1、苏教版2019版高中数学必修第二册第15章概率知识点清单目录第15章概率15. 1随机事件和样本空间15. 2随机事件的概率15. 3互斥事件和独立事件第 8 页 共 8 页第15章概率15. 1随机事件和样本空间一、确定性现象、随机现象1. 确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象. 2. 随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象. 二、随机试验、样本点与样本空间1. 随机试验：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验. 在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结果有多个，全部可能
2、结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪一个结果. 2. 样本点：我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用表示. 3. 样本空间所有样本点组成的集合称为样本空间，用表示. 如果样本空间是一个有限集合，则称样本空间为有限样本空间. 三、随机事件、基本事件、必然事件及不可能事件1. 随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件. 事件一般用A，B，C等大写英文字母表示. 2. 基本事件：当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件. 3. 必然事件：(全集)是必然事件. 4. 不可能事件：(空集)是不可能事件. 四、事件的关系1. 事件B发生必导致事件A发生，这时，我们称事件A包含事件B
3、(或事件B包含于事件A). 如图. 五、事件的运算定义符号表示图示并事件事件A与事件B至少有一个发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和C=AB(或C=A+B)交事件事件A与事件B同时发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积C=AB(或C=AB)六、如何列举样本空间中的样本点1. 探求样本空间中的样本点的方法(1)枚举法：按一定次序把样本点一一列举出来. 此方法适用于“无序任取”的试验问题. (2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以较易弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数. 此方法适用于互不影响的两步试验问题. (
4、3)树形图法：树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树形图法便于分析多步试验类的较复杂问题，可以作为一种分析问题的手段. 2. 列举样本点时要注意两个区别(1)“无序”与“有序”的区别：“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述. (2)“有放回”与“无放回”的区别：“有放回”是指取出的元素可以重复，而“无放回”是指取出的元素不可以重复. 七、事件的运算事件间运算的方法1. 利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的样本点，分析并利用这些样本点进行事件间的运算. 2. 利用Venn图，借助集合间运算的思想，
5、分析同一条件下的试验所有可能出现的样本点，把这些样本点在Venn图中表示出来，从而进行运算. 3. 对于复杂事件，通常将复杂事件表示为简单事件的和或积的形式. 15. 2随机事件的概率一、概率的性质1. 将事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率，则P(A)满足0P(A)1. 2. 对于必然事件和不可能事件，显然P()=1 ，P()= 0 . 二、 古典概型1. 等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件k(k=1，2，n)发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件. 2. 古典概型：如果一个随机试验满足：(1)样本空间只含有有限个样本点；(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么
6、，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型. 3. 古典概型的概率：在古典概型中，如果样本空间=1，2，n(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件k(k=1，2，n)发生的概率都是1n. 如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)= mn=A包含的样本点数样本点总数三、随机事件的概率1. 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定. 我们将频率的这个性质称为频率的稳定性. 因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以用事件
7、A发生的频率mn来估计事件A的概率，即P(A)mn. 四、如何求古典概型的概率1. 求古典概型概率的关键是列举出试验的所有样本点和所求事件包含的样本点，列样本点的方法有枚举法、列表法和画树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择. 2. 解决古典概型实际问题的步骤第一步：阅读题目，判断实验是不是古典概型，若满足有限性和等可能性，则进行下一步第二步：通过列举或计算求出样本点总数n及题目要求的事件所包含的样本点数m第三步：利用古典概型的概率公式求出事件的概率五、古典概型与其他知识的综合问题1. 古典概型与方程、函数的综合问题的解题方法涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点数.
8、首先应根据题意确定随机试验的结果，进而确定样本空间，然后根据所学知识把题中涉及方程、函数的条件转化为随机试验的结果所满足的条件，从而确定出所有满足条件的样本点，最后利用古典概型的概率公式求解即可. 2. 古典概型与频率直方图的综合问题的解题方法求解古典概型与频率直方图相结合的问题关键是利用频率直方图的数据特征确定样本空间，并不重不漏地列出所有满足题意的样本点，进而利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率. 15. 3互斥事件和独立事件一、互斥事件1. 互斥事件的定义在一次随机试验中，事件A与B不可能同时发生，这时，我们称A，B为互斥事件. 2. 概率的加法公式如果事件A，B互斥，那么事件A+B
9、发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B). 这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式). 3. 概率加法公式的推广如果事件A1，A2，An(nN，n2)中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，An两两互斥. 如果事件A1，A2，An两两互斥，那么P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An). 二、对立事件若互斥事件A，C中必有一个发生，这时，我们称A，C为对立事件，记作C=A或A=C. 对立事件A与A必有一个发生，故A+A是必然事件. 三、随机事件概率的常用性质1. P(A)=1-P(A)；2. 当AB时，P(A)P(B)
10、；3. 当A，B不互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 四、相互独立事件1. 相互独立事件的定义一般地，对于两个随机事件A，B，如果P(AB)=P(A) P(B)，那么称A，B为相互独立事件. 2. 重要结论(1)若A，B相互独立，则A)，B相互独立. (2)独立事件可以推广到n个事件的情形(nN，n2). 一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An). 五、互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断1. 互斥事件与对立事件(1)从公式的角度看互斥事件是不可能同时发生的两个事件，如果事件A，B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(
11、B). 对立事件是必有一个发生的互斥事件，事件A的对立事件通常记作A，有P(A)+P(A)=P(AA)=1. (2)从发生的角度看在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能仅有一个发生，但不可能同时发生. 两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生. 两事件对立必定互斥，但互斥未必对立，对立事件是互斥事件的一个特例. (3)从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件，对立的概念只适用于两个事件. (4)从集合的角度看设事件A与B所含的结果组成的集合分别是X，Y，I为全集. 事件A与B互斥，即集合XY=；事件A与B对立，即集合XY=，且XY=I，也即X=IY或Y=IX. (5)从应用
12、的角度看互斥事件可以解决的问题比较广泛，一般只要事件A，B满足AB=，就可以用互斥事件的性质加以解决. 对立事件解决的问题主要有两类：一是含有否定意义或含有“至多”“至少”等词语的问题；二是直接求解困难的问题. 2. 判断相互独立事件的方法(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是不是影响另一个事件发生的概率. (2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与B或A与B或A与B是否相互独立. 六、求复杂事件的概率1. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤(1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示
13、；(2)事件运算：将已知概率的事件进行适当的运算得到要求概率的事件；(3)求概率：利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求相关概率. 当将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件分类较多，而其对立面的分类较少时，考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”的思想来求解. 它常用来求“至少”“至多”等事件的概率. 2. 事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：事件表示概率(A，B互斥)概率(A，B相互独立)A，B中至少有一个发生P(AB)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)或P(A)+P(B)-P(AB)A，B都发生P(AB)0P(A)P(B)A，B都不发生P(AB)1-P(A)+P(B)P(A)P(B)A，B恰有一个发生P(ABAB)P(A)+P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)A，B中至多有一个发生P(ABABAB)11-P(A)P(B)
