1、课时分层作业(五)向量的数量积 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1e1，e2是两个平行的单位向量，则 e1e2() A0B1C1D1 De1e2，e1，e2的夹角为 0或 180， e1e2|e1|e2|cos 1. 2设|a|3，|b|5，且 ab 与 ab 垂直，则() A2 5 B3 5 C3 5 D3 5 D(ab)(ab)a22b292520，3 5. 3若向量 a，b 满足|a|b|1，a 与 b 的夹角为 120，则 aaab() A1 2 B0 C1 2 D1 C|a|b|1，a 与 b 的夹角为 120， ab|a|b|cos 1201 2. 又 aa|a|21， aa
2、ab11 2 1 2. 4在ABC 中，|AB |13，|BC |5，|CA |12，则AB BC 的值是() A25B25 C60D60 A|AB |13，|BC |5，|CA |12， |AB |2|BC |2|CA |2， ABC 为直角三角形 又 cosABC 5 13， AB BC |AB |BC |cos(ABC) 135 5 13 25. 5 设点 A， B， C 不共线， 则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB AC |BC |” 的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 CAB 与AC 的夹角为锐角，所以|AB |2|AC |22AB
3、 AC |AB |2|AC |2 2AB AC ， 即|AB AC |2|AC AB |2，因为AC AB BC ， 所以|AB AC |BC |； 当|AB AC |BC |成立时，|AB AC |2|AB AC |2AB AC 0，又因为点 A，B， C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB AC |BC |”的充分必要条件，故选 C 二、填空题 6 (一题两空)已知向量 a， b 的夹角为 45， 且|a|4， 1 2ab(2a3b)12， 则|b|_；b 在 a 方向上的投影向量等于_ 2 a 4 1 2ab(2a3b)a21 2ab3b 2
4、12，即 3|b|2 2|b|40， 解得|b| 2(舍负)，b 在 a 方向上的投影是(|b|cos 45) a |a| 2 2 2 a 4 a 4. 7设向量 a，b，c 满足 abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2 |c|2的值是_ 4由 abc0 得 cab. 又(ab)c0， (ab)(ab)0， 即 a2b2. 则 c2(ab)2a2b22aba2b22， |a|2|b|2|c|24. 8在四边形 ABCD 中，ADBC，AB2 3，AD5，A30，点 E 在线 段 CB 的延长线上，且 AEBE，则BD AE _. 1在等腰ABE 中，易得BAEABE30，故
5、 BE2，则BD AE (AD AB )(AB BE )AD AB AD BE AB 2AB BE 52 3cos 30 52cos 180122 32cos 15015101261. 三、解答题 9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求|ab|； (2)求向量 a 在向量 ab 方向上的投影 解(1)(2a3b)(2ab)61， 4|a|24ab3|b|261. |a|4，|b|3，ab6， |ab| |a|2|b|22ab 423226 13. (2)a(ab)|a|2ab42610， 向量 a 在向量 ab 方向上的投影为aab |ab| 10 13 10 13
6、13 . 10已知 e1与 e2是两个互相垂直的单位向量，k 为何值时，向量 e1ke2与 ke1e2的夹角为锐角？ 解e1ke2与 ke1e2的夹角为锐角， (e1ke2)(ke1e2) ke 2 1ke 2 2(k21)e1e2 2k0， k0. 但当 k1 时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去 综上，k 的取值范围为k|k0 且 k1 1定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量 a 与 b 的夹角，若|a|2，|b|5， ab6，则|ab|等于() A8B8C6D6 B由|a|2， |b|5， ab6， 得 cos 3 5， sin 4 5， |ab|a|b|s
7、in 254 58. 2. (多选题)已知ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，OA AB AC 0， 且|OA |AB |，下列结论正确的是( ) ACA 在CB 方向上的投影向量为 3 3 CB BOA AB OA AC CCA 在CB 方向上的投影向量为 3 3 CB DOB AB OC AC BCD由OA AB AC 0 得OB AC CA ，所以四 边形 OBAC 为平行四边形 又 O 为ABC 外接圆的圆心，所 以|OB |OA |，又|OA |AB |，所以OAB 为正三角形因为 ABC 的外接圆半径为 2，所以四边形 OBAC 是边长为 2 的 菱形，所以ACB 6，|CB
8、 |2 3，所以CA 在CB 上的投影向量为 |CA |cos 6 CB |CB | 3CB 3 3 3 CB ，故 C 正确因为OA AB OA AC 2，OB AB OC AC 2， 故 BD 正确 3非零向量 a，b 满足|a|b|ab|，则 a，b 的夹角为_ 2 3 由|a|b|ab|，所以|a|2|ab|2， 所以|a|2|a|22ab|b|2，得 ab1 2|b| 2， 所以 ab|a|b|cos 1 2|b| 2， 所以 cos 1 2，又0，所以 2 3 . 4 在平行四边形 ABCD 中， AD1， BAD60， E 为 CD 的中点 若AC BE 1，则 AB 的长为_
9、1 2 设|AB |x(x0)，则ABAD 1 2x， 所以AC BE (AD AB ) AD 1 2AB 11 2x 21 4x1，解得 x 1 2，即 AB 的 长为1 2. 5已知平面上三个向量 a，b，c 的模均为 1，它们相互之间的夹角为 120. (1)求证：(ab)c； (2)若|kabc|1(kR)，求 k 的取值范围 解(1)证明：|a|b|c|1 且 a，b，c 之间的夹角均为 120， (ab)cacbc |a|c|cos 120|b|c|cos 1200，(ab)c. (2)|kabc|1，(kabc)(kabc)1， 即 k2a2b2c22kab2kac2bc1. acabbccos 1201 2， k22k0，解得 k0 或 k2. 即 k 的取值范围是(，0)(2，)
