1、6.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算 及其几何意义及其几何意义 讲课人：邢启强 2 1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: : a A b B C ba a a A b B b O C ba 特点特点:首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连 特点特点:共起点共起点 b a b B a A BAab O 特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数 2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: : 3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: : 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 3 思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, aa
2、a ( a)( a)( a)? a O A a B a C a NM QP a a a OC OA AB BC a a a 记记: a a a 3a 即即:OC3a. 同理可得同理可得: PN( a)( a)( a)3a 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 4 思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即 3a a 3a 3a3 a . a (2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量
3、 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即 3a 3a3 a . a 3a a 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 5 定义定义 :a aa 注意实数 与向量 ，可以作积，但不可以作 加减法，即 ， 是无意义的 a a a a a a a a a a 0 0 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 数乘向量的运算律：数乘向量的运算律： 第二分配律第二分配律 (3) ().abab 结合律结合律(1) ()() ;aa 第一分配律第一分配律 (2)();aaa 特别的，我们有特别的，我们有 ()()(), (). aaa abab ab, 、 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘
4、运算统称为向量的线形运算。 对于任意的向量对于任意的向量 以及任意实数以及任意实数 恒有恒有 12 、 、， 22 aa 11 (b)=b 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 例例1：计算：计算： （1） ； （2） （3） ( 3)4a 3()2()ababa (23)(32)abcabc 练习课本练习课本 12a 5b 52abc 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 8 化简 1 5 324 23; 111 2232 342 3-xyxy a - bba ababab aa =3a-2b ba 3 1 12 11 =2ya 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 9 , , , ABCD MAB
5、a ADb abMAMBMCMD 例2 如图， 平行四边形的两条对 角线相交于点且你 能用 、 表示、和吗？ D C AB M a b 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 10 例 如图, 的两条对角线相交于点M, 且 ABCD =ABADMA MB MCMDa,b,a,b 、 、你能用表示和 A D C Ba bM 解：在ABCD中 - ACABAD DBABAD ab a b 平行四边形的两条对角线互相平分 1111 2222 MAAC a+bab 1111 2222 MBDBa -bab 111 222 MCACab 111 222 MDMBBD ab 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 1
6、1 )0( aaa有有何何关关系系？与与 结结 论：论： , .baab 如果那么 ， 是共线向量 结结 论：论： abba 反过来，如果与 是共线向量， 那么？ .abba 如果 ， 是共线向量，那么 , . ba ba 向量与非零向量 共线 当且仅当 有唯一一个实数，使得 练习课本练习课本 思考思考 讲课人：邢启强 12 判断下列各小题中的向量a与b是否共线 12 ,2 ; ae be 1212 2,22. aee bee a=-b a=-2b a,b共线 a,b共线 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 13 . ,23 5 1 25 3 共线共线和和求证：向量求证：向量 ）（ 满足满足、已
7、知向量已知向量 ba ba baba ba 3.例 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 BCAB33 BCAB 3 AC3 DEADAE 解：解： 与与 共线共线 ACAE 例例4:如图：已知如图：已知 试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ACAE ， 3 3BCDEABAD A B C D E 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 吗？为什么？吗？为什么？ 三点之间的位置关系三点之间的位置关系、你能判断你能判断 试作试作 、已知任意两个非零向量已知任意两个非零向量如图如图 CBA baOCbaOBbaOA ba .3,2, , , A A B B C C 2A CA BABC= uu
8、u ruuu r 、 、共线 a b 3b 2b a b O O 2 ABOBOA ababb 32 ACOCOA ababb 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 16 定理的应用定理的应用 1. 有关向量共线问题有关向量共线问题 . )0( 三点共线三点共线、CBA BCBCAB 3. 证明两直线平行的问题证明两直线平行的问题 . / / CDAB CDAB CDABCDAB 直线直线直线直线 不在同一直线上不在同一直线上与与 2. 证明三点共线问题证明三点共线问题 方法总结方法总结 讲课人：邢启强 17 解：解： 例例6:在四边形在四边形ABCD中，中， 求证：四边形求证：四边形ABCD为梯形为梯形 ， 2baAB ， 35 4baCDbaBC 28ba CDBCABAD BC2 BCAD直线直线/ BCAD/ 不在同一直线上与CDAB 所以四边形所以四边形ABCD为梯形为梯形 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 18 .2 . ,. 1 EFDCAB BCAD FEABCD 求证：求证： 的中点的中点、分别是分别是 、中中在任意四边形在任意四边形如图如图 A E B D FC 深化练习深化练习 讲课人：邢启强 19 课堂小结课堂小结
