1、期末复习期末复习 空间向量综合卷空间向量综合卷 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题一、单选题 1若 , ,a b c 构成空间的一组基底，则() A,bc bc a 不共面B,2bc bcb 不共面 C, ,bc a abc 不共面D,2 ,ac ac c 不共面 2已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)c,则 x 等于() A4B-4 C 1 2 D-6 3 123 ,e e e 是空间的一个基底， 向量 113 eeae ， 123 beee ， 123 ceee ， 123 23deee .若dxayb zc ，则x，y，z分
2、别为（）. A 5 2 ，1， 1 2 B 5 2 ，1， 1 2 C 5 2 ，1， 1 2 D 5 2 ，1， 1 2 4已知, ,i j k 是两两垂直的单位向量，32,2aijk bijk ，则5a 与3b 的数 量积等于（） A15B5C3D1 5在如图所示的坐标系中, 1111 ABCDABC D 为正方体,给出下列结论: 直线 1 DD 的一个方向向量为(0,0,1); 直线 1 BC的一个方向向量为(0,1,1); 平面 11 ABB A的一个法向量为(0,1,0); 平面 1 B CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为() A1B2 C3D4 6向量(2,1,
3、),(2, , 1)ax by ，若5a ，且ab ，则x y 的值为（） A1B1 C4D4 7如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点,E F分别是棱 1 ,BC CC的中 点，P 是侧面 11 BCC B内一点，若 1 AP平行于平面AEF，则线段 1 AP长度的最小值为 （） A 2 B 3 2 2 C 3 D 5 8 如图， 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，1,2,8 i P i 是上底面上其余的八个点，则1,2,8 i AB AP i 的不同值的个数为（） A8B4C2D1 二、多选题二、多选题 9 已知1, , 2a ，2, 1,1b
4、 ,且a 与b 夹角为120， 则的取值可以是 （） A17B-17C-1D1 10给出下列命题，其中不正确的命题为（） A若AB CD ，则必有 A 与 C 重合，B 与 D 重合，AB 与 CD 为同一线段； B若 0a b ，则, a b 是钝角； C若a 为直线 l 的方向向量，则 a (R)也是 l 的方向向量； D非零向量, ,a b c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则, ,a b c 必共面 11 （多选题）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，5AB ，4AD， 1 3AA ， 以直线DA，DC， 1 DD分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐
5、标系，则（） A点 1 B的坐标为(4,5,3) B点 1 C关于点B对称的点为(5,8, 3) C点A关于直线 1 BD对称的点为(0,5,3) D点C关于平面 11 ABB A对称的点为8,5,0 12如图，棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 AB上的动点（不含端 点） ，则下列结论正确的是（） A直线 1 D P与AC所成的角可能是 6 B平面 11 D AP 平面 1 A AP C三棱锥 1 DCDP的体积为定值 D平面 1 APD截正方体所得的截面可能是直角三角形 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 未命名 三、填空题三、填空题 13若向量2
6、, 3,6 ,1,0, 3ab ，则2ab =_ 14如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，M 为棱 1 CC的中点，则异面线 1 BD与 AM 所成角的余弦值为_. 15若向量(2a ，1，2)，/ /ea 且1e ，则e _ 16已知 123 ,e e e 是空间的一个基底，若 123 0eeve ，则 222 v_. 四、解答题四、解答题 17 如下图所示， 四棱锥PABCD中，PC 底面ABCD，2PCCD，E为AB 的中点，底面四边形ABCD满足90ADCDCB，1AD ，3BC （）求证：平面PDE 平面PAC； （）求二面角DPEB的余弦值 18如图，在四棱锥PAB
7、CD中，PD 底面ABCD，底面ABCD是边长为 2 的正 方形，PDDC，F，G分别是PB，AD的中点 （1）求证：GF 平面PCB； （2）求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值； （3）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60？若存在，求出M点 坐标，若不存在，请说明理由 19如图一所示，四边形ABCD是边长为 2的正方形，沿BD将C点翻折到 1 C点位 置(如图二所示)，使得平面 1 C DB和ADB垂直.,E F分别为 11 ,BC AC的中点. （1）求证： 1 BDAC； （2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值. 20 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面A
8、BCD为矩形，4AB ，2AD ， 平面PAD 平面ABCD，PAPD且PAPD，E，F分别为AD，PB的中点. 求： （1）点B到平面DEF的距离. （2）平面DEF与平面PBC的夹角的正弦值. 21 如图， 边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C，D的点 （1）证明：平面AMD 平面BMC； （2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 22如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面 1 ,2ABC AAACBC, 90ACB ， ,D E分别是 111 ,AB CC的中点 （1）求证： 1 / /
9、C D平面 1 ABE； （2）求直线 1 BC与平面 1 ABE所成角的正弦值； （3）在棱 1 CC上是否存在一点P，使得平面PAB与平面 1 ABE所成二面角为60？若 存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 第一章综合参考答案第一章综合参考答案 1A2B3A4A5C6C7B8D9AC10ABCD11ACD12BC1313 14 3 9 15 ： （ 2 12 3 33 ，）或（ 2 3 ， 1 3 ， 2 3 ） 160 17 （）PC 底面ABCD，DEPC， 如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则0,0,0C，2,0,0D，0,3,0
10、B，00 2P,，2,1,0A，1,2,0E， 1,2,0DE ，2, 1,0AC ， 0DE AC ， DEAC，CPCAC，DE 平面PAC， DE 平面PDE，平面PDE 平面PAC； （）设 111 ,nx y z 为平面PDE的一个法向量， 又1,2, 2PE ，1,2,0DE ，0,0,2CP uur ， 则 11 111 20 220 n DExy n PExyz ，取 1 1y ，得2,1,2n 设 222 ,mxyz 为平面PBE的一个法向量，又0,3, 2PB ，1,1,0EB ， 则 22 22 320 0 m PByz n EBxy ，取 2 2y ，得2,2,3m ，
11、 4 17 cos, 17 n m m n nm ，二面角DPEB的余弦值 4 17 17 18 （1）证明：以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空 间直角坐标系，则(1G，0，0)， (0P ，0，2)，A(2，0，0)， (2B ，2，0)， (0C ， 2，0)， (1F ，1，1)，(0GF ，1，1)，(2PB ，2， 2) ，(0PC ，2， 2) ， 设平面PCB的法向量为 (nx ，y，) z，则 0 0 n PB n PC ，即 2220 2 20 xyz yz ， 令1y ，则0 x ，1z ， (0n ，1，1)， / /GFn ， 故GF 平面P
12、CB （2）解：由（1）知，平面PCB的法向量为 (0n ，1，1)，(2PA ，0，2) ， 同（1）可求得平面PAB的法向量(1m ，0，1)，cosm ， 11 222 mn n m n ， 由图可知，平面PAB与平面PCB的夹角为钝角，平面PAB与平面PCB夹角的余 弦值为 1 2 （3）解：设AM AP ，则(22M，0，2 ) ， (22DM ，0，2 ) ， DM与PC所成角为60，(0PC ，2， 2) ， cos60|cosDM ， 22 4 | (22 )42 2 DM PC PC DMPC ，解得 1 2 ， 故在AP上存在一点M，使得DM与PC所成角为60，点M的坐标为
13、(1，0，1) 19 （1）证明：取BD中点O，连结AO， 1 CO， 11 ABADC BC D， BDAO， 1 BDCO，AO， 1 CO 平面 1 ACO， BD平面 1 ACO， 1 AC Q平面 1 ACO， 1 BDAC （2）二面角 1 ABDC是直二面角， 1 90COA， 1 COAO，OA，OB， 1 OC两两垂直，以O为原点，OA、OB、 1 OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐 标系， 则 (0O ，0，0)， (1A ，0，0)， (0B ，1，0)， (0D ，1，0)， 1(0 C，0，1)， E，F分别为 1 BC， 1 AC的中点 1 1 (0, ) 2
14、2 E， 11 ( ,0,) 22 F， 11 ( ,1, ) 22 DF ， 3 1 (0, ) 2 2 DE ， 设 (nx ，y，) z是平面DEF的一个法向量， 11 0 22 31 0 22 DF nxyz DE nyz ，令1y ，得(1n ，1，3)， 1 OC 平面ABD，平面ABD的一个法向量 1 (0OC ，0，1)， 设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为， 则 1 1 |3 11 cos 11| | n OC nOC 平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为 3 11 11 20 （1） 4 17 17 ； （2） 8 17 . （1）连接PE，DF，因为PAP
15、D，所以PEAD， 又平面PAD 平面ABCD，所以PE 面ABCD； 又底面ABCD为矩形，取BC中点H，连接EH，则EA，EH，EP两两垂直； 以EA ，EH ，EP 为一组正交基底建立空间直角坐标系，因为4AB ，2AD ， 所以(0,0,0)E，( 1,0,0)D ，(1,4,0)B，( 1,4,0)C ， 又PAPD，所以 PAD 为直角三角形，则 1 1 2 PEAD， 所以(0,0,1)P， 11 ,2, 22 F ， 则1, 4,0BE ，1,0,0ED ， 11 ,2, 22 EF ， 设平面DEF的一个法向量为 1 , ,nx y z ， 则 1 2 0 11 20 22
16、ED nx EF nxyz ，因此 0 4 x zy ，不妨令1y ，则 1 0,1, 4n ， 所以点B到平面DEF的距离为 1 1 1 4 17 cos, 17 BE n dBEBE n n ； （2）设平面PBC的一个法向量为 2111 ,nx y z ，因为1,4, 1PB ， 1,4, 1PC ， 则 1111 2111 40 40 PB nxyz PC nxyz ，则 1 11 0 4 x zy ，不妨令 1 1y ，则 2 0,1,4n . 设平面DEF与平面PBC的夹角为，故 12 12 12 15 coscos, 17 n n n n n n ， 又因为0, ，所以 8 si
17、n 17 . 21 解：（1） 由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD, 所以 BC平面 CMD,故 BCDM.因为 M 为CD 上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DMCM. 又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC. （2） 以 D 为坐标原点,DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 当三棱锥 MABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得 0,0,0 ,2,0,0 ,2,2,0 ,0,2,0 ,0,1,1DABCM， 2,1,1 ,0,2,0 ,
18、2,0,0AMABDA 设, ,nx y z是平面 MAB 的法向量,则 0, 0. n AM n AB 即 20, 20. xyz y 可取1,0,2n . DA 是平面 MCD 的法向量,因此 5 cos , 5 n DA n DA n DA ， 2 5 sin , 5 n DA ，所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2 5 5 . 22 （1）证明:取AB的中点F，连接DF，交 1 AB于点M，可知M为DF的中点， 连接EM，易知四边形 1 C DME为平行四边形，所以 1 / /C DEM， 又 1 C D 平面 1 ABE，EM 平面 1 ABE，所以 1 / /C
19、D平面 1 ABE. （2）分别以 1 ,CA CB CC所在的直线为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 可得 11 (0,2,0),(0,0,2),(0,0,1),(2,0,2)BCEA， 则 11 (0, 2,2),(2,0,1),(0,2, 1)BCEAEB ， 设平面 1 ABE的法向量为( , , )nx y z ， 则 1 0 0 n EA n EB ，即 20 20 xz yz ，令1x ，可得1,2yz ，即(1, 1, 2)n ， 所以 1 1 1 3 cos, 6 BC n BC n BCn ， 所以直线 1 BC与平面 1 ABE所成角的正弦值为 3 6 .
20、 （3）假设在棱 1 CC是存在一点P，设,(02)CPaa，可得(0,0, )Pa， 由(2,0,0), (0,2,0)AB，可得(2,0,),(0,2,)PAa PBa ， 设平面PAB的法向量为 111 ( ,)mx y z ， 则 0 0 m PA m PB ，即 1 2 20 20 xaz yaz ，令2z ，可得 11 ,xa ya，即 ( , ,2)ma a ， 又由平面 1 ABE的一个法向量为 (1, 1, 2)n ，所以 22 4 cos, 46 m n m n mnaa ，因为平面PAB与平面 1 ABE所成二面角为 60， 可得 22 41 cos60 2 46aa ，解得 2 10 3 a ，此时 30 3 a ，符合题意， 所以在棱 1 CC上存在一点 30 0,0, 3 P ，使得平面PAB与平面 1 ABE所成二面角为 60.
