三棱柱的高为2， 由三视图中的数据可知，原几何体的体积为 1 2322 3 2 V . 故选：A. 点睛 本题考查利用三视图计算几何体的体积，一般要求还原原几何体，考查空间想象能力与 计算能力，属于基础题. 3、答案 B 解析根据三视图可知几何体是一个以俯视图为底，高为 2 的三棱锥，先求得俯视图的面 积即三
13、棱锥底面积，再代入锥体体积公式求解. 详解 由三视图可得，几何体是一个以俯视图为底，高为 2 的三棱锥， 俯视图的面积为： 1 211 2 s 所以几何体的体积为 112 1 2 333 Vsh . 故选：B 点睛 本题主要考查了三视图，面积，体积的求法，还考查了直观想象和运算能力，属于中档 题. 4、答案 A 解析先通过计算可知点P为 11 AC 的中点, 连接AC与BD交于点O,易证AC 平面 11 BDD B ,根据直线与平面所成角的定义可知 CPO 就是直线CP与平面 11 BDD B 所成 的角,然后在直角 CPO 中可得. 详解 易知 2 2AB ；连接 1 C P ，在直角 1
14、CC P 中，可计算 22 11 2C PCPCC ；又 111 2,4APAC ，所以点P是 11 AC 的中点；连接AC与BD交于点O，易证AC 平 面 11 BDD B ， 直线CP在平面 11 BDD B 内的射影是OP， 所以 CPO 就是直线CP与平面 11 BDD B 所成的角，在直角 CPO 中， 2 tan 2 CO CPO PO . 点睛 本题考查了直线与平面所成的角,属中档题. 5、答案 A 解析计算两点之间的距离，再求其一半，即为外接球半径，代值即可计算. 详解 容易知： ,A B 是正方体的体对角线上的两点坐标 222 2222 3AB 故正方体外接球半径为 1 3
15、2 rAB 故 3 4 4 3 3 Vr 故选：A. 点睛 本题考查空间中两点之间距离的坐标运算，属基础题. 6、答案 C 解析根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直，不成45，NF与BM是异面直线， CN与BM成60，DM与BN是异面直线，故正确，故选 C 7、答案 A 解析设球心为O，三棱柱的上底面 111 A B C 的内切圆的圆心为 1 O ，该圆与边 11 BC 切于 点M，根据球的几何性质可得 1 OO M 为直角三角形，然后根据题中数据求出圆 1 O 半 径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积 详解：如图，设三棱柱为 111 ABCABC ，且 12,5,13ABBCAC ，
16、高 1 4AA 所以底面 111 A B C 为斜边是 11 AC 的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆 1 O ，圆 1 O 与 边 11 BC 切于点M， 则圆 1 O 的半径为 1 125 13 2 2 O M 设球心为O，则由球的几何知识得 1 OO M 为直角三角形，且 1 844OO ， 所以 22 242 5OM ，即球O的半径为2 5， 所以球O的体积为 3 4 (2 5) 160 3 5 3 故选：A 点睛 本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个： （1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形， 并在此三角形内求出球的半径，这是解决
17、与球有关的问题时常用的方法 8、答案 C 解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解. 详解 对于，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，正确； 对于，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，错 误； 对于，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长 线交于一点，正确； 对于，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个 同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是 平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以错误； 综上所述，正确命题的序号是，共 2 个 故选：C 点睛 本
18、题主要考查空间几何体的概念， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理 能力. 9、答案 B 详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为r， 圆锥的底面圆的半径为r，如图所示： 该几何体的体积为 223 12 33 Vrrrrr ； 该几何体的表面积为 22 1 222(32) 2 Sr rrrrr . 故选 B. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属 于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型， 也是高考热点.观察三视图并 将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正， 宽相等”
19、，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响， 对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组 合体的形状. 10、答案 C 解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 详解：对于A，若 / ，则 , l m 可能为平行或异面直线，A错误； 对于B，若 ，则 , l m 可能为平行、相交或异面直线，B错误； 对于C，若l ，且l ，由面面垂直的判定定理可知 ，C正确； 对于D，若 ，只有当m垂直于 , 的交线时才有m ，D错误. 故选：C. 点睛 本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握
20、空间中的平行关 系与垂直关系的相关命题. 11、答案 B 解析首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体 积. 详解： 由三视图换元为如图所示的几何体， 该几何体分为三部分， 中间一部分是直棱柱， 两侧是相同的三棱锥， 并且三棱锥的体积 1 1 3 11 3 ， 中间棱柱的体积 1 3 1 23 2 V , 所以该刍甍的体积是1 2 35 . 故选：B 点睛 本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型. 12、答案 B 解析设底面圆半径为r，高为h，根据题目条件列出关于r和h的方程组，解出 , r h . 详解：设圆锥的底面半径为r，高为h
21、，则母线长为 22 lrh ， 则圆锥的侧面积为 222 11 22 lrh ， 故表面积为 222 1 27 2 rhr ，得 22 31 27 22 rh ， 又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故 22 2 rrh ，即 22 2rrh ， 得 22 3hr ， 联立得： 3r ， 3 3h . 故答案为：B. 点睛 本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系. 13、答案 解析根据公理1 4可得出结论. 详解：公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命 题为公理1； 公理2:过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题为
22、公理2； 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线； 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行，命题为公理4. 命题为等角定理. 故答案为：. 点睛 本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题. 14、答案 24 解析先将展开图还原为原图：四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何 体的个数. 详解 将展开图折叠起来后，得到四棱锥P ABCD ，其中PD 平面ABCD，因此该四棱锥 PABCD 的体积为 1 6 6 672 3 ， 而棱长为12的长方体体积为12 12 12 1728 ， 所以需要 1728 24 72 个这样的几何体. 故填：24.
23、 点睛 本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题. 15、答案 20 5 3 解析根据几何体特征补图成长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可 求得体积. 详解 PA 平面 ABC，2ABAC ， 90BAC ，且三棱锥P ABC 的体积为 4 3 3 ， 即 114 3 2 2 323 PA ，解得 2 3PA ， 由题可得 ,PA AB AC 两两互相垂直， 对几何体补图成如图所示的长方体，不共面的四点确定一个球， 所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长， 即 222 12442 5PAABAC ， 所以外接球半径为 5， 体积
24、 3 420 5 5 33 V . 故答案为： 20 5 3 点睛 此题考查求三棱锥外接球的体积，关键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多 做积累，特殊几何体常见的处理办法. 16、答案 3 3 解析先由题意得到半圆形的弧长为2，设制作的圆锥形容器的底面半径为r，求出底 面半径与圆锥的高，从而可求出结果. 详解 半径为 2 分米的半圆形的弧长为2， 设制作的圆锥形容器的底面半径为r，则2 2r ，则 1r ； 则圆锥形容器的高为 22 213 ， 所以容器的容积为 2 13 13 33 V . 故答案为： 3 3 点睛 本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型. (
25、2)根据(1)中的结论再证明 11 /D P C B即可. 详解： （1） 由 1111 ABCDABC D是正方体,可知, 1 /DQ DB, 1 DQ 平面 1 C DB,DB 平面 1 C DB, 1 /DQ平面 1 C DB. （2）由 1111 ABCDABC D是正方体,可知, 11 /D P C B, 1 D P 平面 1 C DB, 1 C B 年平面 1 C DB, 1 /D P平面 1 C DB,由（1）知, 1 /DQ平面 1 C DB,又 111 DQD PDI, 平面 1 /D PQ平面 1 C DB. 点睛 本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题. 解析
26、 18、答案（1）证明见解析； （2） 3 3 （2）由E为 1 CB的中点，可得E到底面ABC的距离等于 1 1 1 2 BB ，再求出底面ABC 的面积，代入棱锥体积公式求解 详解： （1）如图，取 1 CC的中点E，连接DE，EE， / /ADCE，ADCE，四边形ACE D为平行四边形， 则/ /DEAC，AC 平面ABC，DE平面ABC，/ /DE平面ABC； E，E分别为 1 CB， 1 CC的中点， 11 / / /EEBCBC， BC 平面ABC，EE平面ABC，/ /EE平面ABC， 又DEEEE ，平面/ /DEE平面ABC， DE 平面DEE 则/ /DE平面ABC； （
27、2）E为 1 CB的中点， E到底面ABC的距离等于 1 1 1 2 BB 又底面ABC是边长为 2 的等边三角形， 13 2 23 22 ABC S 13 3 1 33 EABC V 点睛 本题主要考查直线与平面平行的判定以及锥体的体积，考查空间想象能力与思维能力， 考查了计算能力，是中档题 解析 详解 （1）由于,D E分别是,PC AC的中点，则有/ /PADE，又PA平面DEF，DE 平 面DEF，所以/ /PA平面DEF （2）由（1）/ /PADE，又PAAC，所以DEAC，又F是AB中点，所以 1 3 2 DEPA， 1 4 2 EFBC，又5DF ，所以 222 DEEFDF
28、，所以 DEEF， ,EF AC是平面ABC内两条相交直线，所以DE 平面ABC，又DE 平 面BDE，所以平面BDE 平面ABC 考点 线面平行与面面垂直 解析 连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,由已知 OE 为PAC 的中位线(小前提), 所以 PAOE(结论). (2)平面外一条直线和平面内一直线平行,则平面外的直线与该平面平行(大前提), PABDE,OEBDE平面平面(小前提), 所以 PA平面 BDE(结论). 上面的证明可简略地写成: 连接 AC 交 BD 于 O.连接 OE, 四边形 ABCD 为平行四边形, O 为 AC 的中点. 又E 为 PC 的中点, 在PAC 中,PAOE,OEBDE,PABDE平面平面, PA平面 BDE. 解析
