1、苏教版2019版高中数学必修第二册第11章解三角形知识点清单目录第11章解三角形11. 1余弦定理11. 2正弦定理11. 3余弦定理、正弦定理的应用第 1 页 共 7 页第11章解三角形11. 1余弦定理一、余弦定理文字语言三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2=b2+c2-2bccos A，b2=c2+a2-2cacos B，c2=a2+b2-2abcos C余弦定理的其他形式cos A=b2+c2a22bc，cos B=c2+a2b22ca，cos C=a2+b2c22ab二、利用余弦定理解三角形类型求解方法已知两边和它们的夹角，如a，b
2、，C根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，求出边c；根据cos A=b2+c2a22bc，求出A；根据B=180-(A+C)，求出B已知三边可以先用余弦定理求出两角(常常求较小两边所对的角)，再由A+B+C=180求出第三个角已知两边和其中一边的对角可利用余弦定理求出第三边(注意边的取舍)，再运用余弦定理的另一种形式求其他的角第 7 页 共 7 页11. 2正弦定理一、正弦定理及其变形文字语言三角形的各边与它所对角的正弦的比相等符号语言asinA=bsinB=csinC常见变形a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，sin A=a2R，sin B=b2R，sin
3、C=c2R，abc=sin Asin Bsin C，a+b+csinA+sinB+sinC=2R，其中R为ABC外接圆的半径二、三角形的面积公式1. 三角形的面积公式：SABC=12absin C=12bcsin A=12casin B. 三、利用正弦定理判断三角形解的个数1. 三角形解的情况(1)已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能唯一确定. 2. 三角形解的个数的判断方法“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的情况，下面以已知a，b和A解三
4、角形为例进行说明：方法一：从代数角度分析(1)若sin B=bsinAa1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；(2)若sin B=bsinAa=1，则满足条件的三角形的个数为1；(3)若sin B=bsinAa1，则满足条件的三角形的个数为1或2，由0sin B=bsinAa1可得B有两种情况，一种是B为钝角，另一种是B为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180”等，此时需进行讨论. 方法二：从几何角度分析角的类型A为锐角条件absin Aa=bsin Absin Aabab图形解的情况一解无解四、正、余弦定理的应用1. 选择合适的定理解三角形三角形共有6个元素，当已知条件比较复
5、杂时，需要我们辨别有用的条件，恰当地选择定理来解决问题. 常见情况：(1)当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，选择正弦定理；(2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时，选择正弦定理；(3)当已知条件涉及角的余弦值、边的平方或者边的乘积时，选择余弦定理. 以上特征都不明显时，正弦定理和余弦定理可以交替使用，进行边与角的互化，解决问题. 2. 利用正、余弦定理判断三角形的形状(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状；(2)化角为边：根据正、余弦定
6、理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 要注意应用三角形内角的关系：如A+B+C=C=-(A+B)， C2=2-A+B2等. 11. 3余弦定理、正弦定理的应用一、实际测量中的有关名词名词定义图示铅垂平面与水平面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比视角观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角指定方向线与目标方向线所成的角(指定方向线一般指正北或正南方向，方向角小于90)方位角
7、从指北方向线顺时针转到目标方向线的角二、测量距离的类型及解法类型图形解法A，B两点间不可达又不可视测出两边及其夹角：BC=a，AC=b，角C，运用余弦定理得AB=a2+b22abcosCA，B两点间可视但不可达(如人与点B在河的同侧，点A在另一侧)测出两角及其夹边：BC=a，B，C，根据正弦定理得ABsinC=BCsinA=BCsin(B+C)=BCsin(B+C)=asin(B+C)，则AB=asinCsin(B+C)A，B两点都不可达(如点A与B在河的同侧，人在另一侧)先在ADC和BDC中分别求出AD，BD(或AC，BC)的长，再在ABD(或ABC)中运用余弦定理求解. 在ADC中，由正弦
8、定理可得AD=asinACDsin(ADC+ACD). 在BDC中，由正弦定理可得BD=asinBCDsin(BDC+BCD). 在ABD中，由余弦定理可得AB=AD2+BD22ADBDcosADB三、测量高度的类型及解法类型图形解法底部可达利用直角三角形的边角关系求解，则AB=atan C底部不可达在直角三角形ABD中，BD= ABtanADB，在直角三角形ABC中，BC= ABtanACB，则a=CD=BC-BD=ABtanACB-ABtanADB，AB=a1tanACB1tanADB在BCD中，BC=asinDsin(BCD+D)，ABCB，A=2-ACB，在ABC中，AB=BCsinACBsinA=BCsinACBcosACB，AB=asinDsinACBsin(BCD+D)cosACB四、用正、余弦定理解实际应用问题把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解. 具体步骤如下：1. 审题：阅读问题，理解问题的实际背景、有关名词、术语，准确已知与所求，理清量与量之间的关系2. 建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型3. 应用正弦定理、余弦定理及其他有关知识解出三角形中的未知量，求得数学模型的解4. 还原：检验所求的解是否符合实际意义，并将三角形中的解还原为实际问题的答案
