1、期末复习期末复习空间向量能力提升卷空间向量能力提升卷 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题一、单选题 1若 , ,a b c 构成空间的一组基底，则() A,bc bc a 不共面B,2bc bcb 不共面 C, ,bc a abc 不共面D,2 ,ac ac c 不共面 2已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)c,则 x 等于() A4B-4 C 1 2 D-6 3 123 ,e e e 是空间的一个基底， 向量 113 eeae ， 123 beee ， 123 ceee ， 123 23deee .若dxayb zc ，则x，y
2、，z分别为（）. A 5 2 ，1， 1 2 B 5 2 ，1， 1 2 C 5 2 ，1， 1 2 D 5 2 ，1， 1 2 4已知, ,i j k 是两两垂直的单位向量，32,2aijk bijk ，则5a 与3b 的数 量积等于（） A15B5C3D1 5在如图所示的坐标系中, 1111 ABCDABC D 为正方体,给出下列结论: 直线 1 DD 的一个方向向量为(0,0,1); 直线 1 BC的一个方向向量为(0,1,1); 平面 11 ABB A的一个法向量为(0,1,0); 平面 1 B CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为() A1B2 C3D4 6向量(2,
3、1, ),(2, , 1)ax by ，若5a ，且ab ，则x y 的值为（） A1B1 C4D4 7如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点,E F分别是棱 1 ,BC CC的中 点，P 是侧面 11 BCC B内一点，若 1 AP平行于平面AEF，则线段 1 AP长度的最小值为 （） A 2 B 3 2 2 C 3 D 5 8 如图， 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，1,2,8 i P i 是上底面上其余的八个点，则1,2,8 i AB AP i 的不同值的个数为（） A8B4C2D1 二、多选题二、多选题 9 已知1, , 2a ，2, 1
4、,1b ,且a 与b 夹角为120， 则的取值可以是 （） A17B-17C-1D1 10给出下列命题，其中不正确的命题为（） A若AB CD ，则必有 A 与 C 重合，B 与 D 重合，AB 与 CD 为同一线段； B若 0a b ，则, a b 是钝角； C若a 为直线 l 的方向向量，则 a (R)也是 l 的方向向量； D非零向量, ,a b c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则, ,a b c 必共面 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题三、填空题 11若向量2, 3,6 ,1,0, 3ab ，则2ab =_ 12如图所示，在正方体 111
5、1 ABCDABC D中，M 为棱 1 CC的中点，则异面线 1 BD与 AM 所成角的余弦值为_. 13若向量(2a ，1，2)， / /ea 且1e ，则e _ 14已知 123 ,e e e 是空间的一个基底，若 123 0eeve ，则 222 v_. 四、解答题四、解答题 15 如下图所示， 四棱锥PABCD中，PC 底面ABCD，2PCCD，E为AB 的中点，底面四边形ABCD满足90ADCDCB，1AD ，3BC （）求证：平面PDE 平面PAC； （）求二面角DPEB的余弦值 16如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，底面ABCD是边长为 2 的正 方形，PDDC，F
6、，G分别是PB，AD的中点 （1）求证：GF 平面PCB； （2）求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值； （3）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60？若存在，求出M点 坐标，若不存在，请说明理由 17如图一所示，四边形ABCD是边长为 2的正方形，沿BD将C点翻折到1 C点位 置(如图二所示)，使得平面 1 C DB和ADB垂直.,E F分别为 11 ,BC AC的中点. （1）求证： 1 BDAC； （2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值. 18 如图， 边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C，D的点 （1）证明：
7、平面AMD 平面BMC； （2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 参考答案参考答案 1A2B3A4A5C6C7B8D9AC10ABCD111312 3 9 13 2 12 , 3 33 或 21 2 , 33 3 140 15 （）证明见解析； （） 4 17 17 . （）PC 底面ABCD，DEPC， 如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则0,0,0C，2,0,0D，0,3,0B，00 2P,，2,1,0A，1,2,0E， 1,2,0DE ，2, 1,0AC ， 0DE AC ， DEAC，CPCAC，DE 平面
8、PAC， DE 平面PDE，平面PDE 平面PAC； （）设 111 ,nx y z 为平面PDE的一个法向量， 又1,2, 2PE ，1,2,0DE ，0,0,2CP uur ， 则 11 111 20 220 n DExy n PExyz ，取 1 1y ， 得2,1,2n 设 222 ,mxyz 为平面PBE的一个法向量， 又0,3, 2PB ，1,1,0EB ， 则 22 22 320 0 m PByz n EBxy ，取 2 2y ，得2,2,3m ， 4 17 cos, 17 n m m n nm ，二面角DPEB的余弦值 4 17 17 16 （1）证明：以D为原点，DA、DC、
9、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空 间直角坐标系，则(1G，0，0)， (0P ，0，2)，A(2，0，0)， (2B ，2，0)， (0C ， 2，0)， (1F ，1，1)，(0GF ，1，1)，(2PB ，2， 2) ，(0PC ，2， 2) ， 设平面PCB的法向量为 (nx ，y，) z，则 0 0 n PB n PC ，即 2220 2 20 xyz yz ， 令1y ，则0 x ，1z ， (0n ，1，1)， / /GFn ，故GF 平面PCB （2）解：由（1）知，平面PCB的法向量为 (0n ，1，1)，(2PA ，0，2) ， 同（1）可求得平面PAB的法向量(1m
10、，0，1)， cosm ， 11 222 mn n m n ， 由图可知，平面PAB与平面PCB的夹角为钝角， 平面PAB与平面PCB夹角的余弦值为 1 2 （3）解：设AM AP ，则(22M，0，2 ) ， (22DM ，0，2 ) ， DM与PC所成角为60，(0PC ，2，2) ， cos60|cosDM ， 22 4 | (22 )42 2 DM PC PC DMPC ，解得 1 2 ， 故在AP上存在一点M，使得DM与PC所成角为60，点M的坐标为(1，0，1) 17 （1）证明：取BD中点O，连结AO， 1 CO， 11 ABADC BC D， BDAO， 1 BDCO，AO，
11、1 CO 平面 1 ACO， BD平面 1 ACO， 1 AC Q平面 1 ACO， 1 BDAC （2）二面角 1 ABDC是直二面角， 1 90COA， 1 COAO，OA，OB， 1 OC两两垂直， 以O为原点，OA、OB、 1 OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则 (0O ，0，0)， (1A ，0，0)， (0B ，1，0)， (0D ，1，0)， 1(0 C，0，1)， E，F分别为 1 BC， 1 AC的中点 1 1 (0, ) 2 2 E， 11 ( ,0,) 22 F， 11 ( ,1, ) 22 DF ， 3 1 (0, ) 2 2 DE ，设 (nx ，y，)
12、 z是平面DEF的一个法向量， 11 0 22 31 0 22 DF nxyz DE nyz ，令1y ，得(1n ，1，3)， 1 OC 平面ABD，平面ABD的一个法向量 1 (0OC ，0，1)， 设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为， 则 1 1 |3 11 cos 11| | n OC nOC 平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为 3 11 11 18 （1）见解析（2） 2 5 5 解： （1）由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD, 所以 BC平面 CMD,故 BCDM. 因为 M 为CD 上异于 C，D 的点,且 D
13、C 为直径，所以 DMCM. 又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC. 而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC. （2） 以 D 为坐标原点,DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 当三棱锥 MABC 体积最大时，M 为CD 的中点. 由题设得0,0,0 ,2,0,0 ,2,2,0 ,0,2,0 ,0,1,1DABCM， 2,1,1 ,0,2,0 ,2,0,0AMABDA 设, ,nx y z是平面 MAB 的法向量,则 0, 0. n AM n AB 即 20, 20. xyz y 可取1,0,2n . DA 是平面 MCD 的法向量,因此 5 cos , 5 n DA n DA n DA ， 2 5 sin , 5 n DA ， 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2 5 5 .
