（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业07：导数研究函数的极值与最值A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 07导数研究函数的极值与最值 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知等差数列，若、是函数的极值点，则的值为（ ） 24038 ()= 1 3 32+ + 1 2020 A.B.C.D. 11 10 2.已知函数，那么（ ） ()= 3 A.有极小值，也有大极值B.有极小值，没有极大值 ()() C.有极大值，没有极小值D.没有极值 ()() 3.若是函数的一个极值点，则函数的极小值为（ ） = 2 ()= 1 2 322 + 1 () A.B.C.D. 11 3 1 6 1 6 17 3 4.对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界” ，则函数的下确 ()() ()()= 界为（ ） A.B.C.D. 1 1 1 二、多选题(共 10 分) 5.如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断： = () （1）函数在区间内单调递增； = ()(3, 1 2) （2）当时，函数有极小值； = 2 = () （3）函数在区间内单调递增； = ()(2,2) （4）当时，函数有极小值 = 3 = () 则上述判断中错误的是（ ） A.（1）B.（2）C.（3）D.（4） 6.对于函数，下列说法正确的有（ ） () = A.在处取得极大值B.有两个不同的零点 () = 1 () C. （2）（3）D.若在上恒成立，则 () () 1 三、填空题(共 10 分) 7.函数在取得极值，则实数_. () = 33223 = 1 = 8.函数，对任意，恒有，则 的最小值为_. () = 2 1,2 0,|(1)(2)| 四、解答题(共 34 分) 9.已知是函数 的一个极值点 = 1() = 332 + 10 ( ) （1）求的值； （2）求函数在上的最大值和最小值 ()4,3 10.已知函数在处有极值 1. () = 2+ = 1 （1）求的值； , （2）求函数在的值域. () 1 , 11.已知函数 () = + 2 （1）若函数在处取得极值，求的单调递增区间； = () = 2 21 2 = () （2）当时，函数在区间上的最小值为 1，求在该区间上的最大值 = 1 8() = () + + 1,3 = () 暑假作业 07导数研究函数的极值与最值 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知等差数列，若、是函数的极值点，则的值为（ ） 24038 ()= 1 3 32+ + 1 2020 A.B.C.D. 11 10 【答案】A 【解析】 【分析】 求得，利用韦达定理和等差中项的性质可求得的值. () 2020 【详解】 ， ()= 1 3 32+ + 1 ()= 22 + 由韦达定理，又，所以. 2+ 4038= 2 2020= 1 2(2 + 4038) 2020= 1 故选：A. 【点睛】 本题考查利用极值点求参数，同时也考查了等差中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.已知函数，那么（ ） ()= 3 A.有极小值，也有大极值B.有极小值，没有极大值 ()() C.有极大值，没有极小值D.没有极值 ()() 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到，故函数在上单调递增，在上单调递减，得到答案. ()= 2(3) (,3)3, + ) 【详解】 ，则，故函数在上单调递增，在上单调递减， ()= 3 ()= 2(3) (,3)3, + ) 故函数有极大值，没有极小值. 故选： . 【点睛】 本题考查了函数的极值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3.若是函数的一个极值点，则函数的极小值为（ ） = 2 ()= 1 2 322 + 1 () A.B.C.D. 11 3 1 6 1 6 17 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由极值定义有，解得 ，再由导数与极值关系求得极小值 (2) = 0 【详解】 ，由题意得， ()= 1 3 322 + 1 ()= 222(2)= 2 + 4 = 0 解得， = 1 2 ()= 1 3 3+1 2 22 + 1 ()= 2+ 2 =( + 2)(1) 当或时，；当时， 1 () 0 2 1 () 0 1 () 0 1 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ()= (,1)(1, + ) 则， ()= (1) = 1 即恒成立，因此函数的下确界为. () 1 ()= 1 故选：D. 【点睛】 本题主要考查导数的方法求函数的最值，通常需要对函数求导，通过研究函数单调性来确定最值，属于常考题型. 二、多选题(共 10 分) 5.如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断： = () （1）函数在区间内单调递增； = ()(3, 1 2) （2）当时，函数有极小值； = 2 = () （3）函数在区间内单调递增； = ()(2,2) （4）当时，函数有极小值 = 3 = () 则上述判断中错误的是（ ） A.（1）B.（2）C.（3）D.（4） 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用导函数与原函数的关系分别对（1） （2） （3） （4）进行逐一判定即可 【详解】 对于（1） ，函数在区间内有增有减，故（1）不正确； = ()(3, 1 2) 对于（2） ，由图知当时，；当时，故当时，函数有极小值，故（2）正确； 2 () 0 2 0 = 2 = () 对于（3） ，当时，恒有，则函数在区间内单调递增，故（3）正确； (2,2)() 0 = ()(2,2) 对于（4） ，当时，故（4）不正确 = 3 () 0 故选：AD 【点睛】 本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性以及极值问题，属于易错题 6.对于函数，下列说法正确的有（ ） () = A.在处取得极大值B.有两个不同的零点 () = 1 () C. （2）（3）D.若在上恒成立，则 () () 1 【答案】ACD 【解析】 【分析】 求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可 【详解】 解：函数的导数， () = 1 2( 0) 令得，则当时，函数为增函数， () = 0 = 0 0 当时，函数为减函数， () () (4)(2) () (3) 若在上恒成立， () + 1 设， () = + 1 ( 0) 则，当时，当时， () = 20 0 1() 1 故选： 【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关 键 三、填空题(共 10 分) 7.函数在取得极值，则实数_. () = 33223 = 1 = 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 首先求出导函数可得，求出 的值，然后代入导函数，验证函数在是否取得极值即可. 3623 = 0 = 1 【详解】 ， () = 32623 因为函数在取得极值，则， = 1 (1)= 0 即，解得或， 3623 = 0 = 1 2 = 1 当时， = 1 () = 326 + 3 = 3(1)2 0 此时函数无极值，故（舍去） = 1 当时， = 1 2 () = 323 2 3 2 = 3 2(2 21) 令，则，解得或. () 0 221 0 1 1 2 令，则，解得， () 0 221 0 1 2 1 所以函数在和上为增函数，在上减函数， ()(, 1 21, + ) ( 1 2,1) 所以在取得极小值，所以实数 = 1 = 1 2 故答案为： 1 2 【点睛】 本题考查了导数在研究函数极值中的应用，解题的关键是求出导函数，属于基础题. 8.函数，对任意，恒有，则 的最小值为_. () = 2 1,2 0,|(1)(2)| 【答案】 2 3 +3. 【解析】 ， () = 2 ， () = 12 当时，单调递减；当时，单调递增 0 3() 0,() 3 0,() 当时，有最大值，且 = 3() ()= ( 3) = 32 3 = 3 3 又， (0) = 0,() = ()= 由题意得等价于 |(1)(2)| |()()| = ( 3 3) = 2 3 +3 的最小值为 2 3 +3 答案： 2 3 +3 四、解答题(共 34 分) 9.已知是函数 的一个极值点 = 1() = 332 + 10 ( ) （1）求的值； （2）求函数在上的最大值和最小值 ()4,3 【答案】 （1） = 9 （2）最大值为，最小值为 1566 【解析】 【分析】 （1）求出，因为是函数的极值点，所以得到求出的值； () = 1(1) = 0 （2）求出的单调区间研究函数在特定区间上的最值，比较极值点和端点值的大小即判断最值 () 【详解】 解：（1）， () = 332 + 10() = 326 是函数 的一个极值点， = 1() = 332 + 10 ( ) （检验符合） (1) = 03 (1)26 (1) = 0 = 9 （2）由（1） ，知 = 9() = 3329 + 10 () = 3269 令，得，解之，得， () = 03269 = 0 1= 12= 3 列表如下： 当时，取得极大值；当时，取得极小值 = 1()(1) = 3()(3) 而，且 (4) = 66(1) = 15(3) = 1766 17 01 () 0 1 01 () 0 1 1 2 + 2 1,2 2 【点睛】 本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的 () 定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号， ()()= 0,()()= 0 0 如果左正右负（左增右减） ，那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么在处取极小值. （5）如果只有一 () 0 () 0 个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 11.已知函数 () = + 2 （1）若函数在处取得极值，求的单调递增区间； = () = 2 21 2 = () （2）当时，函数在区间上的最小值为 1，求在该区间上的最大值 = 1 8() = () + + 1,3 = () 【答案】（1）；（2） (0,2) 2 + 5 8 【解析】 分析：（1）由函数在处取得极值，可得方程组求解 a，b 再求导根据导函数 = () = 2 2 1 2 (2) = 1 2 + 4 = 0 (2) = 2 + 4 2 = 2 1 2 大于零的解集即可求得单调增区间；（2）当时，求出函数的单调区间求 = 1 8 () = 1 8 2+ () = 1 4 = (2 )(2 + ) 4 出最小值解得 b 值在求解最大值即可. 详解： （1） () = 1 + 2 ( 0) 由已知，得 (2) = 1 2 + 4 = 0 (2) = 2 + 4 2 = 2 1 2 = 1 8 = 0 () = 1 4 = (2 )(2 + ) 4 ( 0) 由() 00 0 (2,3)() 0 () = (1) = 1 8 + = 1 = 9 8 (2) = 2 + 5 8 函数在区间1，3上的最大值为 () (2) = 2 + 5 8 点睛：考查导函数的极值点，极值的定义，以及导函数研究最值的应用，对基本原理和应用得理解是解题关键，属于基础题.