1、苏教版2019版高中数学必修第二册第10章三角恒等变换知识点清单目录第十章三角恒等变换10. 1两角和与差的三角函数10. 2二倍角的三角函数10. 3几个三角恒等式第 1 页 共 8 页第十章三角恒等变换10. 1两角和与差的三角函数一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式名称公式简记符号使用条件两角差的余弦公式cos(-)=cos cos +sin sin C(-)，R两角和的余弦公式cos(+)=cos cos -sin sin C(+)两角和的正弦公式sin(+)=sin cos +cos sin S(+)，R两角差的正弦公式sin(-)=sin co
2、s -cos sin S(-)两角和的正切公式tan(+)= tan +tan1tantanT(+)，+k+2 (kZ)两角差的正切公式tan(-)= tan tan1+tantanT(-)，-k+2 (kZ)2. 两角和与差的正切公式的变形(1)T(+)的变形tan +tan =tan(+)(1-tan tan ). tan +tan +tan tan tan(+)=tan(+). tan tan =1-tan +tantan(+). (2)T(-)的变形tan -tan =tan(-)(1+tan tan ). tan -tan -tan tan tan(-)=tan(-). tan ta
3、n =tan tantan()-1. 第 8 页 共 8 页二、辅助角公式asin x+bcos x=a2+b2sin(x+)(a，b不同时为零)，其中cos =aa2+b2，sin =ba2+b2. 三、辅助角公式的应用1. 公式形式：asin +bcos =a2+b2sin(+) tan =ba，a，b不同时为零或asin +bcos=a2+b2cos(-)tan =ab，a，b不同时为零. 利用辅助角公式可将形如asin +bcos (a，b不同时为零)的三角函数式进行化简. 2. 形式的选择：化为正弦还是余弦，要根据具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
4、 3. 辅助角公式的常见情形(1)sin cos =2sin4；(2)sin 3cos =2sin3；(3)cos 3sin =2sin6. 四、两角和与差的三角公式的灵活应用1. 给角求值解决给角求值问题时，一般先用诱导公式把角化整化小，再统一函数名称，即弦切互化，通常是切化弦，然后观察角之间的关系以及式子的结构特点，从整体出发，利用公式或公式的变形达到求值的目的. 2. 给值求值(1)解决给值求值的问题时，应先分析角的关系，再考虑三角函数名称的联系，最后选择合适的公式求值. (2)分析已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，利用角的代换化异角为同角，具体做法：当已知角有两个时，
5、所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一个时，应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用公式把所求角变成已知角. 常见的角的拆分与组合：2=(+)+(-)，=(+)-=(-)+， 4+4=2等. (3)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 3. 给值求角已知三角函数值求角，通常是“值”+“范围”求角，其解题步骤如下：(1)根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值(为防止增根，最好选取在上述范围内单调的三角函数)；(3)结合三角函数值及角的范围求角. 10. 2二倍角的三角函数一、二倍角的正弦、余弦、正切公式简记符号公式S2s
6、in 2=2sin cos C2cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2T2tan 2=2tan1tan2对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是32的二倍； 2是4的二倍； 3是6的二倍. 二、倍角公式的变形1. 2sin cos =sin 2，sin cos =12sin 2，cos =sin22sin，cos2-sin2=cos 2， 2tan 1tan2=tan 2. 2. (1)升幂公式：1sin 2=sin2+cos22sin cos =(sin cos )2，1+cos 2=2cos2，1-cos 2=2sin2.
7、 (2)降幂公式：cos2=1+cos22，sin2=1cos22，(sin cos )2=1sin 2. 3. sin 2=2tan 1+tan2，cos 2=1tan21+tan2. 三、如何利用倍角公式及其变形化简求值1. 化简、求值的技巧(1)注意公式的灵活应用，如：sin 2x=-cos2x+2=-cos2x+4=1-2cos2x+4=2sin2x+4-1. cos 2x=sin2x+2=sin2x+4=2sinx+4cosx+4. (2)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化. (3)对于含分式的式子，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的，提取公因式后进行约分. (4)对于含二次
8、根式的式子，要注意二倍角公式的逆用. (5)注意角与角之间的隐含关系，如互余、互补等. (6)注意“1”的恒等变形，如tan 45=1，sin2+cos2=1等. 10. 3几个三角恒等式一、积化和差公式1. sin cos =12 sin(+)+sin(-). 2. cos sin =12 sin(+)-sin(-). 3. cos cos =12 cos(+)+cos(-). 4. sin sin =-12 cos(+)-cos(-). 二、和差化积公式1. sin +sin =2sin+2cos2. 2. sin -sin =2cos+2sin2. 3. cos +cos =2cos+2
9、cos2. 4. cos -cos =-2sin+2sin2. 三、和半角公式sin2=1cos 2；cos2=1+cos 2；tan2=1cos 1+cos. 特别地，tan2=sin 1+cos=1cos sin. 四、万能公式sin =2tan21+tan22；cos =1tan221+tan22；tan =2tan21tan22. 五、半角公式的运用1. 利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系. (2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan2=sin 1+cos=1cos sin计算，涉及半角公式的正、余弦
10、值时，常利用sin2=1cos 2，cos2=1+cos 2计算. (4)下结论：结合(2)求值. 六、三角恒等式的证明与三角函数式的化简1. 三角恒等式证明的常用方法(1)由因导果法：证明的原则是化繁为简；(2)左右归一法：证明等号两边都等于同一个式子或同一个常数；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，即化异为同；(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边右边=1(右边0)”；(5)分析法：即执果索因法，从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，直到符合已知条件或出现明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 2. 证明三角恒等式的基本思路三角恒
11、等式的证明除了遵循化繁为简的原则外，还应注意以下几点：(1)强化“目标意识”，即在证明过程中，应盯住目标，逐步向它靠拢；(2)强化“化异为同”的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就需要找到待化简的三角函数式与目标三角函数式之间的差异，并寻找它们之间的联系，再利用三角公式进行恒等变形，使之相互转化，常用方法有代入法、换元法等. 3. 化简三角函数式三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面，其基本方法是统一角，统一三角函数的名称. 常用方法有：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，弦切互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等. 在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一. 通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简. 化简的结果应满足以下几点：能求值尽量求值；函数名称尽量少；项数尽量少；次数尽量低；分母、根号下尽量不含三角函数.
