1、试卷第 1页，总 6页 绝密绝密启用前启用前 期末复习模拟一期末复习模拟一 范围：选择性必修一+数列 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题一、单选题 1若圆 22 1,xaybabRR关于直线 1yx对称的圆的方程是 22 131,xy则a b等于（） A4B2C6D8 2在等比数列 n a中，若 4 a， 8 a是方程 2 430 xx 的两根，则 6 a的值是（） A 3 B3C 3 D 3 3平行六面体 1111 ABCDABC D中，M为AC与BD的交点，若AB a ，AD b ， 1 AAc ，则下列式子中与 1 DM 相等的是（） A 11 22 abcB 11 22
2、 abc C 11 22 abcD 11 22 abc 4抛物线 2 yx的准线方程为（ ） A 1 2 x B 1 4 x C 1 2 x D 1 4 x 5等差数列 n a的前m项和为 20，前2m项和为 70，则它的前3m的和为（） A130B170C150D210 6已知两点 0,3 ,4,0AB ，若点P是圆 22 20 xyy上的动点，则ABP面积的 最大值为（） A13B3C 13 2 D 3 2 7已知数列 n a满足 1=1 a， * 1=2 ( ) n nn aanN ，则 2019 S等于（） A 2019 21 B 1010 3 23 C 1011 23 D 1010
3、3 22 8正方体 1111 ABCDABC D中，点P在 1 AC上运动（包括端点） ，则BP与 1 AD所成 角的取值范围是（） A, 4 3 B, 4 2 C, 6 2 D, 6 3 二、多选题二、多选题 9对于任意非零向量 111 ,ax y z ， 222 ,bxyz ，以下说法错误的有() A若a b ，则 12121 2 0 x xy yz z B若 /a b r r ，则 111 222 xyz xyz C 121212 222222 111222 cos, x xy yz z xyz a z b xy 试卷第 3页，总 6页 D若 111 1xyz，则a 为单位向量 10设x
4、R，用 x表示不超过x的最大整数，则函数 yx称为高斯函数，也叫取 整函数，如：1.51，1.32 ，则下列结论正确的是（） A若nZ，则 nxnx B 1xxx C 02x x 的解集为0,2 D当0,xn， * nN 时，函数 f xx x 的值域中元素个数为 2 2 2 nn 11 四棱柱 1111 ABC DABCD中，O为正方形ABCD的中心， 11 A AACAB，,M N 分别为线段 1 A A， 1 AB的中点，下列结论正确的是（） A 1 C C/平面OMNB平面 1 / /ACD平面OMN C直线 1 AC与直线MN所成的角为90D 1 OMD D 12关于递增等比数列 n
5、 a，下列说法不正确的是（） A当 1 0 1 a q B 1 0a C1q D 1 1 n n a a 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题三、填空题 13 若 直 线30 xym截 半 圆 2 25yx所 得 的 弦 长 为8， 则 m 14数列 n a的前n项和为 2 31 n Snn，则它的通项公式为_. 15已知平面内两个定点(3,0)M和点( 3,0)N ，P是动点，且直线PM,PN的斜率 乘积为常数(0)a a ，设点P的轨迹为C. 存在常数(0)a a ，使C上所有点到两点( 4,0),(4,0) 距离之和为定值； 存在常数(0)a a ，使C上所有点到两点
6、(0, 4),(0,4)距离之和为定值； 不存在常数(0)a a ，使C上所有点到两点( 4,0),(4,0) 距离差的绝对值为定值； 不存在常数(0)a a ，使C上所有点到两点(0, 4),(0,4)距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_.（填出所有正确命题的序号） 16在平面直角坐标系xOy中，双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分 别为 1 F， 2 F，以 2 F为圆心，a为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的渐近线 方程为_. 四、解答题四、解答题 17光线通过点 ?灄，在直线 ? ? ? ? 上反射，反射光线经过点 ?灄. (1)求点 ?灄关于
7、直线 ? 对称点的坐标； (2)求反射光线所在直线的一般式方程 18已知数列?是等比数列，?为数列?的前 ? 项和，且?， . （1）求数列?的通项公式； （2） 设? log ?， 且?为递增数列， 若? ? ?， 求证： ? ? ? ? ? ? ?. 19 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，2ABBC， 7ADCD ， 3PA ，120ABC ，G 为线段PC上的点 试卷第 5页，总 6页 （1）证明：BD 平面PAC； （2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值 20定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角 形”如果两个椭圆
8、的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三 角形的相似比称为椭圆的相似比已知椭圆 2 2 1: 1 4 x Cy （1）若椭圆 22 2: 1 164 xy C，判断 1 C与 2 C是否相似？如果相似，求出 1 C与 2 C的相 似比；如果不相似，请说明理由； （2） 写出与椭圆 1 C相似且短半轴长为b的椭圆 b C的方程； 若在椭圆 b C上存在两点M、 N关于直线 1yx对称，求实数b的取值范围 21已知数列 n a中， 1 1a ， 1 21 12 3 n n nn aann . （1）求证：数列 2 3 2 n a 是等比数列； （2）若 n S为数列 n a的
9、前n项和，求 n S的最大值. 22如图已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为1,0F，圆 22 0 xypx，直线l： 0 2 p yxk 与抛物线和圆从下至上顺次交于四点A，B，C，D. （1）若2 BCABCD，求k的值； （2）若直线ml于点F，直线m与抛物线交于点G，H，设AD，GH的中点分 别为MN，求证：直线MN过定点. 参考答案参考答案 1A2C3A4D5C6C7C8D 9BD10ABD11BD12BCD 133 1014 5,1 22,2 n n a nn 1516 yx 17 （1） ? 灄； （2）? ? ? 【详解】 （）设点 ?，灄关于直线l的对称点为?灄，则 ?
10、 ? ? ? ? ? ? 解得? ? ，即点 ?，灄关于直线l的对称点为? ? 灄 （）由于反射光线所在直线经过点? ? 灄和 ?灄，所以反射光线所在直线的方程 为 ? ? ? ? ?灄即 ? ?.? ? 【点睛】 本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力. 18 （1）? 或? ? ? 灄?.（2）详见解析 【解析】 试题分析： （?）设数列?an?的公比为 q，从而可得a? q q灄 ，从而解得； （）讨论 可知an? ? ? 灄n ? ? 灄n，从而bn log an logn n，利用裂项求 和即可. 试题解析： （?）设数列?an?的公比为 q， 当 q ? 时，符合条件，a?
11、 a， an， 当 q ? ? 时，? a?q a?q灄 ?q ，所以? a?q a? ? q灄 ，解得a? ? ，q ? . an? ? ? 灄n?， 综上：an 或an? ? ? 灄n?. 注：列方程组? a?q a? a? a?q 求解可不用讨论. （）证明：若an， 则bn，? 与题意不符； an? ? ? 灄n ? ? 灄n，bn log an logn n， cn ? bnbn? ? nn?灄 ? n ? n?， c? c c ? cn ? ? 灄 ? ? 灄 ? ? n ? n? 灄 ? ? n? ? ?. 19 （1）见解析； （2） 4 3 3 【解析】 试题分析： （1）推
12、导出 PABD，BDAC，由此能证明 BD平面 PAC （2）由 PA平面 ABCD，得 GO面 ABCD，DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角， 由此能求出 DG 与平面 APC 所成的角的正切值 试题解析： （1）证明：在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， PABD.2ABBC， 7ADCD . 设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线， 故O为AC的中点，且BDAC. 而PAACA，BD 面PAC； （2）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于 1 2 PA， 故由PA 面ABCD，可得GO 面ABCD， GOOD，故OD 平面PAC，故DGO为DG与平面PA
13、C所成的角 由题意可得 13 22 GOPA ，ABC中，由余弦定理可得， 222 2cosACABBCAB BCABC442 2 2 cos12012 ， 2 3AC ， 3OC . 直角三角形COD中， 22 2ODCDCO ， 直角三角形GOD中， 4 3 tan 3 OD DGO OG . 点睛：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审 题，注意空间思维能力的培养 20(1)相似;相似比为1:2;(2) 22 22 1(0) 4 xy b bb ; 5 3 b . 【详解】 (1)由题意知:椭圆 1 C的特征三角形是腰长为 1 a=2,底边长 2 1
14、c=2 3的等腰三角形; 椭圆 2 C的特征三角形是腰长为 2 a=4,底边长 2 2 c=4 3的等腰三角形,则由 11 22 21 22 ac ac ,得两 个三角形相似,所以可得椭圆 1 C与椭圆 2 C相似,且相似比为1:2; (2)由椭圆 1 C和椭圆 b C相似,且短半轴长分别为 1 和b,可得相似比为 1: b,则可得椭圆 b C 的长半轴长为 2 b,所以椭圆 b C的方程为: 22 22 1(0) 4 xy b bb ; 由题意设直线 MN l为yxm ,点 M 11 ,x y,N 22 ,xy,中点坐标为( 1212 , 22 xxyy ), 联立 22 22 1 4 yx
15、m xy bb 消元化简得: 222 58440 xmxmb 12 22 12 8 5 44 5 m xx mb x x 12 4 25 xxm , 1212 225 yyxxm m , 中点坐标为 ( 4 5 m ,5 m ) 由中点在直线1yx上,可得 5 m = 4 5 m +1,解得m= 5 3 , 由直线 MN l与椭圆 b C有两个不同的交点得 2 22 8m4 5440mb , 代入m= 5 3 解得 5 3 b . 故实数b的取值范围为 5 3 b 【点睛】 本题借助于新型概念考查了椭圆方程的求法以及利用直线与椭圆的位置关系求参数范围的 问题,考查了学生的综合运算能力, 在解决
16、直线与椭圆位置关系的问题时通常联立解直线与 椭圆方程组成的方程组,消元利用韦达定理根的判别式来解决，运算过程常常采用设而不求, 整体代入等解法,是高考常考题型. 21 （1）证明见解析； （2） 7 3 【详解】 （1）设 2 3 2 nn ba， 因为 22 1 2 3 2 3 2 n n n n a b b a 21 2 13 21 32 3 2 n n an a 2 2 13 621 32 3 2 n n ann a 2 2 11 1 32 3 3 2 n n a a ， 所以数列 2 3 2 n a 以 1 3 为公比的等比数列. （2）由于 21 14 12 33 aa ，故 1 4
17、31 326 b ，又 n b是以 1 3 为公比的等比数列， 可得 1 1111 6323 nn n b ，又 2 3 2 nn ba得到 2 113 232 n n a . 由 221 1 21 3 nn aan ，得 1 212 1115 33 216 232 n nn aann ， 所以 1 212 1111 69269 2333 nnn nn aann ， 21234212nnn Saaaaaa 2 111 26 129 333 n nn 11 1 33 1 269 1 2 1 3 n n n n 2 2 11 1 36312 33 nn nnn ， 当 * nN 时， 2n S单调
18、递减，当1n 时， 2n S取最大值 2 7 0 3 S ； 2 2 2122 315311 3631 232232 nn nnn SSannn ， 当 * nN 时， 21n S 单调递减，当1n 时， 21n S 取最大值 1 4 3 S ； 综上， n S的最大值为 2 7 3 S . 【点睛】 本题考查等比数列求和公式， 数列的通项公式， 数列的单调性等知识， 是一道较难的综合题. 22 （1） 2k ； （2）3,0 详解： （）由题意可得，圆心为1,0F，圆的半径为 1， 设，由 2 4 1 yx yk x 得 2 440kyyk， 12 4 yy k ， 1212 2 14 22
19、xxyy kk ， 1212 2 4 11224ABCDAFDFBCxxxx k ， 2k () 12 4 yy k ， 12 2 4 2xx k 2 22 1,M kk ,用替换可得 2 21, 2Nkk， 2 1 MN k k k MN的直线方程为 2 2 221 1 k ykxk k ，化简得 2 3 1 k yx k ， 直线MN过定点3,0. 点睛：解析几何“定元素”问题在近几年高考中频频出现，所谓的定，就是当一部分几何元 素按某种规律在一定范围内变动时， 与它有关的量始终保持不变，解决此类问题的策略往往 是要利用特殊与一般的关系， 可先在特殊情况下求出这个可能的定值，再通过逻辑推理证明 这个定值即为所求.
