1、 一、知识回顾一、知识回顾 2.2.平面向量数乘运算的坐标表示：平面向量数乘运算的坐标表示： 4.4.向量的数量积向量的数量积： 3.3.平面向量共线的坐标表示：平面向量共线的坐标表示： 1.1.平面向量加、减运算的坐标表示：平面向量加、减运算的坐标表示： 5.5.向量垂直的数量积：向量垂直的数量积： ab=(xb=(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2) ) + + ab=(xb=(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2) ) - - =(x,y)=(x,y)a a a ab(b( 、b )b )共线共线x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=00
2、0 =| | |cos=| | |cosaba b ab ab =0=0 二、探究新知二、探究新知 已知已知 =(x=(x1 1,y,y1 1) )， =(x=(x2 2,y,y2 2) )，怎样用，怎样用 与与 的坐标表示的坐标表示 呢呢? ? a ab ba ab bb ba a 1 21 21 21 2 = x x +y y= x x +y y _ _ _. . j j_ _ _, ,j j _ _ _, ,j j_ _ _, , 2 2 2 2 i ii ii i1 11 10 00 0 ) )j jy y (x(x) )j jy y (x(xb ba a 2 22 21 11 1 i
3、 ii i 2 2 2 21 11 12 22 21 1 2 2 2 21 1 j jy yy y j jy yx xj j y yx x x xx x i ii ii i 三、平面向量数量积的坐标表示三、平面向量数量积的坐标表示 1.1.平面向量数量积的坐标表示：平面向量数量积的坐标表示： 2.2.平面向量的夹角的坐标表示：平面向量的夹角的坐标表示： 也就是说：也就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. . 设设 =(x=(x1 1,y,y1 1) )， =(x=(x2 2,y,y2 2) )，则，则 a ab b 3.3.平面向量垂直的
4、坐标表示：平面向量垂直的坐标表示： 4.4.平面向量长度的坐标表示：平面向量长度的坐标表示： 设设 =(x,y)=(x,y)，则，则 a a 设设 的起点、终点坐标分别为的起点、终点坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1) )、(x(x2 2,y,y2 2) )，则，则 a a 1 1 2 21 1 2 2 2 22 22 22 2 1 11 12 22 2 x xx x + +y yy y x x + +y yx x+ +y y 1 1 2 21 1 2 2 x x x x + +y y y y = =0 0 a ab=b=x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2 cos= =co
5、s= = ab | | | | | ab ab ab=0=0 2 22 2 | | | |= =x x+ + y ya a 2 21 12 21 1 = =( (x x - - x x，y y - - y y ) )，a a 2 22 2 2 21 12 21 1 = = ( (x x - -x x ) ) + +( (y y - -y y ) )a a 或或 2 22 22 2 = = x x + + y ya a (-3,3)(-3,3)因为因为 = = ， = =A AB BA AC C 例例1 1 若若A(1,2)A(1,2)、B(2,3)B(2,3)、C(-2,5)C(-2,5)，则
6、，则ABCABC 是什么形状？证明你的猜想是什么形状？证明你的猜想. . 四、典型例题四、典型例题 解解： 如右图，在直角坐标系中作出如右图，在直角坐标系中作出A A、B B、C C三点，三点， (1,1)(1,1) 因此因此ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 猜想猜想ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 证明如下：证明如下： 于是于是 A AB BA AC C C(-2,5) C(-2,5) A(1,2)A(1,2) B(2,3)B(2,3) Ox x y y 所以所以 =1=1(-3)+1(-3)+13=03=0，A AC CA AB B 四、典型例题四、典型例题 解解：(1
7、)(1) 2 2 ( (- -1 1) )+ +1 1 ( (- -3 3） = =-5-5 (2)(2) 2 22 22 22 2 - -5 5 = = 2 2 + +1 11 1 + +3 3 2 2 - - 2 2 (3)(3) 设与设与 共线的单位向量为共线的单位向量为(x,y)(x,y)，则，则 a a . 0 0 x x2y2y 1 1y yx x 2 22 2 5 5 5 5 - -y y， 5 5 5 52 2 - -x x或或 5 5 5 5 y y， 5 5 5 52 2 解得x解得x 所以与所以与 共线的单位向量为共线的单位向量为 a a 2 2 5 55 52 2 5
8、55 5 ( (, ,) )( (- -, , 5 55 5 或或- -) ) 5 55 5 设设 =(2,1)=(2,1)， =(-1,-3)=(-1,-3)，求：，求： (1) (1) (2) (2) 、 的夹角的夹角 (3)(3)与与 共线的单位向量共线的单位向量 (4)(4)与与 垂直的单位向量垂直的单位向量 例例2 2a a a a a a a ab bb b b b b b b ba a cos=cos= | |b b| | |a a| | b ba a 3 3 = = 4 4 、 的夹角的夹角a a b b 四、典型例题四、典型例题 解解：(3)(3)另法：另法： (4)(4)
9、设与设与 垂直的单位向量为垂直的单位向量为(x,y)(x,y)，则，则b b. . 0 03y3y- -x x 1 1y yx x 2 22 2 1010 1010 ，y，y 1010 10103 3 - -或x或x 1010 1010 - -，y，y 1010 10103 3 解得x解得x 所以与所以与 垂直的单位向量为垂直的单位向量为 b b 或或 3 3 1 10 01 10 03 3 1 10 01 10 0 ( (, ,- -) )( (- -, ,) ) 1 10 01 10 01 10 01 10 0 与与 共线的单位向量为：共线的单位向量为： a a y y) )( (x x,
10、 , | |a a| | 1 1 ( (2 2, ,1 1) ) 5 5 1 1 2 2 5 55 52 2 5 55 5 ( (, ,) )( (- -, , 5 55 5 或或- -) ) 5 55 5 另法：另法： 与与 垂直的单位向量为垂直的单位向量为 b b x x) )( (- -y y, , | |b b| | 1 1 3 3 1 10 01 10 0 ( (, ,- -) ) 1 10 01 10 0 设设 =(2,1)=(2,1)， =(-1,-3)=(-1,-3)，求：，求： (1) (1) (2) (2) 、 的夹角的夹角 (3)(3)与与 共线的单位向量共线的单位向量
11、(4)(4)与与 垂直的单位向量垂直的单位向量 例例2 2a a a a a a a ab bb b b b b b 例例3 3 用向量方法证明两角差的余弦公式：用向量方法证明两角差的余弦公式： cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin 四、典型例题四、典型例题 证明证明： A AO 如右图可知如右图可知(cos,sin)(cos,sin) B BO(cos,sin)(cos,sin) 所以所以 B BA A OOcoscos+sinsincoscos+sinsin 又又 B BA A OO c co os s| |B B| | |A A| |OOcos
12、cos 所以所以cos=coscos+sinsincos=coscos+sinsin 由由=+2k=+2k得得=-2k=-2k 所以所以cos=cos(-2k)=cos=cos(-2k)=cos(-)cos(-) 于是于是cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin 运用向量工具进行探索，运用向量工具进行探索， 过程多么简洁啊！过程多么简洁啊！ 五、课堂小结五、课堂小结 5.5.与与 共线的单位向量为共线的单位向量为a a y y) )( (x x, , | |a a| | 1 1 与与 垂直的单位向量为垂直的单位向量为a a x x) )( (- -y y
13、, , | |a a| | 1 1 1.1.平面向量数量积的坐标表示：平面向量数量积的坐标表示： 2.2.平面向量的夹角的坐标表示：平面向量的夹角的坐标表示： 设设 =(x=(x1 1,y,y1 1) )， =(x=(x2 2,y,y2 2) )，则，则 a ab b 3.3.平面向量垂直的坐标表示：平面向量垂直的坐标表示： 4.4.平面向量长度的坐标表示：平面向量长度的坐标表示： 设设 =(x,y)=(x,y)，则，则 a a 1 1 2 21 1 2 2 2 22 22 22 2 1 11 12 22 2 x xx x + +y yy y x x + +y yx x+ +y y 1 1 2 21 1 2 2 x x x x + +y y y y = =0 0 a ab=b=x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2 cos= =cos= = ab | | | | | ab ab ab=0=0 2 22 2 | | | |= =x x+ + y ya a或或 2 22 22 2 = = x x + + y ya a 四、巩固提升四、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第3636页练习第页练习第1 1、2 2、3 3题题 课堂作业课堂作业: : 第第3636页页习题习题6.36.3第第8 8、9 9、1010、1515、1616题题
