1、绝密绝密启用前启用前 等差、等比数列综合复习等差、等比数列综合复习 范围：选择性必修二数列 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题一、选择题 1等比数列 n a满足 354 41a aa，且 4 a， 6 1a ， 7 a成等差数列，则该数列公 比q为（） A 1 2 B 1 2 C4D2 2设等差数列an的前 n 项和为,若，, 则当取最大值等于 （ ） A4B5C6D7 3已知等差数列 n a， 1 1a ， 3 3a ，则数列 1 1 nn a a 的前10项和为（） A10 11 B 9 11 C 9 10 D 11 10 4已知数列：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8
2、,1,2,4,8,16,.，即此数列第一项是 0 2 ，接下来两项 是 01 2 ,2，再接下来三项是 012 2 ,2 ,2，依此类推，设 n S是此数列的前n项的和， 则 2017 S（） A 646 22 B 636 22 C 645 22 D 635 22 5 已知数列 n a， n b都是等差数列， 31 3ab， 157 15ab， 设 1 1 ( 1)n n n nn b c a a ， 则数列 n c的前 2020 项和为（） A 2019 2020 B 2019 2020 C 2020 2021 D 2020 2021 6已知数列 n a中， 1 1a ，且 1 1 () (
3、) 2 n nn aanN ，若存在正整数n，使得 1 ()()0 nn tata 成立，则实数t的取值范围为（） A 2 1 3 t B 1 1 2 t C 25 36 t D 1 2 2 t 7定义 , max, , a ab a b b ab .若函数 2 ( )max2,4f xxx，数列 n a满足 1nn af a （ * nN） ，若 n a是等差数列，则 1 a的取值范围是（） A2,1 B , 32, C, 32,1 D , 32,2,1 8 定义： 在数列 n a中， 若 22* 1 (2, nn aap nnp N为常数） ， 则称 n a为“等 方差数列”，下列是对“等
4、方差数列”的有关判断： 若 n a是“等方差数列”，则数列 1 n a 是等差数列； ( 2) n 是“等方差数列”； 若 n a是“等方差数列”，则数列 * (, kn akkN为常数）也是“等方差数列”； 若 n a既是“等方差数列”又是等差数列，则该数列是常数数列. 其中正确命题的个数为 A1 B2 C3D4 9（多选题） 已知数列 n a满足 1 1a ， * 1 23 n n n a anN a ，则下列结论正确的 有（） A 1 3 n a 为等比数列 B n a的通项公式为 1 1 23 n n a C n a为递增数列 D 1 n a 的前n项和 2 234 n n Tn 10
5、 （多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩 张 丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世 纪书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问 日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起， 每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天 起， 每天比前一天多织多少尺布？” 已知1匹4丈，1丈=10尺，若这一个月有30天， 记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为 n a，2 n a n b ，对于数列 n a、 n b， 下列选项中正确的为（） A
6、 105 8bbB n b是等比数列 C 1 30 105abD 357 246 209 193 aaa aaa 二、填空题二、填空题 11已知数列 n a满足 1 2a ， 2 1 12 nn nanann ，若 2 2 n a n b ，则 n b 的前n项和 n S _ 12数列 n a的通项公式 1 1 n a nn ，若前n项的和为 10，则项数n为 _ 13设等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2017 0S， 2018 0S对任意 * nN ， 都有 nm aa，则m的值为_ 14 已知数列 n a中， 1 11a ， 1 2 1 nn aa nn ， 若对任意的1,4
7、m， 存在 * Nn ， 使得 2 n amtt成立，则实数t的取值范围是_. 三、解答题三、解答题 15已知数列 n a满足 11 3 ,31. 2 nn aaanN （1）若数列 n b满足 1 2 nn ba，求证： n b是等比数列； （2）求数列 n a的前项和. n S 16已知数列 n a中， 1 1a ， 1 3 n n n a a a . （1）求 2 a， 3 a； （2）求证： 11 2 n a 是等比数列，并求 n a的通项公式； （3）数列 n b满足 31 2 n nn n n ba，数列 n b的前 n 项和为 n T，若不等式 1 ( 1) 2 n n n n
8、T 对一切 * nN恒成立，求的取值范围. 17在 nn bna； 2 , log, n n n a n b a n 为奇数 为偶数 ； 2122 1 loglog n nn b aa .这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列 n a是等比 数列，且 1 1a ，其中 1 a， 2 1a ， 3 1a 成等差数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记_，求数列 n b的前 2n 项和 2n T. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足2(*) nn Sna nN. （1）证明：数列1 n a
9、 为等比数列，并求数列 n a的通项公式. （2）若 nn bnan，数列 n b的前n项和为 n T，求满足不等式 2 100 n T n 的n的 最小值. 参考答案参考答案 1D 2B 3A 4A 5D 6B 7C 8B 9ABD 10BD 11 1 44 3 n 12120 131009 144,2 15(1) 见解析；(2) 31 2 n n n S . 【解析】 试题分析： （1）通过恒等变形，得到 1 11 3 22 nn aa 即 1 3 nn bb ，结论得证; （2）由(1)可得 1 1 3 2 n n a ，分成一个等比数列，一个常数列求和即可. 试题解析： (1) 由题可
10、知 * 1 11 3 22 nn aanN ，从而有 1 3 nn bb ， 11 1 1 2 ba，所以 n b是以 1 为首项，3 为公比的等比数列. (2) 由(1)知 1 3n n b ，从而 1 1 3 2 n n a ， 有 1 11131 133 2222 n n n n S . 点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据 1 31 nn aa 得到 1 11 3 22 nn aa ，即 1 3 nn bb 证得 n b是等比数列;第二问中的通项由 111 11 1333 22 nnn nnn baa 知，从而，比较明显地可以分成一个等比数列， 一个常数
11、列求和即可. 16 （1） 2 1 4 a ， 3 1 13 a （2）见解析， 2 31 n n a （3）23 （1）根据递推公式依次求出 2 a， 3 a即可得解； （2）转化条件得 1 1111 3 22 nn aa ，结合 1 113 22a 可得 113 22 n n a 即可得解； （3）由题意 1 2 n n n b ，利用错位相减法可得 1 2 4 2 n n n T ，则条件可转化为 1 2 ( 1)4 2 n n ，根据n为偶数、n为奇数分类讨论即可得解. 【详解】 （1）由 1 1a 得 1 1 2 1 34 a a a ， 2 2 3 1 313 a a a . （2
12、）由 1 3 n n n a a a 得 1 313 1 n nnn a aaa ，即 1 1111 3 22 nn aa ， 又 1 113 22a ，所以 11 2 n a 是以 3 2 是为首项，3为公比的等比数列. 所以 1 1133 3 222 n n n a ，即 2 31 n n a . （3） 1 22 31 n n n n n ba nn ， 01221 11111 123(1) 22222 n nn Tnn ， 211 1111 12(1) 22222 n nn T nn . 两式相减得 1210 111112 2 2222222 n nnn Tn n ， 1 2 4 2
13、n n n T ，所以 1 2 ( 1)4 2 n n . 令 * 1 2 4 2n f nn N，易知 f n单调递增， 若n为偶数，则 2 1 2 4 2 f n ，所以3； 若n为奇数，则 1 1 2 4 2 f n ，所以2，所以2 . 所以23 . 【点睛】 本题考查了递推公式的应用、 等比数列的证明、 数列通项的求解、 错位相减求数列前n项和， 考查了恒成立问题的处理方法和分类讨论的思想，属于中档题. 17 （1） 1 2n n a - =； （2）答案见解析. 【分析】 （1）根据 1 a， 2 1a ， 3 1a 成等差数列得 213 211aaa，即可由此求出公比，写 出通项
14、公式； （2）选择条件，利用错位相减法可求出；选择条件，利用分组求和法可求出；选择条 件，利用裂项相消法可求出. 【详解】 （1）设数列 n a的公比为 q， 因为 1 a， 2 1a ， 3 1a 成等差数列， 213 211aaa， 又因为 1 1a ，所以 2 2(1)2qq，即 2 20qq， 所以，2q =或0q （舍去） ，所以， 1 2n n a - =. （2）由（1）知 1 2n n a - =，选择条件，则 1 2n n bn ， 0121 2 1 22 222 n n Tn ， 122 2 21 22 222 n n Tn ， 01212 2 1 21 21 222 nn
15、 n Tn 2 22 1 2 22(1 2 ) 21 1 2 n nn nn 2 2 (21) 21 n n Tn. 由（1）知 1 2n n a - =，选择条件，则 1 2, 1, n n n b nn 为奇数 为偶数 ， 所以 0222 2 2123221 n n Tn 0222 222(1 321) n n 2 1 4(121)41 1 4233 nn nn n. 由（1）知 1 2n n a - =，选择条件，则 1 (1) n b n n = + ， 2 111 1 22 32 (21) n T nn 11111 1 223221nn 12 1 2121 n nn ， 2 2 21
16、 n n T n . 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式求法，考查数列的求和方式，属于中档题. 18 （1）证明见解析，21 n n a ， * nN （2）6 【分析】 （1）由2 nn Sna，得 11 12 nn Sna （2n ） ，两式相减可得 1 21 nn aa ，变形 为 1 121 nn aa 即可证明数列1 n a 为等比数列，根据等比数列的通项公式可得 12n n a ，从而可得21 n n a . （2）利用错位相减法求得 1 (1) 22 n n Tn ，将不等式化为 1 250 n n n ，设 1 2n n n c n ，利用数列的单调性可求得结果. 【详解】
17、（1）证明：当1n 时， 11 12aa ， 1 1a . 2 nn Sna， * nN ， 当2n 时， 11 12 nn Sna ， 两式相减得： 1 122 nnn aaa ，即 1 21 nn aa ， 1 121 nn aa ， 数列1 n a 为以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 12n n a ， 则21 n n a ， * nN ； （2）解：212 nn nn bnannnn， 123 1 22 23 22n n Tn ， 231 21 22 2(1) 22 nn n Tnn ， 两式相减得： 1231 22222 nn n Tn ， 1 (1) 22 n n Tn ， 由 2 100 n T n ，得 1 250 n n n ， 设 1 2n n n c n ， 2 1 2 1 20 n nn n cc nn ， 数列 n c为递增数列， 因为 5 5 4 250 5 C ， 6 6 5 250 6 C ， 满足不等式 2 100 n T n 的n的最小值为 6. 【点睛】 本题考查了用定义证明数列为等比数列， 考查了等比数列通项公式的求法，考查了错位相减 法求和，考查了数列的单调性，属于中档题.
