1、课时分层作业(六)平面向量基本定理 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的交点，有下列向量 组：AD 与AB ；DA 与BC ；CA 与DC ；OD 与OB .其中可作为这个平行四边 形所在平面内其他所有向量的基底的是() ABCD C如图所示，AD 与AB 为不共线向量，可以作为基底.CA 与DC 为不共线向 量，可以作为基底.DA 与BC ，OD 与OB 均为共线向量，不能作为基底 2已知向量 ae12e2，b2e1e2，其中 e1，e2不共线，则 ab 与 c6e1 2e2的关系是() A不共线B共线 C相等D不确定 Ba
2、b3e1e2，所以 c2(ab)，所以 ab 与 c 共线 3若 e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且 a3e14e2，b6e1ke2 不能作为一组基底，则 k 的值为() A2B4 C6D8 D易知 ab，故设 3e14e2(6e1ke2)， 36， 4k， k8. 4设 e1，e2是不共线向量，e12e2与 me1ne2共线，则n m( ) A1 2 B2 C1 4 D4 B由 e12e2(me1ne2)，得 m1 且 n2， n m2. 5在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB ，CD 1 3CA CB ， 则() A2 3 B1 3 C1 2 D3 2 AAD
3、 2DB ，CD CA AD CA 2 3AB CA 2 3(CB CA )1 3CA 2 3CB . 又CD 1 3CA CB ，2 3. 二、填空题 6(一题两空)如图，在正方形 ABCD 中，设AB a，AD b，BD c，则在 以 a，b 为基底时，AC 可表示为_，在以 a，c 为基底时，AC 可表示为 _ ab2ac由平行四边形法则可知，AC AB AD ab，以 a，c 为基 底时将BD 平移，使 B 与 A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得 7已知 e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使 a，b 能作为平面内 的一组基底，则实数的取值范围为_ (，4)(4，
4、)若能作为平面内的一组基底，则 a 与 b 不共线a e12e2，b2e1e2，由 akb，即得4. 8如图，在ABC 中，BC a，CA b，AB c，三边 BC，CA，AB 的中 点依次为 D，E，f ，则AD BE CF _. 0原式1 2(AB AC )1 2(BA BC )1 2(CB CA )0. 三、解答题 9如图，在ABCD 中，AB a，AD b，E，f 分别是 AB，BC 的中点，G 点使DG 1 3DC ，试以 a，b 为基底表示向量AF 与EG . 解AF ABBFAB 1 2BC AB 1 2AD a1 2b. EG EA AD DG 1 2AB AD 1 3DC 1
5、 2ab 1 3a 1 6ab. 10设 e1，e2为两个不共线的向量，ae13e2，b4e12e2，c3e1 12e2，试用 b，c 为基底表示向量 a. 解设 a1b2c，1，2R，则 e13e21(4e12e2)2(3e112e2) ， 即e13e2(4132)e1(21122)e2， 41321， 211223， 1 1 18， 2 7 27， a 1 18b 7 27c. 1(多选题)设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中， 能作为基底的是() Ae1e2和 e1e2B3e14e2和 6e18e2 Ce12e2和 2e1e2De1和 e1e2 ACDB 中，6e1
6、8e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e1 4e2和 6e18e2不能作为基底故选 ACD 2点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足AM 3 4AB 1 4AC ，则ABM 与ABC 的面积之比为() A1 3 B1 4 C1 5 D1 6 B如图，分别在AB ，AC 上取点 E，f ， 使AE 3 4AB ，AF1 4AC ， 在BC 上取点 G，使BG 1 4BC ，则 EGAC，fGAE， AG AE AFAM ， M 与 G 重合，S ABM SABC BM BC 1 4. 3如图，在ABC 中，AN 1 3NC ，P 是 BN 上的一点，若AP mAB2
7、9AC ， 则实数 m 的值为_ 1 9 设NP NB ，NP AP AN mAB 2 9AC 1 4AC mAB 1 36AC ，NB (AB AN )AB 4AC ， m， 1 36 4， m1 9. 4已知 e1与 e2不共线，ae12e2，be1e2，且 a 与 b 是一组基底，则 实数的取值范围是_ ，1 2 1 2， 当 ab 时，设 amb， 则有 e12e2m(e1e2)， 即 e12e2me1me2， 所以 1m， 2m， 解得1 2，即当 1 2时，ab. 又 a 与 b 是一组基底， 所以 a 与 b 不共线，所以1 2. 5设 e1，e2是不共线的非零向量，且 ae12
8、e2，be13e2. (1)证明：a，b 可以作为一组基底； (2)以 a，b 为基底，求向量 c3e1e2的分解式； (3)若 4e13e2ab，求，的值 解(1)证明：若 a，b 共线，则存在R，使 ab， 则 e12e2(e13e2) 由 e1，e2不共线， 得 1， 32 1， 2 3. 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底 (2)设 cmanb(m，nR)，则 3e1e2m(e12e2)n(e13e2) (mn)e1(2m3n)e2. mn3， 2m3n1 m2， n1. c2ab. (3)由 4e13e2ab，得 4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1( 23)e2. 4， 233 3， 1. 故所求，的值分别为 3 3 和 1 1.
