1、高二数学期末复习模拟九高二数学期末复习模拟九 范围范围( (选择性必修一选择性必修一 +选择性必修二数列选择性必修二数列) ) 一、选择题 1.已知 M，N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上， 且 MP = ?PN， 设向量OA ? ? = ?,OB ? ? = ? ?,OC? ? = ? ?， 则OP ? ? = ( )A. 1 ? ?+ 1 ? ? ?+ 1 ? ? ?B. 1 ? ?+ 1 ? ? ?+ 1 ? ? ? C. 1 ? ?+ 1 ? ? ?+ 1 ? ? ?D. 1 ? ?+ 1 ? ? ?+ 1 ? ? ? ?.已知圆 C：?+
2、? ? ? = ，则过点 ?(1,?)的最短弦所在直线 l 的方程是(?) A.?+ ? 直 = B.?+ ? ? ? = C.? ? ? ? = D.? ? ?+ ? = ?.过抛物线?= ? 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 2，则? = (?)A.8B.6C.5D.4 ?.已知数列?的前 n 项和为?，且?= ? ?，则 ? ? = () A.5B. 1? ? C. 1直 ? D.9 ?.四棱锥 ? ? ? 中， ? ? = ? ? 1,? ，? ? ? = ? ?,1, ，? ? ? = ?, ?1,? ，则这个 四棱锥的高为()
3、A. ? ? B. 1 ? C. ? ? D. ? ? ? ?.已知 ?(?,?)为圆 ?:?+ ? ? ? ? + ? = 上任意一点，则?1 ?+1的最大值为(?) A.2B. ? ? C.? ? ? D.0 直.椭圆?+ ? ? = 1 上到直线 ? ? ? ? = 距离最近的点的坐标是(?) A.( ? ? , ? ? ? )B.( ? ? , ? ? ? )C.( ? ?, ? ?) D.( ? ? ? , ? ? ) 8.已知数列?的前 n 项和为?， ?+1+ ?= ?+ ?， 且?= 1?， 若?1? ?， ? ?， 则 n 的最大值为() A.51B.52C.53D.54 二
4、、不定项选择题 ?.(多选)如图，在直三棱柱 ABC ? 11?1中，AC = BC = 1= ?，ACB = ?，D， E，F 分别为 AC，1，AB 的中点则下列结论正确的是(?) A.?1与 EF 相交B.1?1/平面 DEF C.EF 与 ?1所成的角为 ?D.点1到平面 DEF 的距离为? ? ? 1. 以下四个命题表述正确的是(?) A.直线 ? + ? ? + ? ? ? + ? = ? ? 恒过定点 ? ?, ? ? B.圆?+ ?= ? 上有且仅有 3 个点到直线 ?:? ? ? +? = 的距离都等于 1 C.圆?1:?+ ?+ ? = 与圆?:?+ ? ? ? 8? +
5、? = 恰有三条公切线，则 ? = ?D.已知圆 ?:?+ ?= ?，点 P 为直线 ? ? + ? ? = 1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点(1,?) 11.给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有() A.设 , 为两个定点，k 为非零常数， ? ? = ?，则动点 P 的轨迹为双曲 线B.过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，则弦 AB 的中点 P 的轨迹为椭圆 C.方程 ? ?+ ? = 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D.双曲线? ? ? ? ? ? = 1 与椭圆? ? ? + ?= 1 有相同的焦点 1
6、?. 已知数列 ?n，下列结论正确的有() A.若?1= ?， ?+1= ?+ ? + 1， 则?= ?11B.若?1= 1,?+1= ?+ ?,则?直= 1?直 C.若?= ?+ 1 ?， 则数列 ?是等比数列D. 若? 1= 1,?+1= ? ?+? ? ? ? ， 则?1?= ? 1? 三、填空题 1?. 过点( ? 1,?)且与圆(? ? 1)?+ ?= ? 相切的直线方程为_ 1?. 如图所示， ?1， ?是椭圆?1： ? ? + ?= 1 与双曲线? 的公共焦点，A，B 分别是?1，?在第二、四象限的 公共点若四边形 ?1?为矩形，则?的方程是 _ 1?. 正三棱锥 ? ? ? 的
7、侧面都是直角三角形，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，则 PB 与平面 PEF 所成角的正弦值为_ 1?. 已知正项数列 ?的前 n 项和为?， 且? ? + ?= ? 1(? ? ).若? ?= ?+1 ?1?+1， 数列 ?的前 n 项和为?，则?的取值范围为_ 四、解答题 1直. 已知圆?1圆心为原点，且与直线 ?+ ? 1 = 相切，直线 l 过点 ? 1,? (1)求圆?1的标准方程；(?)若直线 l 被圆?1所截得的弦长为 ? ?，求直线 l 的方程 已知椭圆?1的方程为? ? ? + ? ? = 1，椭圆?的短轴为?1的长轴且离心率为 ? ? (1)求椭圆?的方程； (?)如
8、上图，M，N 分别为直线 l 与椭圆?1， ?的交点，P 为椭圆?与 y 轴的交点，? ? 的面积为? ? 的面积的 2 倍，若直线 l 的方程为 ? = ?(? ? )，求 k 的值 18.设?是正项等比数列?的前 n 项和为，且?= ?，?= 8 (1)求数列?的通项公式；(?)已知?= ? ? ?，求?的前 n 项和? 19.已知椭圆?: ? ? + ? ? = 1(? ? ? ? )的离心率为 ? ? ， 其中一个焦点在直线? =? ? ? 上.(1)求椭圆 C 的方程；(?) 若直线 ?:? = ? + ? 与椭圆交于 P，Q 两点，试求三角 形 OPQ 面积的最大值 20.已知数列
9、 ?的前 n 项和为?， 满足?= ? + ?(? N?)； 数列 ?为等差数列 且 ?1+ ?1=? 1，?=? ?8(1)求数列 ?和 ?的通项公式； (?)若?为数列 1 ?+1 ? ? ?+1 的前 n 项和，求满足不等式? 1? ?1的 n 的最大值 21.如图，四棱锥 ? ? ? 的底面 ABCD 是等腰梯形，/?，? = ? = 1， = ? 是等边三角形，平面 ? ?平面 ABCD，点 M 在棱 PC 上 (1)当 M 为棱 PC 中点时，求证：? ? ?； (?)是否存在点 M 使得二面角 ? ? ? ? ? 的余弦值为? ?，若存在，求 CM 的 长；若不存在，请说明理由
10、参考答案参考答案 1. C2.D3.B4.D5.A6.B7.A8.A 9. BCD10.BCD11.CD12.AB 1?.? =? 1 或 ? = ?14.? ? ? ? ?= 1 1?. ? ? 16.? ? ? , 1 ? ) 17.解：(1)圆心(,)到直线 ?+ ? 1 = 的距离? = ?1? ?+? = ?， 所以圆?1的半径为 2， 所以?+ ?= ?； (?)当直线斜率不存在时，? = 1，直线 l 被圆?1所截得的弦长为 ? ?，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线 ?:? ? = ?(? 1)， 由( ? ?+1 )?+ ( ?)?= ?，解得：? = ? ?， 故 l 的
11、方程是 ? ? ? = ? ? ? ? 1 ，即 ? ?+ ? = ， 综上所述，直线 l 的方程为 ? ?+ ? = 或 ? = 1 18. 解：(1)椭圆?1的方程为? ? ? + ? ? = 1 的长轴长为 4， 设椭圆?的方程为? ? ? + ? ? = 1(? ? ? ? )，由题意可得 ? = ?，? = ? ? = ? ? ，? ?= ?， 解得 ? = ?，? = ?，? = ? ?，可得椭圆?的方程为? ? 1? + ? ? = 1； (?)设 ?(?1,?1)，?(?,?)，? ? 面积为? ? 面积的 2 倍，可得? = ?， 即有? = ?1?，联立 ? = ? ?+
12、?= 1?， 消去 y 可得 ? =? 1? ?+?，即?1? = 1? ?+?，同样求得? = 1? ?+?，由 1? ?+? = ? 1? ?+?， 解得 ? =? ?，由 ? ? ，得 ? = ? 1?.解：(1)正项等比数列?，且?= ?，?= 8?= ? ? = ?， ? ? = ?，? ?= ?= ?1(? ?)； (?)由于?= ? ? ?，所以：?= ? ? ?1， 故：?= 1 ? ?+ ? ? ?1+ ? + ? ? ?1?， ?= 1 ? ?1+ ? ? ?+ ? + ? ? ?， ? ? ?得：? ?= (?1) ?1 ? ? ? ?， 则：?= (? 1)?+ 1 2
13、0. 解：(1)椭圆的一个焦点即为直线与 x 轴的交点( ?,)，所以 ? = ?， 又离心率为 ? = ? ? = ? ? ，则 ? = ?，? = ? ?= 1， 所以椭圆方程为? ? ? + ?= 1； (?)设 ?(?1,?1)，?(?,?)， 联立直线 ?:? = ? + ? 与椭圆方程得 ?+ 8?+ ? ? = ?， 令，得? ? ? ? ?， 当 ? = 时，O、P、Q 三点共线，故 ? ? ， 则方程?的两根为?1,?， ?1+ ?=? 8? ? ，? 1?= ? ? ， ? =? (?1+ ?)? ?1? = ? ? ? ? ， 点 O 到直线的距离 ? = ? ?， ?=
14、 1 ? ? = ? ? (? ?)?= ? ? ? ?+ ?， 当?= ? ?，即 ? = 1 ? 或 ? =? 1 ? 时，面积有最大值 1， 而 ? = 1 ? 或 ? =? 1 ? 满足? ? ? ? ?且 ? ? ， 所以三角形 OPQ 面积的最大值为 1 21.解：(1)因为?= ? + ?， 所以当 ? = 1 时，?1= ? + ?1，解得?1=? ? 当 ? ? ? 时，?= ? ?1= (?+ ?) ? (?+ ?1)，化简得?= ?1 又?1=? ? ? ，所以? ，因此 ? ?1 = ?， 所以 ?是首项为? ? 公比为 2 的等比数列，即?=? ? ? ?1； 又?1
15、+ ?1=? 1，?=? ?8，即? ? + ?1=? 1，? ?=? ?8，所以?1= ?，?= 8， 因为数列 ?为等差数列，所以公差 ? = 1 ? (? ?1) = ?，故?= ? 1； (?)由(1)知 ?是首项为? ? 公比为 2 的等比数列，所以?= ?1(1?) 1? = ? ? ? ? ?， 所以 1 ?+1 ? ? ?+1 = 1 ?+1 ? ? (?)?(?+1) = 1 ?(1?+1) ? 1 ?(1?)?(1?+1) = 1?1 ?(1?)?(1?+1) =? 1 ? ( 1 ?1 ? 1 ?+1?1 )， 故?=? 1 ?( 1 ?1?1 ? 1 ?1 ) + (
16、1 ?1 ? 1 ?1 ) + ( 1 ?1 ? 1 ?1 ) +?+ 1 ?1 ? 1 ?+1?1 )? =? 1 ?(1? 1 ?+1?1 ) 若? ?1? ?1，即? 1 ? (1? 1 ?+1?1 ) ? ?1? ?1，即 1 ?+1?1 ? 1 1? = 1 ?1， 可得?+1? 1 ? ?1，所以 ? ? ?， 综上，使得? 1? ?1的最大的 n 的值为 9 22.证明：(1)连结 AC，由题意，底面 ABCD 是等腰梯形且 = ?,? = ? = 1，则 ? = ? ?， 由余弦定理知 ? =?，? ?+ ?= ?，? ? = ? ? , ? ? ? ? ?平面 ? ?平面 A
17、BCD，平面 ? ?平面 ? = ?，? ? ?平面 PBC， ? ? ?平面 PBC，? ? ? ?，M 为棱 PC 中点，且? 是等边三角形， ? ? ? ?，又? ? ? ? = ?，?,? ?平面 APC， ? ? ?平面 APC，? ?平面 APC，? ? ? ? (?)假设存在点 M 使得二面角 ? ? ? ? ? 的余弦值为? ? 由题意过点 P 作 ? ? ? 交 BC 于点 O，?平面 ? ?平面 ABCD， ? ? ?平面 ABCD，取 AB 中点 E，连结 OE，则 ?/?，由(1)知 ? ?平面 PBC， 所以以 O 为原点，以 ?,?,? 所在直线为 ?,?,? 轴建
18、立如图所示的空间直角坐标 系 Oxyz? ?(,),?(, ? ? ),?( 1 ? ,),( ? 1 ?,)，?(1, ? ? ,)， 设? ? ? = ? ? ?, ? ? ? 1 ，则 ?( 1? ? , ? ? ?) ? ? = ( ?1 ? , ? ? ? , ? ? ?)，? ? ? = ( ? ? ? , ? ? ? ,) 设平面 DMB 的一个法向量为?= (?,?,?)，则 ? ? ? =? 1 + ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? = ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? = ，令 ? =?，则 ? =? ?，? = ? ? ? ?= ( ?, ?, ? ? ) 易知平面 MBC 的一个法向量为?= (,1,)，则 ?cos ? ?,? ? ? = ? ? = ? ?+?+(? ? )? = ? 1?+(? ? )? = ? ?， 则( ? ? )?= ?，? ? =? ?，即 ? = ? ?，? = ? ? ? = ? ? ? ? ? = ? ?
