1、高二数学期末模拟五高二数学期末模拟五 范围范围(选择性必修一选择性必修一 +数列数列) 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1.数列 1 111 , 2 6 12 20 的一个通项公式是（） A 1 (1) n a n n B 1 2 (21) n a nn C 11 1 n a nn D 1 1 n a n 2.双曲线 22 1 916 xy 的左顶点到其渐近线的距离为（） A2B 9 5 C12 5 D3 3.冬春季节是
2、流感多发期，某地医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 n a，已知 12 1,2aa，且 满足 * 2 1( 1) () n nn aanN ，则该医院 30 天入院治疗流感的总人数为（） A225B255C365D465 4.在直角坐标系xOy中， 12 ,F F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，位于第一象限上的点 00 (,)P xy是双曲线C上的一点，满足 12 0PF PF ，若点P的纵坐标的取值范围是 0 24 , 35 ycc ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（） A( 2,2)B(2,4)C(3,5)D( 3, 5) 5.
3、点P是抛物线 2 4yx上一动点，则点P到点(1, 1)A的距离与点P到直线2x 的距离和的最小值是（） A5B2C21D21 6.已知(0,),4,9 mn mnstmn st 、 、 、其中mn、是常数， 且st的最小值是 8 9 ， 满足条件的点( , )m n 是双曲线 22 1 28 xy 一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（） A4100 xyB220 xyC4100 xyD460 xy 7.在圆锥PO中，已知高2PO ，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点.根据圆锥 曲线的定义图中的截面边界线为抛物线，在截面所在的平面中，以M为原点，MO为 x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建
4、立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的 距离为（） A 8 5 5 B 2 5 5 C 4 5 5 D5 8.设椭圆 22 1 93 xy 的右焦点为F，直线(03)ymm与椭圆交于,A B两点，则下述结论不正确的是 AAFBF为定值BABF的周长的取值范围是6,12 C当 3 2 m 时，ABF为直角三角形D当1m时，ABF的面积为6 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合要求有多项符合要求. 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选
5、错的得 0 分分. 9.已知数列 n a：1,1,2,3,5,其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记 n S为数列 n a的前n项和， 则下列结论正确的是（） A 68 SaB 7 33S C 13520212022 aaaaaD 2222 123202020202021 aaaaaa 10.泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上 最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点(1,0)M，直线:2l x ， 若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小 1，则称该直线为“最远距离直
6、线” ，则下列 结论正确的是（） A点P的轨迹曲线是一条线段B点P的轨迹与直线:1lx 是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点） C26yx是“最远距离直线”D 1 1 2 yx是“最远距离直线” 11.1970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号” ，从此我国开始了人造卫星的新篇章. 人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速 度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相 等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2 ,2ac，下列结论正确的是（） A卫星向径的取
7、值范围是,ac ac B卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 12.如图， 已知椭圆 2 2 1: 1 4 x Cy， 过抛物线 2 2: 4Cxy焦点F的直线 交抛物线于,M N两点， 连接,NO MO 并延长分别交 1 C于,A B两点，连接AB，OMN与OAB的面积分别记为, OMNOAB SS ，则在下列结论中正确 的为（） A若记直线,NO MO的斜率分别为 12 ,k k，则 12 k k的大小是定值 1 4 BOAB的面积 OAB S是定值1 C设 OMN OAB
8、S S ，则2 D 22 OAOB为定值4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知数列 n a满足 * 11 2,( 1) () n nnn aaaanN ，则 4 2 a a 的值为. 14.抛物线 2 4yx的准线方程为 15.直线220 xy经过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于 16.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.有抛物 线:C 2 2(0)ypx p（如图）一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射 向C上
9、的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方 程是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明可卷或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明可卷或演算步骤 17.求下列曲线方程: （1）己知椭圆 22 2 :1(2 2) 8 xy Ca a 的离心率为 1 3 e ，求椭圆C的方程. （2）己知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的焦距为6，渐近线方程为 5 2 yx，求双曲线C的方程. 18.已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 =342 n Snn. （1）求数列 n a的通项公式； （2）取出数列
10、 n a的偶数项，并按从小到大的顺序排列构成新数列 n b，写出 n b的通项公式. 19.已知椭圆 22 2 :1(0) 8 xy Mab a 的一个顶点坐标为(2,0)，离心率为 3 2 ，直线yxm交椭圆于不同的 两点,A B. （1）求椭圆M的方程； （2）设点(1,1)C，当边ABC的面积为1时，求实数m的值. 20.己知抛物线C的顶点为坐标原点，准线方程为1x ，过焦点F的直线l与抛物线C相交于,A B两点，线段 AB的中点为M，且 2 2 OM k. （1）求直线l的方程； （2）若过(4,0)T且互相垂直的直线 12 ,l l分别与抛物线C交于, , ,P Q R S四点，求四
11、边形PQRS面积的最小值. 21.己知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别是 12 ,F F， 且离心率为 1 2 ， 点M为椭圆上的动点， 12 FMF 面积最大值为3. （1）求椭圆C的标准方程； （2）,M N是椭圆C上的动点，且直线MN经过定点 1 (0, ) 2 ，问在y轴上是否存在定点Q，使得 MQONQO？若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由. 22.己知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别是 12 ,F F，其长轴长时短轴长的2倍，过 1 F且垂直于x轴 的直线被椭圆C截得的线段长为1. （1）求椭圆C的标准方
12、程； （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线 12 PFPF、的斜率分别为 12 kk、，若0k ，证明： 12 11 kkkk 为定值，并求出这个定值； （3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设 12 FPF的角平分线PM交椭圆C的长轴于点( ,0)M m，求m 的取值范围. 参考答案参考答案 一、单选题一、单选题 1-5：CCBDD6-10：DAB 二、多选题二、多选题 9：BCD10：BD11：ABD12：BC 三、填空题三、填空题 13. 4 3 14. 1 16 y 15. 2 5 5 16. 2 4yx 四
13、、解答题四、解答题 17.解： （1）因为椭圆 22 2 :1(2 2) 8 xy Ca a ， 所以 2 8b ，又因为离心率 1 3 e ，所以 2 2 2 81 9 ca aa ，解得 2 9a .所以椭圆C的方程： 22 1 98 xy . （2）因为双曲线 22 22 :1 xy C ab 的焦距为 6，所以3c ，又因为渐近线方程为 5 2 yx，所以 5 2 b a ， 222 22 5 4 bca aa ，解得 22 4,5ab，所以双曲线C的方程： 22 1 45 xy 18.解： （1）当1n 时， 11 3 1 4 121aS ， 当2n 时，由 2 342 n Snn，
14、得 2 1 3(1)4(1)2 n Snn 两式相减得：67 n an， 1 1a ，不适合上式，所以数列 n a的通项公式. 1,1 67,2 n n a nn （2）数列 n a的偶数项从小打到大排列为：5,17,29,41,，则 n b的通项公式为127 n bn. 19.解： （1）有题意知： 3 2, 2 c a a ，则3c ， 222 1bac椭圆M的方程为： 2 2 1 4 x y （2）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy 联立 2 2 1 4 yxm x y 得： 22 58440 xmxm 22 6420(44)0mm 解得：55m 12 8 5 m xx
15、， 2 12 44 5 m x x 2 1212 2()4ABxxxx 2 4 2 5 5 m又点C到直线AB的距离为： 2 m d 1 2 ABC SAB d 2 14 2 51 252 m m解得： 10 2 m . 20.解： （1）由题意抛物线的方程为： 2 4yx 设直线:1l xty，代入抛物线中得： 22 4(1)440ytyyty 则 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 1212 (,) 22 xxyy M ，即 2 (21,2 )Mtt 则 2 222 2122 OM t kt t 即直线:220lxy. （2）由题意 12 ,l l的斜率存在且都不为 0 设
16、直线:4l xmy，代入抛物线中得： 2 4160ymy 设 1122 ( ,),(,)P x yQ xy，则 2 12 1PQmyy 22 4 (1)(4)mm 同理 22 11 4 (1)(4)RS mm 则 1 2 PRQS SPQ RS 22 22 11 8 (1)(4) 14mm mm 22 22 14 82174mm mm 令 2 2 1 =2u m m ，则(2)(174 )Suu当且仅当2u ，即1m 时，四边形PQRS面积的最小值为80. 21.解： （1） 12 FMF面积最大值为： 12 11 23 22 SFFbc bbc， 又 1 ,3 2 c bc a 解得： 3
17、1 b c .即：2,3ab，所以方程为： 22 1 43 xy . （2）假设存在满足题意的定点Q，设(1,)Qm， 设直线l的方程为， 1 2 ykx， 1122 ( ,),(,)M x yN xy由 22 1 43 1 2 xy ykx 消去x，得 22 (34)4110kxkx. 由直线l过椭圆内一点 1 0, 2 ，故0 恒成立，由求根公式得： 1212 22 411 , 3434 k xx x kk ， 由MQONQO，可得直线MQ与NQ斜率和为零.故 12 12 ymym xx 12 12 11 22 kxmkxm xx 1212 12 1 2 2 0 kx xmxx x x ，
18、 1212 1 2 2 kx xmxx 22 ( 11)1( 4 ) 2 34234 k km kk 2 4 (6) 0 34 k m k . 所以6m ，存在定点(0,6)，当斜率不存在定点(0,6)也符合题意. 22.解： （1）由于 222 cab，将xc 代入椭圆方程 22 22 1 xy ab ，得 2 b y a . 由题意知 2 2 =1 b a ，即 2 2ab. 又 222 1 = 2 b abc a ，所以2,1ab. 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设 000 (,)(0)P xyy ， 则直线l的方程为 00 ()yyk xx. 联立得 2 2 00
19、 1 4 () x y yyk xx 整理得 222 00 (14)()kxkyk x 222 0000 4(21)0ykx yk x 由题意得=0，即 222 0000 (4)210 xkkx yy . 又 2 2 0 0 1 4 x y，所以 222 0000 1680y kx y kx， 故 0 0 4 x k y . 又知 000 12000 33211xxx kkyyy ， 所以 1212 111 11 () kkkkk kk 00 00 42 ()8 yx g xy 因此 12 11 kkkk 为定值，这个定值为8. （3）设 000 (,)(0)P xyy ，又 12 (3,0),( 3,0)FF， 所以直线 12 ,PF PF的方程分别为 1 000 :(3)30 PF ly xxyy， 2 000 :(3)30 PF ly xxyy 由题意知 0000 2222 0000 33 (3)(3) myymyy yxyx . 由于点P咋椭圆上，所以 2 2 0 0 1 4 x y. 所以 22 00 33 33 (2)(2) 22 mm xx . 因为 0 33, 22mx ，可得 00 33 33 22 22 mm xx ， 所以 0 3 4 mx， 因此 33 22 m.
