1、4.4数学探究活动：数学探究活动： 了解高考选考科目的确定是否与性别有关了解高考选考科目的确定是否与性别有关 (略略) 巩固层知识整合 提升层题型探究 条件概率、乘法公式及全概率公式 【例 1】设某批产品中， 甲、 乙、 丙三厂生产的产品分别占 45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为 4%, 2%, 5%, 现从中任取一件 (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品， 求该产品是甲厂生产的概率 解记事件 A1： “该产品是甲厂生产的”， 事件 A2:“该产品为乙厂生产的”， 事件 A3：“该产品为丙厂生产的”， 事件 B：“该产品是次品”. 由题设， 知 P
2、(A1)45%， P(A2)35%， P(A3)20%， P(B|A1)4%， P(B|A2)2%， P(B|A3) 5%. (1)由全概率公式得 P(B) 3 i1P(Ai)P(B|Ai)3.5%. (2)由贝叶斯公式得 P(A1|B)P(A1)P(B|A1) P(B) 18 35. 无论条件概率公式 PA|BPAB PB ，乘法公式 PABPBPA|B，还是贝叶 斯公式 PA|BPAB PB PAPB|A PAPB|AP a PB| a都反映了 PA，PB|A，PAB 三者之间的转化关系，灵活应用即可. 跟进训练 1外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个其中，第一个盒子中有 7 个球
3、标有字母 A,3 个球标有字母 B；第二个盒子中有红球和白球各 5 个；第三个 盒子中有红球 8 个，白球 2 个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一 个球，若取得标有字母 A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标 有字母 B 的球，则在第三个盒子中任取一个球若第二次取出的是红球，则称试 验成功，求试验成功的概率 解设 A从第一个盒子中取得标有字母 A 的球, B从第一个盒子中 取得标有字母 B 的球， R第二次取出的球是红球， 易得 P(A) 7 10，P(B) 3 10， P(R|A) 1 2，P(R|B) 4 5， 事件“试验成功”表示为 RARB， 又事件 RA 与事
4、件 RB 互斥， 故由概率的 加法公式得 P(RARB)P(RA)P(RB)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)1 2 7 10 4 5 3 10 0.59. 独立重复试验与二项分布 【例 2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛) (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率； (2)按比赛规则甲获胜的概率 解(1)甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为1 2，乙获胜的 概率为1 2. 记事件 A“甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C“甲打完 5 局才能
5、取胜” 甲打完 3 局取胜，相当于进行 3 次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜， 甲打完 3 局取胜的概率为 P(A)C33 1 2 3 1 8. 甲打完 4 局才能取胜，相当于进行 4 次独立重复试验，且甲第 4 局比赛取 胜，前 3 局为 2 胜 1 负， 甲打完 4 局才能取胜的概率为 P(B)C231 2 1 2 2 1 2 3 16. 甲打完 5 局才能取胜，相当于进行 5 次独立重复试验，且甲第 5 局比赛取 胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负， 甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C)C24 1 2 2 1 2 2 1 2 3 16. (2)事件 D“按比赛规则甲获胜”，则 DA
6、BC， 又事件 A，B，C 彼此互斥， 故 P(D)P(A)P(B)P(C) 1 8 3 16 3 16 1 2， 按比赛规则甲获胜的概率为1 2. 1在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率 2根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之 间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率 跟进训练 2 某同学参加科普知识竞赛， 需回答 3 个问题， 竞赛规则规定： 答对第 1,2,3 个问题分别得 100 分，100 分，200 分，答错得零分假设这名同学答对第 1,2,3 个问题的概率分别为
7、0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响 (1)求这名同学得 300 分的概率； (2)求这名同学至少得 300 分的概率 解记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i1,2,3)， 则 P(A1)0.8， P(A2) 0.7，P(A3)0.6. (1)这名同学得 300 分的概率为：P1P(A1 A 2A3)P( A 1A2A3) P(A1)P( A 2)P(A3)P( A 1)P(A2)P(A3) 0.80.30.60.20.70.60.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率为： P2P1P(A1A2A3)P1P(A1)P(A2)P(A3) 0.2280.80
8、.70.60.564. 离散型随机变量的分布列、均值和方差 【例 3】某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费 500 元 便得到抽奖券一张， 每张抽奖券的中奖概率为1 2，若中奖， 商场返回顾客现金 100 元某顾客现购买价格为 2 300 元的台式电脑一台，得到奖券 4 张 (1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列 (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为(元)， 用表示， 并求的数学期望 解(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此B 4，1 2 . P(0)C04 1 2 4 1 16， P(1)C14 1 2 4 1 4， P(2)C24 1 2 4 3 8， P
9、(3)C34 1 2 4 1 4， P(4)C44 1 2 4 1 16， 其分布列为 01234 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 (2)B 4，1 2 ，E()41 22. 又由题意可知2 300100， E()E(2 300100)2 300100E() 2 30010022 100 元 即所求变量的期望为 2 100 元 1对于特殊分布列的均值： (1)若 XB(n，p)，则 E(X)np； (2)若 XH(N，n，M)，则 E(X)nM N ； (3)若 YaXb，则 E(Y)aE(X)b. 2对于一般分布列的均值，求解的关键依然是随机变量的取值范围及相应 概率的计算
10、跟进训练 3为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参 加现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名， 其中种子选手 3 名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自 同一个协会”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期 望 解(1)由已知，有 P(A)C 2 2C23C23C23 C48 6 35. 所以，事件 A 发生的概率为 6 35. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2
11、,3,4. P(Xk)C k 5C4 k 3 C48 (k1,2,3,4) 所以，随机变量 X 的分布列为 X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 随机变量 X 的数学期望 E(X)1 1 142 3 73 3 74 1 14 5 2. 正态分布及其应用 【例 4】已知(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，在某 项测量结果中，测量结果服从正态分布(，2)，且 E()2，D()9，则概率 P(15)等于() A(1)(1)B2(1)1 C12(1)D 3 2 (2) AE()2，D()9，总体服从正态分布， XB(2,32)，(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概
12、率，F( x) x2 3， P(15) 52 3 12 3(1)(1)，故选 A. 求解正态分布问题的三个关注点 1标准正态分布N(0,1)与非标准正态分布 YN(，2)之间可通过 Z Y N(0,1)实现转化 2若N(0,1)，则(x)P(x) 3正态曲线是轴对称图形，要会利用其对称性解题 跟进训练 4为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1 000 名年龄 在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重 X(kg)服从 正态分布 N(，22)，且正态分布密度曲线如图所示若体重大于 58.5 kg 小于等 于 62.5 kg 属于正常情况，则这 1 0
13、00 名男生中属于正常情况的人数是() A997B954 C819D683 D由题意，可知60.5，2，故 P(58.5X62.5)P(40，所以预测该批次混凝土达标 ()令 f281.2f7740，得 f727.5. 所以估计龄期为 7 天的混凝土试件需达到的抗压强度为 27.5 MPa. 培优层素养升华 【例】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动 设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始 使用扫码支付 某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的 人次， 用 x 表示活动推出的天数， y 表示每天使用扫码支付的人次(单位： 十
14、人次)， 统计数据如表 1 所示： 表 1 x1234567 y611213466101196 根据以上数据，绘制了如下图所示的散点图 (1)根据散点图判断，在推广期内，yabx 与 ycdx(c，d 均为大于零的常 数)哪一个适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型？(给 出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表 1 中的数据，求 y 关于 x 的回归方程，并预测活 动推出第 8 天使用扫码支付的人次； (3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表 2 所示： 表 2 支付方式现金乘车卡扫码 比例10%60%30% 已知该线路公交车票
15、价为 2 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支 付的乘客享受 8 折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫 码支付的乘客，享受 7 折优惠的概率为1 6，享受 8 折优惠的概率为 1 3，享受 9 折优 惠的概率为1 2.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一 名乘客一次乘车的平均费用 参考数据： y v 7 i1xiyi 7 i1xivi 100.54 62.141.542 53550.123.47 其中 vilg yi， v 1 7 7 i1vi. 参考公式： 对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线v au 的斜 率
16、和截距的最小二乘估计公式分别为： n i1uivin u v n i1u 2 in u 2 ，a vu. 解(1)根据散点图判断， ycdx适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出 天数 x 的回归方程类型 (2)ycdx，两边同时取常用对数得：lg ylg(cdx)lg clg dx，设 lg y v，vlg clg dx. x 4， v1.54， 7 i1x 2 i140， lg d 7 i1xivi7 x v 7 i1x 2 i7 x 2 50.12741.54 140742 7 280.25， 把样本中心点(4,1.54)代入 vlg clg dx，得：lg c0.54， v 0.54
17、0.25x，lg y0.540.25x， y 关于 x 的回归方程式：y 100.540.25x100.54(100.25)x3.47100.25x.把 x 8 代入上式，y 3.47102347. 活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 3 470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为 Z，则 Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4， P(Z2)0.1；P(Z1.8)0.31 20.15； P(Z1.6)0.60.31 30.7；P(Z1.4)0.3 1 60.05. 分布列为 Z21.81.61.4 P0.10.150.70.05 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为 20.11.80.
18、151.60.71.40.051.66(元) 这类问题以社会背景为载体，融统计、概率、数据分析、数学建模等知识于 一体，重在考查学生的信息提取、数据分析和数学建模能力，合理应用知识解题 是求解此类问题的关键. 素养提升 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕 业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健 康成长的有效措施 某市初中毕业生升学体育考试规定， 考生必须参加立定跳远、 掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分 50 分，其中立定跳远 15 分，掷 实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生
19、每分钟跳绳的情况， 随机抽取了 100 名学生进行测试， 得到下边频率分布直方图， 且规定计分规则如下表： 每分钟跳 绳个数 155,165)165,175)175,185)185，) 得分17181920 (1)现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分 的概率； (2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N(，2)，用样本 数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 s2169(各组数据用 中点值代替)根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时 每人每分钟跳绳个数都有明显进步， 假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数
20、比 初三上学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模型： 预计全年级恰有 2 000 名学生， 正式测试每分钟跳 182 个以上的人数； (结 果四舍五入到整数) 若在全年级所有学生中任意选取 3 人， 记正式测试时每分钟跳 195 以上的 人数为，求随机变量的分布列和期望 附：若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，则 P(X)0.682 7， P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3. 解(1)设“两人得分之和不大于 35 分”为事件 A，则事件 A 包括两种情况： 两人得分均为 17 分；两人中 1 人得 17 分，1 人得 18 分 由古典概型概率公式可得 P(
21、A)C 2 6C16C112 C2100 29 1 650， 所以两人得分之和不大于 35 分的概率为 29 1 650. (2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数为 x 1600.061700.121800.341900.302000.12100.08 185(个)， 又由 s2169，得 s13， 所以正式测试时195，13， 182. 由正态曲线的对称性可得 P(182)110.682 7 2 0.841 35， 0.841 352 0001 682.71 683(人)， 所以可预计全年级恰有 2 000 名学生，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数 为 1 683 人 由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 195 以上 的概率为 0.5， 所以B(3,0.5)， P(0)C03(10.5)30.125， P(1)C130.5(10.5)20.375， P(2)C230.52(10.5)0.375， P(3)C330.530.125. 的分布列为 0123 P0.1250.3750.3750.125 E(X)30.51.5.
