（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第三册暑假作业11：计数原理B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 11计数原理 B 卷 一、单选题(共 36 分) 1.包括甲、乙、丙 3 人的 7 名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（ ） A.240 种B.252 种C.264 种D.288 种 2.在的展开式中, 项的系数为( ) (1 + + 1 2020) 12 2 A.10B.25C.35D.66 3.某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有 6 名同学要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至多可再接收 3 名 同学，那么不同的接收方案共有（ ） A.150 种B.360 种C.510 种D.512 种 4.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为 2 个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来 确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走 个单位， ( = 1,2, ,6) 一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点 处的所有不同走法共有（ ） A.21 种B.22 种C.25 种D.27 种 二、多选题(共 18 分) 5.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件不合格品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，则( ) A.抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有种 1 2 2 98 B.抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有种 1 2 2 98+ 2 2 1 98 C.抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有种 1 2 2 98+ 2 2 1 98 D.抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有种 3 100 3 98 6.已知的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是 (2+ 1 ) ( 0) （ ） A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B.展开式中第 6 项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含项的系数为 45 15 三、填空题(共 18 分) 7.如图，点, ,分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组（） 共有 个. 8.设，那么满足的所有有序数组的组数为_. 1,2,3,41,0,22 |1|+|2|+|3|+|4| 3(1,2,3,4) 四、解答题(共 27 分) 9.的二项展开式中. ( + 1 32) （1）若第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比是，求展开式中的常数项； 14:3 （2）若所有奇数项的二项式系数的和为 ，所有项的系数和为 ，且，求展开式中二项式系数最大的项. = 243 64 10.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾 病而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人感染了新型冠状病毒后常 见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚 至死亡应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有 3 名男医生，2 名女医生，其中李亮（男）为科 室主任；该院病毒感染科有 2 名男医生，2 名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选 4 人参加援鄂 医疗（最后结果用数字表达） （1）若至多有 1 名主任参加，有多少种派法？ （2）若呼吸内科至少 2 名医生参加，有多少种派法？ （3）若至少有 1 名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？ 11.高二全体师生今秋开学前在新校区体验周活动中有优异的表现，学校拟对高二年级进行表彰； （1）若要表彰 3 个优秀班级，规定从 6 个文科班中选一个，14 个理科班中选两个班级，有多少种不同的选法？ （2）年级组拟在选出的三个班级中再选 5 名学生，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有多少种？ （3）选中的这 5 名学生和三位年级负责人徐主任，陈主任，付主任排成一排合影留念，规定这 3 位老师不排两端，且老师顺序 固定不变，那么不同的站法有多少种？ 暑假作业 11计数原理 B 卷 一、单选题(共 36 分) 1.包括甲、乙、丙 3 人的 7 名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（ ） A.240 种B.252 种C.264 种D.288 种 【答案】C 【解析】 【分析】 先排甲、乙、丙外的 4 人，再对甲、乙、丙三人分类讨论即可得解. 【详解】 先排甲、乙、丙外的 4 人，有种排法，再排甲、乙 2 人，有两类方法： 4 4 一类是甲、乙 2 人插空，又甲排在乙的左边，然后丙排在中间， 故有种不同的站法； 4 4 2 5= 240 另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有种不同的站法， 4 4 所以共有 264 种不同的站法. 故选：C 【点睛】 此题考查计数原理的应用，利用排列组合相关知识解决排位问题，需要熟练掌握计数原理相关知识. 2.在的展开式中, 项的系数为( ) (1 + + 1 2020) 12 2 A.10B.25C.35D.66 【答案】D 【解析】 【分析】 分析的展开式的本质就是考虑 12 个，每个括号内各取之一进行乘积即可得到展开式的每一项， (1 + + 1 2020) 12 (1 + + 1 2020) 1, 1 2020 利用组合知识即可得解. 【详解】 的展开式考虑 12 个， (1 + + 1 2020) 12 (1 + + 1 2020) 每个括号内各取之一进行乘积即可得到展开式的每一项， 1, 1 2020 要得到项，就是在 12 个中，两个括号取 ，10 个括号取 1， 2 (1 + + 1 2020) 所以其系数为. 2 12= 66 故选：D 【点睛】 此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题. 3.某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有 6 名同学要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至多可再接收 3 名 同学，那么不同的接收方案共有（ ） A.150 种B.360 种C.510 种D.512 种 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，分三种情况讨论：其中一个班接收 1 名，一个班接收 2 名，一个班接收 3 名；三个班各接收两名；其中一个班 不接收，另两个班各接收 3 名，分别求出每类情况的分配方法的种数，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】 依题意，分三种情况讨论： 其中一个班接收 1 名，一个班接收 2 名，一个班接收 3 名，分配方案共有种； 1 6 2 5 3 3 3 3= 360 三个班各接收两名，分配方案共有种； 2 6 2 4 2 2= 90 其中一个班不接收，另两个班各接收 3 名，分配方案共有种. 3 6 3 3 2 2 3 3= 60 因此，满足题意的不同的分配方案有种. 360 + 90 + 60 = 510 故选：C. 【点睛】 本题主要考查的是排列与组合的问题，属于中档题.解答排列、组合中的一些较复杂的问题，常用分类讨论思想，讨论时，要注 意不重复不遗漏.对于排列、组合问题中的分组与分配问题，可以分组后再分配.常见的分组问题有三种：（1）完全均匀分组，每 组的元素个数均相等；（2）部分均匀分组，应注意不要重复，若有 组均匀，最后必须除以；（3）完全非均匀分组，这种分 ! 组不考虑重复现象. 4.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为 2 个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来 确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走 个单位， ( = 1,2, ,6) 一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点 处的所有不同走法共有（ ） A.21 种B.22 种C.25 种D.27 种 【答案】D 【解析】 【分析】 正方形的周长为 8，抛掷三次骰子的点数之和为 8 或 16，分别求出两种情况下三次骰子的点数情况，进而求出对应的排列 方法即可. 【详解】 由题意，正方形的周长为 8，抛掷三次骰子的点数之和为 8 或 16， 点数之和为 8 的情况有：；，排列方法共有种； 1,1,61,2,51,3,42,2,42,3,3 1 3+ 3 3+ 3 3+ 1 3+ 1 3= 21 点数之和为 16 的情况有：；，排列方法共有种. 4,6,65,5,6 1 3+ 1 3= 6 所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点 处的所有不同走法共有种. 21 + 6 = 27 故选：D. 【点睛】 本题考查排列组合问题，注意两种计数原理的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 二、多选题(共 18 分) 5.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件不合格品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，则( ) A.抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有种 1 2 2 98 B.抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有种 1 2 2 98+ 2 2 1 98 C.抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有种 1 2 2 98+ 2 2 1 98 D.抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有种 3 100 3 98 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由题意知本题是一个组合问题，抽出的三件产品恰好有一件不合格品，则包括一件不合格品和两件合格品，共有种结果， 1 2 2 98 则 A 正确 B 错误；根据题意， “至少有 1 件不合格品”可分为“有 1 件不合格品”与“有 2 件不合格品”两种情况，由组合数公式分别 求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案 C 正确； “至少有 1 件次品”的对立事件是“三件都是合格品”，用事件总数减去“三 件都是合格品”的种数可得 D 正确 【详解】 由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品, 则包括一件不合格品和两件合格品, 共有种结果，则选项 A 正确，B 不正确； 1 2 2 98 根据题意,至少有 1 件不合格品可分为有 1 件不合格品与有 2 件不合格品两种情况, 有 1 件不合格品的抽取方法有种, 1 2 2 98 有 2 不合格次品的抽取方法有种, 2 2 1 98 则共有种不同的抽取方法,选项 C 正确； 1 2 2 98+ 2 2 1 98 至少有 1 件不合格品的对立事件是三件都是合格品， 三件都是合格品的抽取方法有种, 3 98 抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有，选项 D 正确； 3 100 3 98 故选：ACD. 【点睛】 本题考查排列组合的综合应用，属于中等题. 6.已知的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是 (2+ 1 ) ( 0) （ ） A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B.展开式中第 6 项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含项的系数为 45 15 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为 1024 可得,则二项式为 = 10 = 1 ,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断 A,B；根据通项判断 C,D (2+ 1 ) 10= (2+ 1 2)10 即可. 【详解】 由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知, = 10 又展开式的各项系数之和为 1024,即当时,所以, = 1( + 1)10= 1024 = 1 所以二项式为, (2+ 1 ) 10= (2+ 1 2)10 则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故 A 错误； 210= 1024 1 2 1024 = 512 由可知展开式共有 11 项,中间项的二项式系数最大,即第 6 项的二项式系数最大, = 10 因为与的系数均为 1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第 6 项的系数最大,故 B 正确； 2 1 2 若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故 C 正确； + 1= 10 2(10) 1 2 2(10)1 2 = 0 = 8 由通项可得,解得,所以系数为,故 D 正确, + 1= 10 2(10) 1 2 2(10)1 2 = 15 = 2 2 10= 45 故选: BCD 【点睛】 本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力. 三、填空题(共 18 分) 7.如图，点, ,分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组（） 共有 个. 【答案】33 【解析】 【分析】 【详解】 在平面中，除去点，还剩 5 个点，选 3 点即可；同理，在平面和平面中，也各有 10 个； 12413 5= 10 134132 在平面中，除去点，还剩 3 个点，即；同理在平面和平面中，也各有 1 个；综上所述，共有 33 个. 12913 3= 1 1381410 8.设，那么满足的所有有序数组的组数为_. 1,2,3,41,0,22 |1|+|2|+|3|+|4| 3(1,2,3,4) 【答案】26 【解析】 【分析】 满足的所有有序数组，分为三个-1 一个 0，两个-1 两个 0，一个-1 两个 0 一个 2，三个 2 |1| + |2| + |3| + |4| 3(1,2,3,4) 0 一个 2 共四类情况，分类求解. 【详解】 ，所有有序数组中， 1,2,3,4 1,0,2(1,2,3,4) 满足的所有有序数组， 2 |1| + |2| + |3| + |4| 3(1,2,3,4) 分为三个-1 一个 0，两个-1 两个 0，一个-1 两个 0 一个 2，三个 0 一个 2 共四类情况， 不同的种数为 3 4+ 2 4+ 1 4 2 3+ 3 4= 26 故答案为：26 【点睛】 此题考查计数原理的应用，涉及组合相关知识，关键在于准确进行分类处理. 四、解答题(共 27 分) 9.的二项展开式中. ( + 1 32) （1）若第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比是，求展开式中的常数项； 14:3 （2）若所有奇数项的二项式系数的和为 ，所有项的系数和为 ，且，求展开式中二项式系数最大的项. = 243 64 【答案】 （1）5； （2），. 10 9 5 2 10 27 5 【解析】 【分析】 （1）根据第 5 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比是，则有，求得 n，再利用通项公式求解. 14:3 4 : 2 = 14:3 （2）根据所有奇数项的二项式系数的和为，令，得到所有项的系数和 ，代入求得 n，若 n 为偶数，则中间 = 21 = 1 = 243 64 项二项式系数最大，若 n 为奇数，则中间两项二项式系数最大. 【详解】 （1）依题意， 4 : 2 = 14:3 化简得， (2)(3)= 56 解得或（舍去） ， = 10 = 5 ， + 1= 10 10 2 (32)= 3 10 105 2 令，解得， 105 2 = 0 = 2 常数项为第 3 项，. 3= 32 2 10= 5 （2），令，得，则，解得：， = 21 = 1 =(4 3) = 21 ( 4 3) = 243 64 = 5 则展开式中二项式系数最大的项是第 3 项和第 4 项， ，. 3= 2 5( ) 3(1 32) 2=10 9 5 2 4= 3 5( ) 2(1 32) 3=10 27 5 【点睛】 本题主要考查二项式定理的系数及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾 病而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人感染了新型冠状病毒后常 见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚 至死亡应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有 3 名男医生，2 名女医生，其中李亮（男）为科 室主任；该院病毒感染科有 2 名男医生，2 名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选 4 人参加援鄂 医疗（最后结果用数字表达） （1）若至多有 1 名主任参加，有多少种派法？ （2）若呼吸内科至少 2 名医生参加，有多少种派法？ （3）若至少有 1 名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？ 【答案】 （1）105 种（2）105 种（3）87 种 【解析】 【分析】 （1）至多有 1 名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有 1 名主任参加，利用分类计数原理可得结果； （2）呼吸内科至少 2 名医生参加，分三种情况：第一种是呼吸内科 2 名医生参加，第二种呼吸内科 3 名医生参加，第三种呼吸 内科 4 名医生参加，然后利用分类计数原理可得结果； （3）由于张雅既是主任，也是女医生属于特殊元素，优先考虑，分有张雅和无张雅两种情况求解即可. 【详解】 （1）直接法：若无主任，若只有 1 名主任，共 105 种， 4 7= 35 1 2 3 7= 70 间接法： 4 9 2 7 2 2= 105 （2）直接法：， 2 5 2 4+ 3 5 1 4+ 4 5= 105 间接法： 4 9 4 4 1 5 3 4= 105 （3）张雅既是主任，也是女医生属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类 第一类：若有张雅， 3 8= 56 第二类：若无张雅，则李亮必定去，共 87 种 1 1( 1 3 2 4+ 2 3 1 4+ 3 3) = 31 【点睛】 此题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键，属于中档题. 11.高二全体师生今秋开学前在新校区体验周活动中有优异的表现，学校拟对高二年级进行表彰； （1）若要表彰 3 个优秀班级，规定从 6 个文科班中选一个，14 个理科班中选两个班级，有多少种不同的选法？ （2）年级组拟在选出的三个班级中再选 5 名学生，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有多少种？ （3）选中的这 5 名学生和三位年级负责人徐主任，陈主任，付主任排成一排合影留念，规定这 3 位老师不排两端，且老师顺序 固定不变，那么不同的站法有多少种？ 【答案】 （1）种；（2）种；（3）种 546902400 【解析】 【分析】 （1）根据分步计算原理即可求出答案. （2）根据题意可得，5 名学生分成三组，一组一人，另两组都是 2 人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到 3 个班，即 进行全排列，计算可得答案. （3）先计算出 2 名学生排在两端，剩下的学生和老师全排的种数，再除以老师的顺序数，问题得以解决. 【详解】 （1）要表彰 3 个优秀班级，规定从 6 个文科班中选一个，14 个理科班中选两个班级，有种； 1 6 2 14= 546 （2）5 名学生分成三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有种方法，再将 3 组分到 3 个班，共有种不同的分 1 5 2 4 2 2 2 2 = 15 15 3 3= 90 配方案； （3）先选 2 名学生排在两端，剩下的学生和老师全排有种，因为老师的顺序有种，故有种. 2 5 6 6= 14400 3 3= 6 14400 6 = 2400 【点睛】 本题考查（1）分步乘法计数原理（2）组合数选出组再全排列（3）排列数计算全排列再除去顺序固定部分，考查分类讨论思想， 考查计算能力，属于中等题型.