1、高二数学期末复习模拟八高二数学期末复习模拟八 范围范围(选择性必修一选择性必修一 +选择性必修二数列选择性必修二数列) 一、单选题一、单选题 1如图所示，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，设 1 AAa ，AB b ，AD c ，N 是BC的中点，试用a ，b ，c 表示 1 AN （） A 1 2 abc Babc C 1 2 abc D 1 2 abc 2双曲线 2 2 1 4 y x的渐近线方程是（） Ay=4xB 1 4 yx Cy=2xD 1 2 yx 3若数列的前 4 项分别是 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ，则此数列一个通项公式为（） A ( 1)n n
2、 B ( 1) 1 n n C 1 ( 1)n n D 1 ( 1) 1 n n 4我国东南沿海一台风中心从A地以每小时10km的速度向东北方向移动，离台风中心 15km内的地区为危险地区，若城市B在A地正北20km处，则B城市处于危险区内的时 间为（）小时.A0.5B1C1.5D2 5存在过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 左焦点 1 F 的弦MN，使得 | 2 a MN ，则椭圆 C 的离心率的最小值是（）A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 6已知点( , )P x y是圆 22 (2)1xy上任意一点，则 y x 的最大值是（） A3B 3 3 C 1 2 D
3、 3 2 7如图，四边形ABCD是矩形，1,2,ABADE是AD的中点，BE与AC交于点 ,F GF 平面,ABCD若AFFG，则直线EG与平面ABG所成角的正弦值（） A 10 5 B 15 5 C 30 10 D 15 10 8有一个三人报数游戏：首先A报数字 1，然后B报两个数字 2、3，接下来C报三个数字 4、5、6，然后轮到A报四个数字 7、8、9、10，依次循环，直到报出 10000，则A报出的 第 2020 个数字为（）A5979B5980C5981D以上都不对 二、多选题二、多选题 9已知向量1,1,0a r ，则与a 共线的单位向量e （） A 22 ,0 22 B0,1,0
4、C 22 ,0 22 D1, 1,0 10 （多选题）方程 22 |3 -4 -6| ( -2)( -2) 5 xy xy表示的曲线不可能为（） A抛物线B椭圆C双曲线D圆 11等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 0a ，公差0d ，则（） A若 59 S S，则 15 0SB若 59 S =S，则 7 S是 n S中最大的项 C若 67 SS ， 则 78 SS D若 67 SS 则 56 SS 12某同学在研究函数 2 11f xxx 的性质时，联想到两点间的距离公式，从而 将函数变形为 2222 00 1100f xxx ，则下列结论正确的是 （）A函数 fx在区间,0上单调递
5、减， 1,上单调递增 B函数 fx的最小值为 2，没有最大值 C存在实数t，使得函数 fx的 图象关于直线xt对称D方程 2f x 的实根个数为 2 三、填空题三、填空题 13将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以, ,A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时， 异面直线AD与BC所成的角为_. 14直线:20l mxym与圆 22 :6O xy交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则 AOB面积的最大值为_. 15 已知,M N是过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F的直线l与抛物线C的交点，O是 坐标原点，且满足MF FN =3 ，3 OMN SMN ，则p的值为_. 16记数列
6、n a的前n项和为 n S，已知 1 1 10 2 nn nana ，且 1 3 2 a 若对任意的 * nN ，都有 2 n n S m ，则实数m的取值范围为_ 四、解答题四、解答题 17已知中心在原点的双曲线 C 的右顶点为( 3,0)，离心率为 2 3 3 （1）求双曲线 C 的标准方程和渐近线方程；（2）若双曲线 C 上存在一点 P 使 得 1 2 0PFPF （其中 12 ,F F 为双曲线的两个焦点） ，求 12 FPF 的面积 18如果数列 n a满足 1 1 2 a ， 2 1 5 a ，且 11 11 2 nnnn nn aaaa n aa . （1）求数列 n a的通项公
7、式；（2）令 2n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T. 19如图，已知圆 22 :414450C xyxy及点 ( 2,3)Q . （1）若点( ,1)P m m在圆C上，求直线PQ的斜率以及直线PQ与圆C的相交弦PE的长 度； （2）若( , )N x y是直线10 xy 上任意一点，过N作圆C的切线，切点为A，当切线 长NA最小时，求N点的坐标，并求出这个最小值； （3）若( , )M x y是圆上任意一点，求 3 2 y x 的最大值和最小值. 20正项数列 n a 的前 n 项和 Sn 满足：222 (1)()0 nn SnnSnn (1)求数列 n a 的通项公式
8、n a ； (2)令 22 1 (2) n n n b na ，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 nN*，都有 Tn 5 64. 21如图，在四棱锥PABCD中，60APBBPDAPD ， 4PBPDBCCD，6AP （）证明：APBD； （）求PC与平面PAD所成角的正弦值. 22已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 中，短轴的一个端点与两个焦点的连线互相垂直，且 焦距为2 2. （1）求椭圆的标准方程. （2）如图，已知椭圆的左顶点为A，点M在圆 22 8 9 xy 上，直线AM与椭圆相交于另 一点B，且 AOB 的面积是 AOM 的面积的 2 倍，求直线AB的方程
9、 参考答案参考答案 1A2C3B 4B5D6B7B8B 由题可得A第n * ()nN次 报数的个数为32n，则A第n次报完数后总共报数的个数为 1(32)(31) 22 n nnnn T ，再代入正整数n，使2020, n Tn的最小值为 37，得 37 2035T，而A第 37 次报时，3 人总共报数为36 3 1109 次，当A第109次报完数 3 人总的报数个数为 109(1091) 1231095995 2 m S ，即A报出的第 2035 个数字为5995， 故A报出的第 2020 个数字为5980.本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，主要考查了学生的观察分析能力，逻辑推理
10、能力. 9AC10BCD11BC12ABD 13 3 14315816 1,依题意， 1 1 10 2 nn nana ，则 21 1 120 2 nn nana ，两式相减，可得 21 20 nnn aaa ，所以 n a为等差 数列，由 1 1 10 2 nn nana ，得 21 1 20 2 aa，又 1 3 2 a ，解得 2 5 2 a ， 所以 21 1daa，则 3(1) 22 n n n Sn ，所以 2 1 2 22 n nn Snn .令 2 1 2 = 22 n n nn Snn b ， 2 1 2 3 2 nn n n bb ，当2n 时， 1 0 nn bb + -
11、故答案为：1, 17 （1）设双曲线 C 的方程为 22 22 10,0 xy ab ab 由已知得： 222 3 2 3 3 a c a abc ，解得 3a ，2c ，1b .双曲线 C 的方程为 2 2 1 3 x y，渐近线方程为： 3 3 yx （2）不妨设点 P 在双曲线的右支上，则 12 22 3PFPFa由 12 0PF PF 可知 12 PFPF在 12 FPF中， 22 2 12 (2 )16PFPFc， 2 22 121212 212PFPFPFPFPF PF 12 2PFPF 所以 12 FPF的面积 12 1 1 2 SPFPF. 18 （1）由题易知0 n a .当
12、2n 时，由已知得 11 11 nn nn aa aa ， 11 2 nn nn aa aa ， 11 211 nnn aaa ，当 * nN时，数列 1 n a 是等差数列. 设 1 n a 的公差为d.又 1 1 2 a ， 2 1 5 a ， 1 1 2 a ， 2 1 5 a ， 21 11 3d aa ， 1 31 n n a ， 1 31 n a n .（2）由（1）可得 2 (31) 2 n n n n bn a . 数列 n b的前n项和 23 2 25 28 2(31) 2n n Tn L， 2341 22 25 28 2(31) 2n n Tn . 可得 2341 43 2
13、222(31) 2 nn n Tn L 21 1 21 2 43(31) 2 1 2 n n n 1 8(34) 2nn . 19 （1）点( ,1)P m m在圆C上，代入圆C的方程，解得4m ， (4,5)P， 故直线PQ的斜率 531 4( 2)3 k .因此直线PQ的方程为 1 5(4) 3 yx. 即3110 xy，而圆心(2,7)到直线的距离 23 7 1184 10 51010 d ， 所以 222 4 102 404 10 | 22 8() 555 PErd . （2） 222 8NANCrNC，当NC最小时，NA最小，又知当NCl时， NC最小，2 5NCd由题得过C且与直线
14、10 xy 垂直的直线方程为 50 xy，( 3,2)N（3） 3 2 MQ y k x ，题目所求即为直线MQ的斜率k的 最值，且当直线MQ为圆的切线时，斜率取最值.设直线MQ的方程为 3(2)yk x ，即 230kxyk.当直线与圆相切时，圆心到直线的距 2 2723 2 2 1 kk dr k . 两边平方，即 22 (44)8(1)kk，解得23k ，或23k . 所以 3 2 y x 的最大值和最小值分别为2 3 和2 3 . 20解：(1)由 S2 n(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0. 由于数列an是正项数列，所以 Sn0，Snn2n.于是 a1S12，
15、当 n2 时， anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上可知，数列an的通项公式 an2n. (2)证明：由于 an2n，bn n1 (n2)2a2 n，则 bn n1 4n2(n2)2 1 16 1 n2 1 (n2)2 .Tn 1 16 1 1 32 1 22 1 42 1 32 1 52 1 (n1)2 1 (n1)2 1 n2 1 (n2)2 1 16 1 1 22 1 (n1)2 1 (n2)2 1 16 1 1 22 5 64.（能看懂）. 21解： （）因为60APBAPD，PDPB，所以APBAPD，所以 ADAB.取BD的中点E，连接AE，PE，所以AEBD，PEBD
16、， 又AEPEE,所以BD 平面PAE.又AP 平面PAE，所以APBD. （）在APB中，根据余弦定理得 222 2cos6028ABAPPBAP PB ，所以 2 7AB ， 又因为2BE ，所以 2 6AE ，2 3PE ，所以 222 APAEPE ，即AEPE. 又因为PEDB，AEDBE，AE，DB 平面ABCD，所以PE 平面ABCD. 如图，以E为原点，分别以ED，EA，EP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系Exyz， 则0,2 6,0A，2,0,0D，0,0,2 3P，0, 2 3,0C， 2, 2 6,0AD uuu r ，2,0,2 3DP ，0, 2 3,
17、2 3PC uuu r .设平面PAD的法向量 为 , ,nx y z ，则 0, 0, n AD n DP 即 22 60, 22 30, xy xz 令1y ，则 6x ， 2z ， 所以6,1,2n r .设PC与平面PAD所成角为， 2 32 622 sincos, 63 2 6 PC n uuu r r ，所以PC与平面PAD所成角的正弦值为 22 6 . 22 （1）由短轴的一个端点与两个焦点的连线互相垂直且焦距为2 2，易得： 2bc ， 2a ， 即椭圆的方程为 22 1 42 xy . （2） 因为 2 AOBAOM SS ， 所以2ABAM， 即M 为AB的中点，方法一：根
18、据椭圆的方程 22 1 42 xy ，有 2,0A ，设 00 ,M xy，则 00 22,2Bxy， 22 00 8 9 xy， 22 00 222 1 42 xy ，得 2 00 918160 xx， 解得 0 2 3 x ， 0 8 3 x (舍去)，把 0 2 3 x 代入，得 0 2 3 y ，有 1 2 AB k . 因此，直线AB的方程为 1 2 2 yx ，即220 xy或220 xy-+=. 方法二： 设直线AB的方程为2yk x，由 22 1 42 2 xy yk x ，得 2222 128840kxk xk， 22 212420 xkxk ，解得 2 2 24 12 B k x k ， 2 2 24 212 B M xk x k ， 2 2 2 12 MM k yk x k ， 代入 22 8 9 xy，得 2 2 2 22 428 12129 kk kk ，化简得 42 2820kk ，即 22 72410kk，解得 1 2 k ， 所以，直线AB的方程为 1 2 2 yx ，即220 xy或220 xy-+=.
