1、2020-2021 高一数学下学期期末复习练习（四） 考查知识：苏教版必修第二册 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1已知2 iz ，则iz z （） A.62iB.42iC.62iD.42i 2函数( )sincos 33 xx f x 的最小正周期和最大值分别是（） A.3和 2 B.3和 2C.6和 2 D.6和 2 3已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A.2B. 2 2 C.4D. 4 2 4若tan2 ，则 sin1 sin2 sincos （） A. 6 5 B. 2 5 C. 2 5 D. 6 5 5为了解某地农村经济情况，对该
2、地农 户家庭年收入进行抽样调查，将农户 家庭年收入的调查数据整理得到如下 频率分布直方图：根据此频率分布直方图， 下面结论中不正确的是（） A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 6在正方体 1111 ABCDABC D中，P 为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7有 6 个相同的球，分别标有
3、数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球， 甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”， 乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”， 则（） A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立 8在ABC中，已知120B ， 19AC ，2AB ，则BC （） A. 1B. 2 C. 5 D. 3 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9已知 2 (1)32izi，则下列结论正确的是（） A. 3 1 2 zi B. 3 1 2 zi C.
4、 在复平面内，复数z对应的点位于第二象限 D. 在复平面内，复数z对应的点位于第三象限 10有一组样本数据 1 x， 2 x， n x，由这组数据得到新样本数据 1 y， 2 y， n y，其 中(1 ii yxc i，2，)n，c为非零常数，则() A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本中位数相同 C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同 11已知O为坐标原点，点 1 cos ,sinP， 2 cos, sinP， 3 cos,sinP，()1,0A，则（） A. 12 OPOP B. 12 APAP C. 3 12 OA OPOP OP D. 123 OA O
5、POP OP 12已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为 AC和 1 CC的中点， 11 BFAB，且已知 D 为棱 11 AB上的点， 则下列选项正确的是（） A.ABBCB.BFDE C.三棱锥FEBC的体积为 1D. 三棱锥FEBC的体积为 1 3 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13化简或求值： 22 5 coscos 1212 _. 14已知向量2,5 ,4ab ，若 /a b r r ，则_ 15 记ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为 3， 60B ， 22 3acac ， 则b
6、 _ 16已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30则该圆锥的侧面积为_. 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为 2 1 S 和 2 2 S （1）求x，y， 2 1 S， 2 2 S；
7、（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 SS yx ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则 不认为有显著提高） 18如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O为BD的中点. （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角 EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积. 19记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 2 bac ，点D在边AC上， sinsinBDABCaC. （1）证明：BDb； （2）若2ADDC，求cosABC.
8、 20如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M 为BC的中点，且 PBAM （1）证明：平面PAM 平面PBD； （2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积 21在 1 cos 2 aBbc： 22 ()abc bc这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到 下面的横线上并作答 问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_ （）求角A； （）若sin3sinBC，13a ，求ABC的周长 22如图，三棱锥SABC中，点S在平面ABC的投影为点A，2BC ，2 2AB ， 45CBA，点M，N分别是线段BCSM的中点，点P在线段AB上 （）若APBP，求证：CP
9、SB； （）若2SA ，/ /PN平面SAC，求四面体SCMP的体积 备用题 1.将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（） A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8 2. 若 cos 0,tan2 22sin ，则tan（） A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 3. 若向量, a b 满足3,5,1aaba b ，则b _. 2020-2021 高一数学下学期期末复习练习（四） 考查知识：苏教版必修第二册 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1已知2 iz ，则iz z （）
10、 A.62iB.42iC.62iD.42i 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】 因为2zi， 故 2zi ，故 2 222=4+42262z ziiiiiii 故选：C. 2函数( )sincos 33 xx f x 的最小正周期和最大值分别是（） A.3和 2 B.3和 2C.6和 2 D.6和 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简 fx，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选 项. 【详解】由题， 2sin 34 x fx ，所以 fx的最小正周期为 2 6 1 3 T p p= ，最大 值为 2. 故选：C 3已知圆
11、锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A.2B. 2 2 C.4D. 4 2 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为 所求. 【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 22l ， 解得 2 2l . 故选：B. 4若tan2 ，则 sin1 sin2 sincos （） A. 6 5 B. 2 5 C. 2 5 D. 6 5 【答案】C 【解析】 【分析】 将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简， 然后增添分母( 22 1sincos )， 进行齐次化处理，化为正切的表达
12、式，代入tan2 即可得到结果 【详解】将式子进行齐次化处理得： 22 sinsincos2sin cos sin1 sin2 sinsincos sincossincos 2 222 sinsincostantan4 22 sincos1 tan1 45 故选：C 【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2 ，求出sin ,cos的值，可能还需要分象限 讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论 5为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的 调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A. 该地农户家庭年收入低于 4
13、.5 万元的农户比率估计为 6% B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定 ABD,以各组的中间值作 为代表乘以相应的频率， 然后求和即得到样本的平均数的估计值， 也就是总体平均值的估计 值，计算后即可判定 C. 【详解】 因为频率直方图中的组距为 1， 所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图 中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
14、该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%,故 A 正 确； 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计值为0.040.02 30.1010% ,故 B 正确； 该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的比例估计值为 0.100.140.20 20.6464%50%,故 D 正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 3 0.024 0.045 0.106 0.147 0.208 0.209 0.10 10 0.10 11 0.04 12 0.02 13 0.02 14 0.027.68 (万元)，超过 6.5 万元，故
15、C 错误. 综上，给出结论中不正确的是 C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作 为总体的频率的估计值， 样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所 得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于 频率 组距 组距 . 6在正方体 1111 ABCDABC D中，P 为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线 1 AD至 1 BC，将直线PB与 1 AD所成的角转化为PB与 1 BC所成的角，解 三角形即可. 【详解
16、】 如图，连接 11 ,BC PC PB，因为 1 AD 1 BC， 所以 1 PBC或其补角为直线PB与 1 AD所成的角， 因为 1 BB 平面 1111 DCBA，所以 11 BBPC，又 111 PCB D， 1111 BBB DB， 所以 1 PC 平面 1 PBB，所以 1 PCPB， 设正方体棱长为 2，则 1111 1 2 2,2 2 BCPCD B， 1 1 1 1 sin 2 PC PBC BC ，所以 1 6 PBC . 故选：D 7有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球， 甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1
17、”， 乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”， 则（） A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 11561 ( )()()() 6636366 PPPP甲，乙，丙，丁， 1 ()0( ) ()()( ) () 36 PPPPPP甲丙甲丙 ，甲丁甲丁 ， 1 ()() ()()0() () 36 PPPPPP乙丙乙丙 ，丙丁丁丙 ， 故选：B 【点睛】判断事件 ,A B 是否独立，先计算对应概
18、率，再判断 ( ) ( )()P A P BP AB 是否成立 8在ABC中，已知120B ， 19AC ，2AB ，则BC （） A. 1B. 2 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于 BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,ABc ACb BCa， 结合余弦定理： 222 2cosbacacB 可得： 2 194 2cos120aa ， 即： 2 2150aa ，解得：3a （5a 舍去） ， 故3BC . 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角
19、； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9已知 2 (1)32izi，则下列结论正确的是（） A. 3 1 2 zi B. 3 1 2 zi C. 在复平面内，复数z对应的点位于第二象限 D. 在复平面内，复数z对应的点位于第三象限 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知得 32 2 i z i ，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】 2 (1)232izizi ， 32(32 )233 1 2222 iiii zi ii i ，且. 故选：BC 10有一组样本数据 1 x， 2 x， n x，由这组数据得到新样本数据 1 y，
20、2 y， n y，其 中(1 ii yxc i，2，)n，c为非零常数，则() A两组样本数据的样本平均数相同 B两组样本数据的样本中位数相同 C两组样本数据的样本标准差相同 D两组样本数据的样本极差相同 【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可 【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误； 对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误； 对于C，标准差()()( ) iii D yD xcD x， 两组样本数据的样本标准差相同，故C正确； 对于D，(1 ii yxc i，2，)n，c为非零常数， x的极差为 maxmin xx，y的极差为()() maxm
21、inmaxmin xcxcxx， 两组样本数据的样本极差相同，故D正确 故选：CD 【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识， 是基础题 11已知O为坐标原点，点 1 cos ,sinP， 2 cos, sinP， 3 cos,sinP，()1,0A，则（） A. 12 OPOP B. 12 APAP C. 3 12 OA OPOP OP D. 123 OA OPOP OP 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B 写出 1 OP ， 2 OP 、 1 AP uuu r ， 2 AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误； C、D 根据向量的
22、坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】 A： 1 (cos,sin)OP ， 2 (cos,sin)OP ， 所以 22 1 |cossin1OP ， 22 2 |(cos)( sin)1OP ，故 12 | |OPOP ，正确； B： 1 (cos1,sin)AP ， 2 (cos1, sin)AP ，所以 22222 1 |(cos1)sincos2cos1 sin2(1 cos)4sin2|sin| 22 AP ，同理 22 2 |(cos1)sin2|sin| 2 AP ，故 12 |,|APAP 不一定相等，错误； C：由题意得： 3 1 cos(
23、)0sin()cos()OA OP ， 12 coscossin( sin)cos()OP OP ，正确； D：由题意得： 1 1 cos0sincosOA OP ， 23 coscos()( sin)sin()OP OP cos cos 2，故一般来说 123 OA OPOP OP 故错误；故错误； 故选：AC 12已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为 AC和 1 CC的中点， 11 BFAB，且已知 D 为棱 11 AB上的点，则下列选项正确的是（） A.ABBCB.BFDE C.三棱锥FEBC的体积为 1D. 三棱锥FEBC的体
24、积为 1 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】(1)首先求得 AC 的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积； (2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面 垂直可得题中的结论. 【详解】(1)如图所示，连结 AF， 由题意可得： 22 4 15BFBCCF ， 由于 ABBB1，BCAB， 1 BBBCB，故AB 平面 11 BCC B， BC 平面 11 BCC B，故ABBC，又BF 平面 11 BCC B，故AB BF， 从而有 22 453AFABBF ，从而 22 9 12 2ACAFCF ， 则 222, ABBCACABBC，ABC为等腰
25、直角三角形， 111 2 21 222 BCEABC Ss ， 111 1 1 333 F EBCBCE VSCF . (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为 2 的正方体 1111 ABCMABC M，如图所示， 取棱,AM BC的中点,H G，连结 11 ,AH HG GB， 正方形 11 BCC B中，,G F为中点，则 1 BFBG，又 111111 ,BFAB ABBGB， 故BF 平面 11 ABGH，而DE 平面 11 ABGH，从而BF DE. 【点睛】 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面， 例如三棱锥的三条侧棱 两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底
26、面，另一条侧棱作为高来求体积对于空间中 垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化. 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13化简或求值： 22 5 coscos 1212 _. 【答案】 3 2 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得 2222 5 coscoscossin 12121212 ，再由二倍角公式 即可得解. 【详解】由题意， 222222 5 coscoscoscoscossin 1212122121212 3 cos 26 .故答案为 3 2 14已知向量2,5 ,4ab ，若 /a b r r ，则_ 【答案】 8 5 【解析】 【分析】利用向量平行的充分
27、必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450，解方程可得： 8 5 . 故答案为： 8 5 . 15 记ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为 3， 60B ， 22 3acac ， 则b _ 【答案】2 2 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得4ac ，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意， 13 sin3 24 ABC SacBac ， 所以 22 4,12acac， 所以 222 1 2cos122 48 2 bacacB ，解得 2 2b （负值舍去）. 故答案为：2 2. 16已知一个圆锥
28、的底面半径为 6，其体积为30则该圆锥的侧面积为_. 【答案】39 【解析】 【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案. 【详解】 2 1 630 3 Vh 5 2 h 2 222 513 6 22 lhr 13 639 2 Srl 侧 . 故答案为：39. 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110
29、.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为 2 1 S 和 2 2 S （1）求x，y， 2 1 S， 2 2 S； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 SS yx ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则 不认为有显著提高） 【答案】 （1） 22 12 10,10.3,0.036,0.04xySS； （2）新设备生产产品的该项指标的 均值较旧设备没有显著提高. 【解析】 【分析】 （1）根据平均数和方差的计算方
30、法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】 （1） 9.8 10.3 10 10.29.99.8 10 10.1 10.29.7 10 10 x ， 10.1 10.4 10.1 10 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 10.3 10 y ， 22222222 2 1 0.20.300.20.10.200.10.20.3 0.036 10 S ， 222222222 2 2 0.20.10.20.30.200.30.20.10.2 0.04 10 S . （2）依题意， 2 0.32 0.152 0.152 0.025y
31、x ， 0.0360.04 22 0.0076 10 ， 22 12 2 10 ss yx ， 所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 18如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O为BD的中点. （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角 EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积. 【答案】(1)详见解析(2) 3 6 【解析】 【分析】 （1）根据面面垂直性质定理得 AO平面 BCD，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】 （1）因为 AB=AD
32、,O 为 BD 中点，所以 AOBD 因为平面 ABD平面 BCD=BD,平面 ABD平面 BCD，AO 平面 ABD， 因此 AO平面 BCD，因为CD 平面 BCD，所以 AOCD (2)作 EFBD 于 F, 作 FMBC 于 M,连 FM 因为 AO平面 BCD，所以 AOBD, AOCD 所以 EFBD, EFCD,BDCDD,因此 EF平面 BCD，即 EFBC 因为 FMBC，FMEFFI,所以 BC平面 EFM，即 BCMF 则EMF为二面角 E-BC-D 的平面角, 4 EMF 因为BOOD,OCD为正三角形,所以BCD为直角三角形 因为2BEED, 1112 (1) 223
33、3 FMBF，从而 EF=FM= 2 1 3 AO AO Q平面 BCD,所以 1113 113 3326 BCD VAO S 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法 19记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 2 bac ，点D在边AC上， sinsinBDABCaC. （1）证明：BDb； （2）若2ADDC，求cosABC. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 7 cos 12 ABC. 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理的边角关系有 ac BD b ，结合已知即可证结论. （2）由题设 2 , 33 bb BDb ADDC，应用余
34、弦定理求cosADB、cosCDB，又 ADBCDB，可得 42 2 2 11 2 3 bb a a ，结合已知及余弦定理即可求cosABC. 【详解】 （1）由题设， sin sin aC BD ABC ，由正弦定理知： sinsin cb CABC ，即 sin sin Cc ABCb ， ac BD b ，又 2 bac ，BDb，得证. （2）由题意知： 2 , 33 bb BDb ADDC， 22 222 2 413 99 cos 2 4 2 3 3 bb bcc ADB b b b ，同理 22 222 2 10 99 cos 2 2 3 3 bb baa CDB b b b ，
35、ADBCDB， 22 22 22 1310 99 42 33 bb ca bb ，整理得 2 22 11 2 3 b ac，又 2 bac ， 42 2 2 11 2 3 bb a a ，整理得 4224 61130aa bb ，解得 2 2 1 3 a b 或 2 2 3 2 a b ， 由余弦定理知： 2222 2 4 cos 232 acba ABC acb ， 当 2 2 1 3 a b 时， 7 cos1 6 ABC不合题意；当 2 2 3 2 a b 时， 7 cos 12 ABC； 综上， 7 cos 12 ABC. 【点睛】 关键点点睛： 第二问， 根据余弦定理及 ADBCDB
36、 得到 , ,a b c 的数量关系， 结合已知条件及余弦定理求cos ABC 20如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M 为BC的中点，且 PBAM （1）证明：平面PAM 平面PBD； （2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 3 【解析】 【分析】 （1）由PD 底面ABCD可得PDAM，又PBAM，由线面垂直的判定定 理可得AM 平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM 平面PBD； （2） 由 （1） 可知，AMBD， 由平面知识可知，DABABM， 由相似比可求出AD， 再根据四棱锥PABCD的体积公式
37、即可求出 【详解】（1） 因为PD 底面ABCD，AM 平面ABCD， 所以PDAM， 又PBAM， PBPDP， 所以AM 平面PBD， 而AM 平面PAM， 所以平面PAM 平面PBD （2） 由 （1） 可知，AM 平面PBD， 所以AMBD， 从而DABABM， 设BMx， 2ADx，则 BMAB ABAD ，即 2 21x ，解得 2 2 x ，所以 2AD 因为PD 底面 ABCD，故四棱锥PABCD的体积为 12 121 33 V 【点睛】本题第一问解题关键是找到平面PAM或平面PBD的垂线，结合题目条件 PBAM ，所以垂线可以从 ,PB AM 中产生，稍加分析即可判断出AM
38、平面PBD，从 而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出 DABABM ，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积 21在 1 cos 2 aBbc： 22 ()abc bc这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到 下面的横线上并作答 问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_ （）求角A； （）若sin3sinBC，13a ，求ABC的周长 【分析】( ) I选择，运用正弦定理，对 1 cos 2 aBbc进行化简，可得 1 cos 2 A ，结合A 角的取值范围，即可求解，()II根据已知条件sin3sinBC，利用正弦定理可
39、得，3bc， 再结合余弦定理即可求出c的值，最后运用周长公式，即可求解 【解答】解：( ) I选择 1 cos 2 aBbc， 1 cos 2 aBbc，由正弦定理2 sinsinsin abc R AB ， 1 sincossinsin 2 ABBC， sinsincoscossinCABAB， 1 sincossin 2 BAB， B为ABC的内角，sin0B， 1 cos 2 A ，(0, )A， 2 3 A ， ()II由已知条件可知sin3sinBC，运用正弦定理，可得3ac， 由余弦定理可得， 222 2cosabcbcA，又3ac，13a ， 222 9313ccc，1c ，3b
40、 ，周长为413abc 【点评】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用 考查了学生对三角函数基础知识的综 合运用，属于中档题 22如图，三棱锥SABC中，点S在平面ABC的投影为点A，2BC ，2 2AB ， 45CBA，点M，N分别是线段BCSM的中点，点P在线段AB上 （）若APBP，求证：CPSB； （）若2SA ，/ /PN平面SAC，求四面体SCMP的体积 【分析】 （）先由余弦定理结合题中数据可知ACBC，进而可得CPAB，再由线面垂 直的性质可得SACP，由此可证得CP 平面SAB，进而得证CPSB； （）取CM的中点G，连接NG，通过证明平面/ /PNG平面SAC，可知/ /
41、PGAC，进而 得到P为线段AB靠近点A的四等分点，由此可求四面体SCMP的体积 【解答】 解：（） 证明： 在ABC中， 由余弦定理得， 222 2cos454ACBCABAB BC ， ABC为等腰直角三角形，且ACBC，又APBP，则CPAB， 又SA 平面ABC，CP 平面BAC，SACP，SAABA ，CP平面SAB， 又SB 平面SAB，CPSB； ()II如图，取CM的中点G，连接NG，则NG为SMC的中位线，/ /NGCS， 又CS 平面SAC，NG 平面SAC，/ /NG平面SAC， / /PN平面SAC，NGNPN ，平面/ /PNG平面SAC， 又平面/PNG平面SAC，
42、平面PNG平面ABCPG，平面SAC平面ABCAC， / /PGAC， 3 1 BPBG APCG ，P为线段AB靠近点A的四等分点， 11131 |2(1) 33222 S CMPCMP VSA S 【点评】本题考查线线，线面，面面间的位置关系，着重考查了线面垂直、面面平行的判定 与性质定理，考查四面体体积的求法，考查推理论证能力以及运算求解能力，属于中档题 备用题 1.将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（） A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】解：将 3 个 1
43、和 2 个 0 随机排成一行，可以是： 00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100， 共 10 种排法， 其中 2 个 0 不相邻的排列方法为： 01011,01101,01110,10101,10110,11010， 共 6 种方法， 故 2 个 0 不相邻的概率为 6 =0.6 10 ， 故选：C. 2. 若 cos 0,tan2 22sin ，则tan（） A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式 可得 2 sin22sincos tan2 cos2
44、1 2sin ，再结合已知 可求得 1 sin 4 ，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 cos tan2 2sin 2 sin22sincoscos tan2 cos21 2sin2sin ， 0, 2 ，cos0， 2 2sin1 1 2sin2sin ，解得 1 sin 4 ， 2 15 cos1 sin 4 ， sin15 tan cos15 . 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 sin . 3. 若向量, a b 满足3,5,1aaba b ，则b _. 【答案】3 2 【解析】 【分析】根据题目条件，利用a b 模的平方可以得出答案 【详解】 5ab 22 22 29225ababa bb 3 2b r . 故答案为：3 2.
