1、用向量研究直线、平面的位置关系 第二课时 位置关系向量表示 线线平行 线面平行 面面平行 212121 2121 , , 使 的方向向量，则分别是直线，设 Rll ll 0 nunul lnlu 则 的法向量，是平面的方向向量，是直线设 21 2121 , , nnR nnnn 使 的法向量，则，分别是平面设 思考：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线 与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系中，直线的 方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 0, 2121212121 llll，则，的方向向量分别为设直线 向量垂直；直，就是直线的两方向一般地，直线与直线垂 nuRnul nul 使得 ，
2、则的法向量，平面的方向向量为设直线 面的法向量平行是直线的方向向量与平直线与平面的垂直，就 , 0 , 2121 21 nnnn nn 则的法向量分别为，设平面 是两平面的法向量垂直平面与平面的垂直，就 位置关系向量表示 线线垂直 线面垂直 面面垂直 0 , 212121 2121 ll ll 则 ，的方向向量分别为设直线 nuRnul nul 使得 ，则的法向量，平面的方向向量为设直线 , 0 , 2121 21 nnnn nn 则的法向量分别为，设平面 1.若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂 直相交 2若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内 的所有直线的方向向量的数量
3、积为0. 3两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与 另一平面内的直线的方向向量垂直 4若点A，B是平面上的任意两点， 是平面的法向量， 则 5若向量 为平面的法向量，则以这两个向量为方 向向量的两条不重合直线一定平行 6一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行 自我检测自我检测 21,n n 0nAB n 1、 2、 3、 4、 5、 6、 2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量 为(2,0，4)，则() Al Bl Cl Dl与斜交 答案：B 3已知空间三点A(0,0,1)，B(1,1,1)，C(1,2，3)， 若直线AB上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为 _ )
4、1 , 2 1 , 2 1 ( 2 1 0041)2() 1() 1(, )4 , 2, 1( ) 1 ,(, 1, ),0 , 1 , 1() 1,(, ),1,(),0 , 1 , 1(), M ABCM CM Mzyx zyxABAM zyxAMABzyxM ，解得 则 由题意知，（设 15, 7 40 , 4 . 4 , 2, 7 40 . 4 , 7 15 , 7 40 . 4 , 7 15 , 33 7 . , ) 3, 1(,), 1 , 3(),2, 5 , 1 (4 D C B A zyxABCBP yxBPBCABzBCAB 分别为（）则实数平面且 ，若、已知 4, 7 1
5、5 , 7 40 04) 3()( 3 0) 3()2(51)( , 0 , 0 , )4 , 1 , 3(. 4, 0)2(1531 , 0,: zyx yyx yyx BCBP ABBP ABCBP BCzz BCABBCAB 解得 即 平面 即解 例例1.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，中，PA底面底面ABCD， ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是是 PC的中点的中点 求证：求证：(1)AECD； 证明：证明：(1)易知易知AB，AD，AP两两垂直，建立如两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系图所示的空间直角坐标系 设设PAABBC1，则，则A(0，0
6、，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1) 因为因为ABC60，所以，所以ABC为正三角形，所以为正三角形，所以 CDAECDAE AECDD yCDAC CDACyDE CABCABC PBABCABPA APADAB 所以所以 由所以所以 ，则得 由，（设 为正三角形，所以，所以因为 ，则设 示的空间直角坐标系两两垂直，建立如图所证：易知 , 0 ) 2 1 , 4 3 , 4 1 (),0 , 6 3 , 2 1 (),0 , 3 32 , 0( 3 32 0 ,),0 ,0), 2 1 , 4 3 , 4 1 ( )0 , 2 3 , 2 1 (,60 ).1 , 0 , 0(),0
7、, 0 , 1 (),0 , 0 , 0(1 , 0 0 0 证:如图,取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1. 因为ABC为正三角形,所以AOBC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都为中点,所以OBOO1. 又平面ABC平面BCC1B1, 所以AO平面BCC1B1,所以AOOO1. 例例2.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有侧棱长及底面边长都为 2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD. 证明:(1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系A-xyz. 设PA=AD=a,AB=b, 则有P(0,0,a),A(0
8、,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0). M,N分别为AB,PC的中点, 例3.如图所示,已知PA平面ABCD,四边形ABCD为矩 形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点. 求证:(1)MN平面PAD; (2)平面PMC平面PDC. 方法技巧利用空间向量证明垂直关系的方法 (1)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直. (2)证明线面垂直的方法:证明直线的方向向量与平面的法向量 平行;转化为线线垂直问题. (3)证明面面垂直的方法:证明两个平面的法向量互相垂直; 转化为线面垂直、线线垂直问题. 变式训练 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证: (1)AD1平面BDC1;(2)A1C平面BDC1. 证明:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为1,则有
