1、6.1 平面向量的概念平面向量的概念 知识梳理知识梳理 1、向量的概念 有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量路 程、速率、质量、密度都是只有大小的量 平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小 2、向量的几何表示 有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以 A 为起点，B 为终点的有向线 段记作AB 起点要写在终点的前面 有向线段包含三个要素起点、方向、长度 向量的有向线段表示方法： 向量常用带箭头的线段表示 ， 它的长短表示向量的大小， 箭头的指向表示向量的
2、方向 向量也可以用黑体的字母表示，如 a，b，c.手写为cba ,。强调：箭头不能不写，否则表示数量 向量的模: |AB |(或|a|)表示向量AB(或 a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作 0，长度等于 1 个单位的向量称为单位向量 3、共线向量与相等向量 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量 a 与 b 平行，通常记作 ab 我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有 0a 相等向量是长度相等且方向相同的向量，a 与 b 相等，记作 ab任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线 段来表示，并且与有向线段的起点无关 共线向量：任一组平行向
3、量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相 同或相反若 a 与 b 共线，即 a 与 b 平行，记作 ab 知识典例知识典例 题型一 平面向量的基本概念 例 1下列命题中正确的是() A有相同起点的两个非零向量不平行 B单位向量都相等 C以坐标平面上的定点 A 为起点的所有单位向量的终点 P 的集合是以 A 为圆心的单位圆 D共线向量一定在同一条直线上 【答案】C 【分析】 根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断真假性即可 【详解】 在 A 中，向量的平行只与方向有关,与起点是否相同无关，故 A 错误； 在 B 中，单位向量的模相等，但方向不
4、一定相同，故单位向量不一定相等，故 B 错误； 在 C 中，因为向量AP 是单位向量，故| 1AP ，所以点 P 的集合是以 A 为圆心的单位圆，故 C 正确； 在 D 中，共线向量都平行于同一条直线或在同一条直线上，故 D 错误. 故选：C. 巩固练习巩固练习 下列说法中错误的是 () A有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 B若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D方向相反的两个非零向量必不相等. 【答案】C 【解析】 选项 A 中，有向线段是线段，因此位置是固定的，而向量是可自由平移的，但向量可用有向线段表示故 A 正
5、确 选项 B 中，由于零向量与任意向量共线，所以向量a 与b 不共线时，则a 与b 都应是非零向量，故 B 正确 选项 C 中，方向相反的两个向量一定共线，故 C 错误 选项 D 中，由于两向量的方向相反，不管长度怎样，则两向量一定不相等故 D 正确 选 C 题型二 共线向量与平行向量 例 2若 /mn ，/ /nk ，则向量m 与向量k () A共线B不共线C共线且同向D不一定共线 【答案】D 【分析】 利用反例判断选项即可. 【详解】 已知 / /mn ， / /nk ，若 0n ，则向量m 与向量k 可以不共线，当 0n ，则向量m 与向量k 共线. 故选：D 巩固练习巩固练习 如图所示
6、，四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形, （1）写出与BC 相等的向量： （2）写出与BC 共线的向量： 【答案】(1),AD DE (2),AD DE DA ED AE EA CB ， 【解析】 试题分析： 根据相等向量和平行向量的定义，结合几何图形的性质进行求解 试题解析： （1）与BC 相等的向量有：,AD DE ； （2）与BC 共线的向量有：,CB AD DA DE ED AE EA 题型三 模的应用 例 3设点O是三角形ABC所在平面上一点，若OAOBOC ，则点O是三角形ABC的_心 【答案】外心 【解析】 由OAOBOC 可得O点到三角形各顶点的距离相等，所以点O是三
7、角形ABC的外心 故答案为外心. 巩固练习巩固练习 如图所示，在圆 O 中，向量,OB OC AO 是() A有相同起点的向量B单位向量C模相等的向量D相等的向量 【答案】C 【解析】 ,OBOCAOr 故选 C. 题型四 相等向量 例 4已知 x,y 是实数,向量, a b 不共线,若(1)()0 xyaxy b ,则x _,y _. 【答案】 1 2 1 2 【分析】 由向量不共线，则, a b 均不为零向量，再由(1)()0 xyaxy b 得到方程组解得. 【详解】 解：因为向量, a b 不共线， 所以向量, a b 均不为零向量， (1)()0 xyaxy b 10 0 xy xy
8、 解得 1 2 1 2 x y 故答案为： 1 2 ； 1 2 巩固练习巩固练习 如图，在四边形ABCD中，若AB DC ，则图中相等的向量是() A AD 与CB BOB 与OD CAC 与BD DAO 与OC 【答案】D 【解析】 因为AB =DC ， 所以四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AC，BD 互相平分， 所以AO =OC 即AO 与OC 是相等的向量选 D 题型五 平面向量的应用 例 5已知飞机从甲地按北偏东 30的方向飞行 2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30的方向飞行 2000km 到达丙 地，再从丙地按西南方向飞行 1000 2km 到达丁地，问丁地在甲地的
9、什么方向？丁地距甲地多远？ 【答案】丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2km. 【详解】 如图所示，A、B、C、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形 ABC 为正三角形， AC2000km. 又ACD45，CD1000 2，ACD 为直角三角形， 即 AD1000 2km，CAD45. 故丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2km. 巩固练习巩固练习 一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进 1 米，逆时针方向转变度，继续按直线向前行进 1 米，再逆时针方向 转变度，按直线向前行进 1 米，按此方法继续操作下去. （1）按 1100 比例作图说明当=45时，操作几次时
10、赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，应满足什么条件？ 【答案】见解析. 【解析】 试题分析： （1）根据要求画出图形，由作出的图形可得操作的次数（2）赛车若能回到出发点，则必须满足赛车经过多次方向 转变后的位移为零根据多边形的内角和定理求解可得结论 试题解析： （1）如图所示，操作 8 次后，赛车的位移为零； （2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零 按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180的正多边形， 由多边形的内角和定理可得 (180)(2) 180nn， 解得 360 n ，且3,*nnN 故应满足的条件为 360 n ，且 3,*nnN 巩固提升巩固提升 1
11、、在下列结论中，正确的是_(填序号) (1)若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； (2)模相等的两个平行向量是相等的向量； (3)若a 和b 都是单位向量，则ab ； (4)两个相等向量的模相等 【答案】(4) 【详解】 若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定相同； 模相等的两个平行向量是可以相等，也可以相反； 若a 和b 都是单位向量，则, a b 模相等 两个相等向量的模必相等，所以选（4） 2、在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是_ 【答案】单位圆 【解析】 在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图
12、形是单位圆. 即答案为单位圆. 3、给出以下 5 个条件： a b ；ab ；a 与b 的方向相反；0a 或0b ；a 与b 都是单位向量其中能使 / /ab 成立的是 _(填序号) 【答案】 【详解】 ab ，能够使得a b 成立； ab |，方向不一定相同或相反，不能使a b 成立； ,a b 的方向相反，存在实数0 ，使得ab ，能够使得a b 成立； 0a 或|0b ，存在实数 0，能够使得a b 成立； ,a b 都是单位向量，方向不一定相同或相反，不能使a b 成立； 其中能使a b 成立的是 即答案为： 4、设 O 是正方形 ABCD 的中心，则AO OC ； / /AOAC ；
13、AB 与CD 共线；AO BO .其中所有表示正确 的序号为_ 【答案】 【解析】 设O是正方形ABCD的中心，则AO OC ，因为AO 与OC 大小相等，方向相同，正确； / /AOAC ，正确； AB 与CD 共线，正确； AO BO .错误，AO 与BO 大小相等，方向不同. 即答案为 5、如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，则以 A，B，C，D，E，F 这六个点中任意两点分别作为 起点和终点的所有向量中，与向量EF 方向相反的向量是_ 【答案】,BA FE CD 【解析】 如图，在平行四边形ABCD中，EF，分别是ADBC，的中点，则以ABCDEF，
14、， ， ， ，这六个点中任意两点分 别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF 方向相反的向量是,BA FE CD . 即答案为,BA FE CD . 6、给出下列命题： 向量的大小是实数 平行向量的方向一定相同向量可以用有向线段表示向量就是有向线段 .正 确的有 _. 【答案】 【解析】 对于，由向量的概念知正确； 对于，平行向量的方向可以相反，故不正确； 对于，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段故正确； 对于，有向线段不是向量，故不正确 综上可得正确 答案： 7、给出下列命题：若|a |=0,则a =0；若a 是单位向量，则|a |=1；a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量. 其
15、 中真命题是 _(填序号) 【答案】 【解析】 对于，若|a |=0，则 0a ，而不是a =0故不正确； 对于，若a 是单位向量，则a 的长度为 1，即|a |=1故正确 对于，由于零向量与任意向量平行，所以当a 与b 不平行时，则必有a 与b 都是非零向量故正确 综上正确 答案： 8、如图所示，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形. （1）图中与AB 共线的向量有_； （2）图中与AB 相等的向量有_； （3）图中与EC 相等的向量有_. 【答案】,DC CD BE EB AE EA BA ,DC BE BD 【分析】 根据共线向量与向量的模长相等的定义，写出符合条件的向量即可
16、【详解】 解：根据题意得，（1）图中与AB 共线的向量为,DC CD BE EB AE EA BA ； （2）图中与AB 相等的向量为,DC BE （3）图中与EC 相等的向量有BD 9、如图所示菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于 O 点，DAB=60，分别以 A，B，C，D，O 中的不同两点为始 点与终点的向量中， (1)写出与DA 平行的向量. (2)写出与DA 模相等的向量. 【答案】(1)AD ，BC ，CB .(2)AD ，BC ，CB ，AB ，BA ，DC ，CD ，BD ，DB . 【解析】 试题分析：(1)由菱形的性质和平行向量的定义可知，与DA 平行的向量有：A
17、D ，BC ，CB . (2)由菱形的性质及DAB=60可知，与DA 模相等的向量有：AD ，BC ，CB ，AB ，BA ，DC ，CD ，BD ，DB . 试题解析：(1)由菱形的性质和平行向量的定义可知，与DA 平行的向量有：AD ，BC ，CB . (2)由菱形的性质及60DAB 可知，与 DA 模相等的向量有：AD ，BC ，CB ，AB ，BA ，DC ，CD ，BD ， DB . 10、如图，在矩形 ABCD 中，22ABBC，M，N 分别为边 AB，CD 的中点，在以 A，B，C，D，M，N 为起点和 终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？ 【答案】24 对 【分析】 根据相等向量定义，分类讨论进行求解即可. 【详解】 解：相等的非零向量共有 24 对. 易知1BC ，则模为 1 的相等向量有 18 对，其中与AM 同向的共有 6 对；与AM 反向的也有 6 对；与AD 同向的共 有 3 对；与AD 反向的也有 3 对.模为 2 的相等向量共有 2 对.模为 2的相等向量有 4 对.
