1、备战 2020 高考黄金 30 题系列之数学填空题压轴题【新课标版】 专题专题 6立体几何立体几何 1 （2020四川成都外国语学校高三月考）如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，点 E、F 分别 是线段 11 ABC D、上的动点，点 P 是上底面 1111 DCBA内一动点，且满足点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 11 ABB A的距离，则当点 P 运动时，PE 的最小值是_ 【答案】2 5 【解析】如图建立空间直角坐标系： 设 1 A,04,04,( , ,4),04,04EaD FbabP x yxy ， 则(0, ,4),(4, ,0),(,0)FbE
2、aPFx by ， 点 P 到 F 的距离等于点 P 到平面 11 ABB A的距离， 222 ()(4)xbyx ，整理得 P 点轨迹方程： 2 () 2 8 by x ， P 到平面 11 ABB A的距离PPd ， 2 () 42 8 by dx ， min 2d，此时 P 与 F 共线垂直 11 DC， 又 22 |4 162 5PEd P E 当 E，F 分别是 AB， 11 C D上的中点，P 为正方形 1111 DCBA中心时，PE 取最小值， 此时(2,2,4),(4,2,0)PE，(0,2,4)F故答案为：2 5 【押题点】利用空间向量求两点间的距离 2 （2020甘肃河西五
3、市联考）已知四边形ABCD为矩形，24ABAD，M为AB的中点，将ADM 沿DM折起，得到四棱锥 1 ADMBC，设 1 AC的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题： / /BN平面 1 ADM，且BN的长度为定值 5； 三棱锥NDMC的最大体积为 2 2 3 ； 在翻折过程中，存在某个位置，使得 1 DMAC 其中正确命题的序号为_ （写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】如下图所示： 对于命题，取 1 A D的中点E，连接EM、EN，则 11 2ADAM， 1 1AE ， 1 90MAE ，由勾股定理得 22 11 5EMAEAM， 易知/BM CD，且 1 2 BMCD，E、
4、N分别为 1 A D、 1 AC的中点， 1 / 2 ENCD， 四边形BMEN为平行四边形， 5BNEM ，/BN EM， BN 平面 1 ADM，EM 平面 1 ADM，/BN平面 1 ADM，命题正确； 对于命题，由N为 1 AC的中点，可知三棱锥NDMC的体积为三棱锥 1 ADMC的一半，当平面 1 ABM 平面BCDM时，三棱锥 1 ADMC体积取最大值， 取DM的中点F，则 1 AFDM，且 1 11 2 22 22 AFDM， 平面 1 ADM 平面BCDM，平面 1 ADM 平面BCDMDM， 1 AFDM， 1 AF 平面 1 ADM， 1 A F平面BCDM， DMC的面积
5、为 11 4 24 22 DMC SCD BC ， 三棱锥 1 ADMC的体积的最大值为 1 114 2 42 333 DMC SAF ， 则三棱锥NDMC的体积的最大值为 2 2 3 ，命题正确； 对于命题， 11 ADAM，F为DM的中点， 1 AFDM， 若 1 ACDM，且 111 ACAFA， DM平面 1 ACF， 由于CF 平面 1 ACF，CFDM，事实上，易得 2 2CMDM ，4CD ， 222 CMDMCD ，由勾股定理可得CMDM，这与CFDM矛盾，命题错误 故答案为 【押题点】直线与平面平行、三棱锥体积公式；异面直线垂直的判定 3 （2020福建莆田期末）正方体ABC
6、DABC D 的棱长为 2，动点P在对角线 BD 上，过点P作垂直 于 BD 的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为 yf x，设 0 2 3BPxx， （1）下列说法中，正确的编号为_ 截面多边形可能为四边形； 3 3 2 3 f ；函数 f x的图象关于3x 对称 （2）当3x 时，三棱锥PABC的外接球的表面积为_ 【答案】9 【解析】 （1）连接,AB AC B C，,AD AC DC 以点 D 为坐标原点，分别以,DA DC DD为, ,x y z轴 建立如下图所示的空间直角坐标系 (2,0,0), (2,2,0),(0,2,0),(2,2,2),(0,0,2)A
7、BCBD， ( 2,2 0)(0 2 2)(2,2, 2)ACABDB , , , ,， 2 22 2020AC D B ，0 22 2220AB D B ， ,DBAC DBAB ，,AC AB面AB C，ACABA， 即DB 面AB C，同理可证：DB 面A C D ，面ACD 面AB C ，如下图所示，夹在面A C D 和 面AB C之间并且与这两个平面平行的截面为六边形， 故截面只能为三角形和六边形，故错误； 由正方体的对称性，可得函数 ( )f x的图像关于 2 3 3 2 x 对称，故正确； 取,BB BC AB的中点分别为,E F G，连接,EF EG FG，如下图所示 1 13
8、11 221 11 3 2232 B EFG Vx ，即此时 3 3 xPB 对应EFG的周长为3 2，即 3 3 2 3 f ，故正确； （2）当3x 时，此时点 P 在线段 1 BD的中点，连接,AC DB交于点 H 则 3PAPBPCPD ，1,2PHAH，则 222 APAHPH=+ PHAC，同理可证：PHBD ,BD AC 面ABCD，BDACH，PH 面ABCD 取 PH 的中点为 O， 2 2 13 2 22 OB ，则三棱锥PABC的外接球的球心为 O，半径为 3 2 ，则 三棱锥PABC的外接球的表面积为 2 3 49 2 故答案为：(1)；(2)9 【押题点】正方体截面的
9、形状、棱锥的体积公式、棱锥的外接球的表面积 4（2020河北沧州一模） 在三棱锥PABC中，ABBC， 三角形PAC为等边三角形， 二面角PACB 的余弦值为 6 3 ， 当三棱锥PABC的体积最大值为 1 3 时， 三棱锥PABC的外接球的表面积为_ 【答案】8 【解析】如图所示，过点P作PE 面ABC，垂足为E，过点E作DEAC交AC于点D，连接PD 则PDE为二面角PACB的平面角的补角，即有 6 cos 3 PDE 易证AC 面PDE，ACPD，而三角形PAC为等边三角形，D为AC的中点 设,ABa BCb， 22 ACabc ， 33 sin 232 c PEPDPDEc 故三棱锥P
10、ABC的体积为 223 111 322121212224 cccabc Vababcab ， 当且仅当 2 2 abc 时， 3 max 1 243 c V，即2,2abc， ,B D E三点共线 设三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R 过点O作OFPE于F，四边形ODEF为矩形 则 2 1ODEFR ， 6 cos32 3 DEOFPDPDE ，1PE ， 在Rt PFO中， 2 22 211RR，解得 2 2R 三棱锥PABC的外接球的表面积为 2 48SR 【押题点】三棱锥的外接球；球的表面积公式；二面角的计算 5（2020湖北宜宾叙州区二中高三月考） 在直三棱柱 111 ABCA
11、BC中， 90BAC 且 3AB ， 1 4BB ， 设其外接球的球心为O，且球O的表面积为28，则ABC的面积为_ 【答案】 3 3 2 【解析】球O的表面积为 2 4287RR ， 如图所示：,H G为 11 ,BC BC中点，连接HG， 90BAC ，故三角形的外心在BC中点上，故外接球的球心为HG的中点 在Rt OGC中： 1 1 2,7 2 OGBBOCR，故 3CG ； 在Rt ABC中： 22 3BCCG ， 3AB ，故3AC ，故 3 3 2 ABC S 【押题点】三棱柱的外接球；球的表面积公式 6 （2020山西、湖北、陕西部分校 3 月联考）已知三棱锥PABC的四个顶点都
12、在球O的球面上， 5,15,2 5PABCPBACPCAB ，则球O的表面积为_ 【答案】30 【解析】如图所示，将三棱锥PABC补成长方体，球O为长方体的外接球，长、宽、高分别为, ,a b c， 则 22 22 22 25, 15, 20, ab ac bc ， 222 30abc ，球O的半径 30 2 R ， 则球O的表面积为 2 2 30 4430 2 SR 【押题点】三棱柱的外接球；球的表面积公式 7（2020陕西榆林二中高三月考） 如图， 三棱锥 ? 豈 中， ? ? ? ? ? ? ma， ? ? ?， ? m?， 点 ? 在侧面 ? 上，且到直线 ? 的距离为 ?m，则 ?
13、的最大值是_ 【答案】 ?t 【解析】?动点 ? 到直线 ? 的距离为定值 ?m，?动点 ? 落在以 ? 为轴、底面半径为 ?m的圆柱的侧面上， 可知侧面与三棱锥侧面 ? 的交线为椭圆的一部分， 设其与 ? 的交点为 ?，此时 ? 最大，由题意可得，点 到 ? 的距离为： ma?豈 ? ? ? ?m， 则 ? 到 ? 的距离为 ?m可知：? 为 ? 的中点， 又cos? ? m ? ? ? ? ma ? ? ?， 在? 中，由余弦定理可得? ? ?豈 ? ? ? ? ?cos? ?t，本题正确结果： ?t 【押题点】空间点、线、面的位置关系；空间距离最值问题 8（2020河北衡水中学高三月考）
14、 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面是边长为4的菱形， 0 60ABC ， 1 4AA ，过点B与直线 1 AC垂直的平面交直线 1 AA于点M，则三棱锥A MBD的外接球的表面积 为 【答案】68 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz由题得 BD=4 3 则 A(2，0，0)，B(0,2 3,0),(0, 2 3,0)D， 1( 2,0,4) C ，设(2,0, )Mz， 1 (0, 4 3,0),( 4,0,4)BDAC ， 11 0,AC BDACBD (2,0,z)OM ， 1 0,840,2AC OMzz 即点 M 是 1 AA中点时， 1 AC 平面 B
15、DM 设三棱锥AMBD的外接球的半径为 R，设MBD 的外接圆半径为 r，则 4 3 2 ,4 2 sin 3 rr ， 222 1 4(2)17 2 R ，三棱锥AMBD的外接球的表面积为 2 468R 【押题点】三棱锥外接球；球的表面积公式 9 （2020湖南长郡中学高三月考）在三棱锥PABC中，平面PAB 平面ABC，ABC是边长为 6 的 等边三角形， PAB 是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_ 【答案】48 【解析】如图，在等边三角形ABC中，取AB的中点F， 设其中心为O，由6AB ，得 2 2 3 3 AOBOCOCF， PAB是以AB为斜边的等腰角三角
16、形，PFAB，又平面PAB 平面ABC， PF平面ABC，PFOF， 22 2 3OPOFPF ，则O为棱锥PABC的外接球球心， 外接球半径 2 3ROC ，该三棱锥外接球的表面积为 2 42 348，故答案为48 【押题点】四面体的外接球；球的表面积公式 10 （2020四川宜宾四中高三期末）在三棱锥 ? 豈 ? 中，平面 ? ?平面 ?，? 是边长为 ? ?的等 边三角形，其中 ? ? ? ?t，则该三棱锥外接球的表面积为 【答案】? ? 【解析】如图所示，作 ? 中点 ，连接 ?、，在 上作三角形 ? 的中心 ?，过点 ? 作平面 ? 的垂线，在垂线上取一点 ?，使得 ? ? ? 三棱
17、锥底面是一个边长为 ? ?的等边三角形，? 为三角形的中心， 三棱锥的外接球的球心在过点 ? 的平面 ? 的垂线上， ? ? ?，?、 两点在三棱锥的外接球的球面上，? 点即为球心， 平面 ? ?平面 ?，? ? ?， 为 ? 中点，? ?平面 ? ?豈 ?m?豈 ? ? ?，? ? ? ? ? ?，? ? 豈 ? ? m， ? ?豈 ? ?， 设球的半径为 ?，则有 ? ? ? ? ?，? ? 豈 ?， ?豈 ? ? ?，即?豈?豈 ? m? ?，解得? ? m?， 故表面积为 ? ? ? ? ? 【押题点】三棱锥外接球；球的表面积公式 11 （2020浙江嵊州崇仁中学高三月考）某几何体的三
18、视图如图所示，且该几何体的体积是 3 2 ，则正视图中 的x的值是_，该几何体的表面积是_ 【答案】 3 2 29109 4 【解析】由三视图可还原立体图形为四棱锥PABCD， 1113 1 22 3322 P ABCDABCD VSPAxx ， PA 面ABCD，即可得到侧面,PAB PAD PBC为直角三角形， 2 2 13313335 2,2,2, 22222222 PABPAD SSPB 22 2 222 15532935 1,5,2,215, 2242222 PBC SPCPDCD 则侧面PCD中由余弦定理可知 2 2 2 529 5 22 4 5 cos 5 25 25 2 PDC
19、 ， 则 2 4 5545 sin1 2525 PDC ， 1 5545109 5 2 2254 PCD S ，且底面3 ABCD S， 故表面积 33510929109 3 22444 S 故答案为： （1） 3 2 ； （2） 5109 6 4 【押题点】三视图还原立体图形求体积和表面积 12 （2020过渡佛山二中高三月考）如图，在四棱锥PABCD中，PDAC，AB 平面PAD，底面 ABCD为正方形，且3CDPD若四棱锥PABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面 积的最小值为；当四棱锥PABCD的体积取得最大值时，二面角APCD的正切值 为 【答案】6 5 【解析】(1)设03
20、CDxx，则3PDx AB 平面PAD， ABPD，又PDAC，PD 平面ABCD， 则四棱锥PABCD可补形成一个长方体，球O的球心为PB的中点， 从而球O的表面积为 2 2 22 2 3 43126 2 xxx x (2)四棱锥PABCD的体积 2 1 303 3 Vx xx， 则 2 2Vxx ，当02x时，0V；当23x时，0V 故 max 2VV，此时2ADCD， 1PD 过D作DHPC于H，连接AH，则AHD为二面角APCD的平面角 1 22 5 55 DH ，tan5 AD AHD DH 【押题点】四棱锥的外接球；球的表面积公式；四棱锥的体积；二面角平面角 13 （2020黑龙江
21、哈尔滨三中高三月考）如图，棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点,M N E分别 为棱 1, ,AA AB AD的中点，以 A为圆心，1 为半径，分别在面 11 ABB A和面 ABCD内作弧MN和 NE，并 将两弧各五等分，分点依次为 M、 1 P、 2 P、 3 P、 4 P、N以及 N、 1 Q、 2 Q、 3 Q、 4 Q、E一只蚂蚁 欲从点 1 P出发， 沿正方体的表面爬行至 4 Q， 则其爬行的最短距离为_ 参考数据：cos90.9877； cos180.9511 ；cos270.8910） 【答案】1.7820 【解析】 棱长为 2 的正方体 1111 ABCD
22、ABC D中， 点,M N E分别为棱 1, ,AA AB AD的中点， 以 A为圆心， 1 为半径，分别在面 11 ABB A和面 ABCD内作弧MN和 NE 将平面ABCD绕AB旋转至与平面 11 ABB A共面的位置，如下图所示： 则 14 180 8144 10 P AQ ， 1 4 2sin72PQ ； 将平面ABCD绕AD旋转至与平面 11 ADD A共面的位置， 将 11 ABB A绕 1 AA旋转至与平面 11 ADD A共面的位 置，如下图所示： 则 14 90 290126 5 P AQ ， 1 4 2sin63PQ sin63 sin72 ，且由诱导公式可得sin63 c
23、os27 ， 最短距离为 1 4 2sin632 0.89101.7820PQ ，故答案为：1.7820 【押题点】空间几何体中最短距离的求法 14 （2020湖北华中师大一附中高三月考）已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球 1 O与 三棱锥ABCD的四个面都相切， 球 2 O与三棱锥ABCD的三个面和球 1 O都相切， 如此类推， ， 球 n O 与三棱锥ABCD的三个面和球 1n O 都相切（2n ，且n N） ，则球 1 O的体积等于_，球 n O 的表面积等于_ 【答案】 6 1 6 4n 【解析】如图，AO是三棱锥ABCD的高，O是BCD的外心，设BCa，则 3 3
24、OBa ， 22 36 () 33 AOaaa ， 1 O是三棱锥ABCD的外接球和内切球的球心， 1 O在AO上， 设外接球半径为R， 内切球半径为 1 r， 则由 222 11 O BOOBO得 222 36 ()() 33 RaaR ， 6 4 RR ， 11 366 3412 rAOAOAORaaa ， 1 1 4 rAO， 1 333 1 4466 () 3312216 O Vraa6 ， 过AO中点作与底面BCD平行的平面与三条棱,AB AC AD交于点 111 ,B C D， 则平面 111 BC D与球 1 O相切， 由题意球 2 O是三棱锥 111 ABC D的内切球， 注意
25、到三棱锥 111 ABC D的棱长是三棱锥ABCD棱长的 1 2 ， 有其内切球半径 21 1 2 rr，同理球 n O的半径为 n r，则 n r是仅比为 1 2 的等比数列， 1 1 1 ( ) 2 n n rr ，即 1 616 ( ) 1222 n n n ra ， 22 1 66 44() 24 nn nn Sr 故答案为： 6； 1 6 4n 【押题点】四面体的内切球；正四面体的性质 15 （2020广西柳州中学高三月考）已知正三棱柱 111 ABCABC的侧面积为 12，当其外接球的表面积取最 小值时，异面直线 1 AC与 1 BC所成角的余弦值等于_ 【答案】 5 14 【解析
26、】设正三棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为R，由题意知312ah ，即4ah ， 底面外接圆半径 3 2sin 3 aa r ，由球的截面圆性质知 2 22 4 433 hah Rr， 当且仅当 3 2 ah 时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知 11 /ACDB， 即 1 DB C为异面直线 1 AC与 1 BC所成角或补角， 22 11 BCDBah ， 3DCa ， 222 1 22 23 5 cos 142 aha DBC ah ，故答案为： 5 14 【押题点】正三棱柱的外接球；球的表面积公式；异面直线所成的角 16 （2020江西南城一中高三期末）三棱锥 ? 豈 ? 中，?
27、 ?平面 ?，? ? ? ? ，? ? ?，? ? ? ?， ? 是 边上的一个动点，且直线 ? 与面 ? 所成角的最大值为 ? ?，则该三棱锥外接球的表面积为 _ 【答案】?t? 【解析】由题意，三棱锥 ? 豈 ? 中，? ?平面 ?，直线 ? 与平面 ? 所成的角为?， 如图所示，则 sin? ? ? ? ? ? ?，且 sin?的最大值是 ? ? ， ?min? ? ?，? 的最小值是 ?，即 ? 到 的距离为 ?， ? ? ，? ? ? ?，在 ?t? 中可得? ? ? ?，即可得 ? ?， 取? 的外接圆圆心为?，作 ?， ? sinm?aa ? ?，解得 ? ? ? ?，? ? ?
28、 ?，取 ? 为 ? 的中点，? ? ? ? ? ?，? ? ? ?， 由勾股定理得 ? ? ? ? ? ?t ? ， 三棱锥 ? 豈 ? 的外接球的表面积是 ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ?t? 【押题点】球的组合体问题；球的表面积公式；线面角 17 （2020福建福州期末）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古 称“角黍”， 是端午节大家都会品尝的食品， 传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、 爱国主义诗人屈原 如图， 平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子 形状的六面体，则该六面体的体积为_；
29、若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_ 【答案】 2 6 8 6 729 【解析】(1)每个三角形面积是 133 1 224 S ，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 可求出该四面体的高为 2 36 1 33 ，故四面体体积为 1362 34312 ， 因此该六面体体积是正四面体的 2 倍，六面体体积是 2 6 ； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球 要是体积最大，就是球要和六个面相切， 连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R， 2136 6 6349 RR ，球的体积 3 3 4468 6 33972
30、9 VR 故答案为： 2 6 ； 8 6 729 【押题点】中国古代的数学文化；球的组合体问题；球的体积公式；线面角；平面图形折成空间几何体 18 （2020新疆乌鲁木齐一模）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，有下列四个命题： 1 BC与平面 11 BCD A所成角为30； 三棱锥 1 AABD与三棱锥 11 CABD的体积比为1:2； 过点A作平面，使得棱AB，AD， 1 AA在平面上的正投影的长度相等，则这样的平面有且仅有 一个； 过 1 BD作正方体的截面，设截面面积为S，则S的最小值为 6 2 上述四个命题中，正确命題的序号为_ 【答案】 【解析】对：连接 1 C
31、 D交 1 DC与H，连接BH，作图如下： 1111 ABCDABC D是正方体，故可得BC平面 11 CC D D， 又CH 平面 11 CC D D，故可得CH BC，又 1 CHDC， 故可得CH 平面 1 / /MNAC，则 1 C BH即为所求线面角 在 1 RtC BH中， 11 12 ,2 22 CHC DC B ，故可得 1 1 1 2 CH sin C BH C B ，又线面角的范围为 0, 2 ，故 1 30C BH，则 1 BC与平面 11 BCD A所成角为30，故正确； 对：正方体棱长为 1，故可得 11 1 1111 1 1 1 3326 A A BDAABDABD
32、 VVSA A ； 而棱锥 11 CABD的体积可以理解为正方体的体积减去 4 个体积都和 1 A A BD V 相等的三棱锥的体积， 故 1 11 14 63 A A BD V 故棱锥 1 AABD与三棱锥 11 CABD的体积比为1:2，故正确； 对：若棱 1 ,AD AA AB在平面的同侧，则为过点A且与平面 1 ABD平行的平面； 若棱 1 ,AD AA AB中有一条棱与另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有 3 个； 故满足题意的平面有 4 个 故错误； 对：根据题意，取 11 ,AA C C中点为,M N，则过 1 BD作正方体的截面如下： 则过 1 BD的所有截面中，当截面
33、1 D MBN为菱形时，面积最小， 其面积为 1 116 23 222 SMND B 故正确 总上所述，正确的有 【押题点】线面角；正方体截面面积的求解；三棱锥体积公式 19 （2020广西柳州中学月考）在三棱锥ABCD中，底面为Rt，且BCCD，斜边BD上的高为1， 三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16，则三棱锥ABCD的体积的最大 值为 【答案】 4 3 【解析】如图所示，由外接球的表面积为16，可得外接球的半径为2，则4AB ， 设ADx，则 2 16BDx ，又BD变式上的高1CH ， 当CH 平面ABD时，棱锥ABCD的体积最大，此时 242 111 1616
34、 326 Vxxxx ， 当 2 8x 时，体积V最大，此时最大值为 4 3 【押题点】球的组合体问题；球的表面积公式；三棱锥的体积公式 20（2020湖北武汉 3 月质检） 在三棱锥 S- ABC 中， 底面ABC 是边长为 3 的等边三角形， SA= 3， SB=23， 若此三棱锥外接球的表面积为 21，则二面角 S-AB-C 的余弦值为_ 【答案】 1 2 【解析】球的表面积为 2 421R ，故 21 2 R ， 222 SASBAB ，故 2 SAB SAB的外接圆圆心为SB中点 2 O， 2 3r ； ABC的外接圆圆心为三角形中心 1 O， 1 3 3 3 2 2 r 设球心为O
35、，则 2 OO 平面SAB， 1 OO 平面ABC， 1 CO与AB交于点D， 易知D为AB中点，连接DO， 2 DO，易知CDAB， 2 O DAB， 故 2 CDO为二面角SABC的平面角 故 22 11 3 2 OORr， 22 22 3 2 OORr， 1 13 32 DOCD ， 2 13 22 DOSA 1 tan3ODO，故 1 3 ODO ， 2 tan3ODO，故 2 3 ODO 故 12 2 3 O DO ， 12 1 cos 2 O DO 故答案为： 1 2 【押题点】三棱锥的外接球；二面角；球的表面积公式 21 （2020湖南长郡中学月考）圆锥的底面半径为2，其侧面展开
36、图是圆心角大小为180的扇形正四 棱柱ABCDA B C D 的上底面的顶点,A B C D 均在圆锥的侧面上， 棱柱下底面在圆锥的底面上， 则此正四棱柱体积的最大值为_ 【答案】 64 3 27 【解析】设圆锥的母线长为 l，圆锥底面周长为2 24=,4,ll 圆锥高为 22 422 3 设正四棱柱ABCDABC D 的底面边长为 2a，高为 h，则 22 , 22 3 ah 得2 36,ah正四棱 柱体积 V= 22 442 36a haa，设 f a= 2 42 36,44 33 6,aafaaa令 0fa 得 2 2 a, 3 当 2 22 2 0 a,0;a,0 33 fafa，故
37、f a的最大值为 2 264 3 f 327 故答案为 64 3 27 【押题点】棱柱的体积；圆锥的侧面积公式；正四棱柱的基本性质；利用导数求最值问题 22 （2020云南陆良二模）已知PABC、 、 、是球面上的四点，且,2 2ACBC AB，若三棱锥 PABC的体积的最大值为 4 3 ，则球的体积为_ 【答案】 9 2 【解析】 22 82BCACBC AC ，故 1 2 2 ABC SBC AC ，当2BCAC时等号成立 根据正弦定理：2 22 sin AB r C ，故 2r ，即ABC的外接圆半径为 2 22 maxmax 124 22 333 VSRRRR，故 3 2 R 故球体积
38、为 3 3 9 2 4 R 【押题点】三棱锥的外接球；球的体积公式 23 （2020内蒙古鄂尔多斯一中月考）在四面体ABCD中，ABD与BDC都是边长为 2 的等边三角形， 且平面ABD 平面BDC，则该四面体外接球的体积为_ 【答案】 20 15 27 【解析】取BDC的外心为 1 O，设O为球心，连接 1 OO，则 1 OO 平面BDC，取BD的中点M，连接 AM， 1 O M，过O做OGAM于点G，易知四边形 1 OO MG为矩形，连接OA，OC，设OAR， 1 OOMGh连接MC，则 1 O，M，C三点共线，易知 3MAMC ， 1 3 3 OGMO ， 1 2 3 3 CO 在Rt
39、AGO和 1 Rt OOC中， 222 GAGOOA ， 222 11 OCOOOC，即 2 2 2 3 3 3 hR ， 2 22 2 3 3 hR ， 3 3 h ， 2 5 3 R ，得 15 3 R ， 3 420 15 = 327 O VR 球 【押题点】四棱锥的外接球；球的体积公式 24 （2020福建福州一中高三期末）,M N分别为菱形ABCD的边,BC CD的中点，将菱形沿对角线AC折 起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下命题正确的是_ （写出所有正确命题的序 号） / /MN平面ABD；异面直线AC与MN所成的角为定值；在二面角DACB逐渐渐变小的过程 中，三棱锥
40、DABC的外接球半径先变小后变大；若存在某个位程，使得直线AD与直线BC垂直，则 ABC的取值范围是0, 2 【答案】 【解析】由,M N分别为菱形ABCD的边,BC CD的中点，故/MN BD，MN 平面 ABD，故/ /MN平 面ABD；取 AC 中点 P，连接 DP，BP，由于菱形 ABCD，,DPAC BPAC，可证得AC 平面 DPB，故BDAC，又/MN BD，故MNAC，异面直线AC与MN所成的角为定值 借助极限状态，当平面 DCA 与平面 BCA 重合时，三棱锥DABC的外接球即为以三角形 ABC 的外接 圆为圆心，半径为半径的球，当二面角变大时球心离开平面 ABC，但球心在平
41、面 ABC 的投影仍然为三角形 ABC 的外接圆的圆心，故二面角不为 0 时，外接球半径一定大于三角形 ABC 的外接圆半径，故三棱锥 DABC的外接球半径不可能先变小后变大 过 A 在平面 ABC 中作AHBC交 BC 于 H，若ABC为锐角，H 在线段 BC 上；若ABC为直角，H 与 B 点重合；ABC为钝角，H 在线段 BC 的延长线射线 CB 上 若存在某个位程，使得直线AD与直线BC垂直，由于AHBC，因此BC平面 AHD，故DHBC 若ABC为直角，H 与 B 点重合，即DBBC，由于CDCB，不可能成立 若ABC为钝角，则原平面图中，DCB为锐角，由于立体图中DBDPPB，故立
42、体图中DCB一 定比原图中更小，因此DCB为锐角，DHBC，故 H 在线段 CB 上，与 H 在线段 BC 的延长线射线 CB 上矛盾，因此ABC的取值范围是0, 2 故答案为： 【押题点】空间折叠问题；空间点、线、面位置关系；空间角 25 （2020广东执信中学高三月考）在九章算术中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称 之为堑堵，如图，在堑堵 111 ABCABC中，ABBC， 1 A AAB，堑堵的顶点 1 C到直线 1 AC的距离为 m， 1 C到平面 1 ABC的距离为 n，则 m n 的取值范围是 【答案】 2 3 (,2) 3 【解析】设1ABBC， 1 (1)AAa a
43、， 则 2AC ， 2 1 2ACa ， 2 1 1ABa ，且 B 到平面 11 ACC A的距离为 2 2 111 2 1 2 2 AC CCa m AC a ， 1 2 1 11 22 A BC a SABBC ， 111 2 11 36 CA BCA BC a VSnn ， 又 111 11 1 12112 2 323226 CA BCB AC CAC C a VVSa ， 2 1 a n a ， 2 2 2 222 2 2 2 ma na a ， 1a ， 2 42 22 32a ， 2 3 2 3 m n 故答案为： 2 3 ,2 3 【押题点】空间距离的计算；棱锥的体积公式 26
44、 （2020广东珠海 2 月检测）在ABC中，8AB ，6BC ，10AC ，P为ABC外一点，满足 5 5PAPBPC ，则三棱锥PABC的外接球的半径为_ 【答案】 25 4 【解析】取AC中点O，连接,PO BO， 在ABC中，8AB ，6BC ，10AC ，ABC为直角三角形 2 ABC ， 5BOAOCO，O为ABC所在平面与球形成截面圆的圆心， 又 5 5PAPBPC ， 22 ,10POAC POPCOC ， 在PBO中， 222 POOBPB ，POOB，OB与AC相交， 则PO 平面ABC，则球心M在PO上， 设球的半径,10R AMPMR OMR， 在AMO中， 22222
45、 ,25(10)AMAOOMRR，解得： 25 4 R ，故答案为： 25 4 【押题点】三棱锥的外接球 27 （2020江西名师联盟调研）菱形ABCD边长为6， 60BAD ，将 BCD沿对角线BD翻折使得二 面角CBDA的大小为120，已知A、B、C、D四点在同一球面上，则球的表面积等于_ 【答案】84 【解析】如图，点 12 ,O O分别为,BADCBD外接圆的圆心，点O为球心，菱形ABCD边长为6， 60BAD ， 11 31 63,3tan603 23 OGOO ， 1 3 62 3 3 AO ， 22222 11 21,484ROAAOOOSR，故答案为84 【押题点】四面体的外接
46、球；球的表面积公式 28 （2020四川攀枝花一模）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是菱形，,E F分别是 11 ,BB DD的中点，G为AE的中点且2FG ，则EFG面积的最大值为_ 【答案】 4 3 【解析】连接AC交BD于O， 底面ABCD是菱形，ACBD，以OC，OD，OZ为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz， 设OCa，ODb，棱柱的高为h，则,0,0Aa，0, 2 h Eb ， (0F ，b，) 2 h ，( 2 a G， 2 b ，) 4 h ( 2 a FG ， 3 2 b ，) 4 h ，(0FE ，2b，0)， 2 33 cos, 2 24| |
47、 FG FEbb FG FE bFGFE ， E到直线FG的距离 2 2 1691 |sin,2169 42 b dFEFG FEbbb ， 22 222 16 1131634 9 169 2229232 EFG bb SFG dbbbb 当且仅当 22 16 9 bb即 2 8 9 b 时取 等号故答案为： 4 3 【押题点】空间角与空间距离的计算；不等式的应用 29 （2020河北张家口期末）四面体ABCD中， 2 2 ,2, 2 3BCCDBDABADAC则 四面体ABCD外接球的表面积为 【答案】12 【解析】取AC的中点为E， 在ABC中， 2 2 ,2, 2 3BCABAC，故 2
48、22 BCABAC ，ABC为直角三角形， 同理可得ADC为直角三角形，则能得到 3BEDE ，同时 2 3AC ，E为中点， 3AECE ，E为外接球的球心，且半径为 3， 四面体ABCD外接球的表面积为 2 4 ( 3)12故答案为：12 【押题点】四面体的外接球；球的表面积公式 30 （2020安徽淮北一模）已知直线m与球O有且只有一个公共点 ，从直线m出发的两个半平面、截 球O所得两个截面圆的半径分别为 1 和 2， 二面角m的平面角为120， 则球O的表面积等于_ 【答案】 112 3 【解析】设直线m与球O的公共点为P，过P与O作直线直线m的垂面如图所示，设球的半径为r， ,OEQP OFPM，垂足为,E F，则有1,2EPPF， 设 2 , 3 OPEOPE，有 cos1 sin3 3cos 2 2 cos() 3 r r ，而 22 sincos1 ， 2 1 cos 28 ， 2 28 3 r ，因此球O的表面积等于： 2 112 4 3 r 故答案为： 112 3 【押题点】球的截面的性质；二面角的大小；球的表面积公式
