1、课时分层作业(三十一)直线与平面垂直 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1直线 a 和 b 在正方体 ABCDA1B1C1D1中的两个不同平面内，下列使 ab 成立的条件个数是() a 和 b 垂直于正方体的同一个平面； a 和 b 在正方体两个相对的面内，且共面； a 和 b 平行于同一条棱； a 和 b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直 A1B2C3D4 C一定能使 ab 成立，不一定使 ab 成立，例如在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，BCAB，显然 AA1与 BC 不平行 2下列语句中不正确的是() All 与相交 Bm，n，lm，lnl Clm，mn，
2、ln Dl，mlm BB 中若 mn，不能得出 l. 3已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面，若 PCBD，则平行四边形 ABCD 一定是() A平行四边形B矩形 C正方形D菱形 D如图，PA平面 ABCD， PABD PCBD，且 PAPCP，BD平面 PAC，ACBD 4对于四面体 ABCD，给出下列四个命题： 若 ABAC，BDCD，则 BCAD； 若 ABCD，ACBD，则 BCAD； 若 ABAC，BDCD，则 BCAD； 若 ABCD，ACBD，则 BCAD 其中为真命题的是() AB CD D如图，取 BC 的中点 M，连接 AM，DM，由 ABACAMBC，同 理 D
3、MBCBC平面 AMD，而 AD平面 AMD，故 BCAD；设 A 在平面 BCD 内的射影为 O，连接 BO，CO，DO，由 ABCDBOCD，由 ACBD COBDO 为BCD 的垂心DOBCADBC故选 D 5如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，底面三角形的边长为 1， 则 BC1与侧面 ACC1A1所成的角的大小是() A30B45 C60D90 A取 AC 的中点 D，连接 DB，C1D，则可证得BC1D 即为 BC1与侧面 ACC1A1所成的角，在ABC 中，易得 BD 3 2 . 在DCC1中，易得 DC13 2， 在 RtBC1D 中，tanBC1D BD D
4、C1 3 3 ， 即BC1D30. 二、填空题 6在ABC 中，ABAC5，BC6，PA平面 ABC，PA8，则 P 到 BC 的距离是_ 4 5如图所示，作 PDBC 于 D，连接 AD PA平面 ABC，PABC，且 PAPDP， BC平面 PAD，ADBC 在ACD 中，AC5，CD3，AD4， 在 RtPAD 中，PA8，AD4，PD 82424 5，即 P 到 BC 的距离 为 4 5. 7如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，M 为线段 BB1上的一动 点，则直线 AM 与直线 BC 的位置关系为_ 垂直AA1平面 ABC， BCAA1， ABC90，BCAB，又 AB
5、AA1A， BC平面 AA1B1B，又 AM平面 AA1B1B， AMBC 8如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB1，BCa，PA平面 ABCD，若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQQD，则 a 的值等于_ 2PA平面 ABCD， PAQD 又PQQD，且 PAPQP， QD平面 PAQ， AQQD，即 Q 在以 AD 为直径的圆上，当圆与 BC 相切时，点 Q 只有一 个，故 BC2AB2. 三、解答题 9 如图， 在四棱锥 PABCD 中， PD平面 ABCD， ADCD， DB 平分ADC， E 为 PC 的中点，ADCD (1)证明：PA平面 BDE； (2)证明：AC平面 PB
6、D 证明(1)设 ACBDH，连接 EH. 在ADC 中， 因为 ADCD，且 DB 平分ADC， 所以 H 为 AC 的中点 又由题设，E 为 PC 的中点， 故 EHPA， 又 EH平面 BDE， 且 PA平面 BDE， 所以 PA平面 BDE. (2)因为 PD平面 ABCD， AC平面 ABCD， 所以 PDAC 由(1)可得，DBAC，又 PDDBD， 故 AC平面 PBD 10如图，已知矩形 ABCD，SA平面 AC，AESB 于点 E，EFSC 于点 F. (1)求证：AFSC； (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G，求证：AGSD 证明(1)SA平面 AC，BC平面 AC，
7、 SABC 四边形 ABCD 为矩形，ABBC 又 ABSAA，BC平面 SAB，BCAE. 又 SBAE，SBBCB， AE平面 SBC，AESC 又 EFSC，EFAEE， SC平面 AEF. 又 AF平面 AEF，AFSC (2)SA平面 AC，SADC 又 ADDC，SAADA， DC平面 SAD，DCAG. 又由(1)有 SC平面 AEF，AG平面 AEF， SCAG， 又 SCDCC，AG平面 SDC，AGSD 1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况： 三角形的两边；梯形的两边； 圆的两条直径；正六边形的两条边 能判定直线与此平面垂直的有() ABCD B由线面垂直的判定定理
8、可知能判定，而中线面可能平行、相交、 还可能线在平面内，中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面 垂直 2如图，四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 为正方形，SD底面 ABCD，则下 列结论中正确的是_ACSB；AB平面 SCD；SA 与平面 ABCD 所成的角是SAD；AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角 因为 SD底面 ABCD，所以 ACSD因为 ABCD 是正方形， 所以 ACBD又 BDSDD，所以 AC平面 SBD，所以 ACSB，故正确； 因为 ABCD，AB平面 SCD，CD平面 SCD，所以 AB平面 SCD，故正确； 因为 AD 是 SA 在平
9、面 ABCD 内的射影，所以 SA 与平面 ABCD 所成的角是 SAD故正确；因为 ABCD，所以 AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成 的角，故正确故均正确 3如图所示，PA平面 ABC，M，N 分别为 PC，AB 的中点，使得 MNAC 的一个条件为_ ACBC取 AC 中点 Q，连接 MQ，NQ， 则 MQAP，NQBC， 由已知条件易得 MQAC，若 ACBC， 则 NQAC，所以 AC平面 MNQ， 所以 ACMN. 4如图，在长方形 ABCD 中，AB2，AD1，E 是 CD 的中点，沿 AE 将 DAE 向上折起，使 D 到 D的位置，且平面 AED平面 ABCE
10、，则直线 AD与 平面 ABC 所成角的正弦值为_ 2 2 由题意， 知AED为等腰直角三角形， 平面 AED平面 ABCE， AD 在底面的射影在 AE 上，DAE 为直线 AD与平面 ABC 所成角，且DAE 45，其正弦值为 2 2 . 5如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD， ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点 (1)证明：CDAE； (2)证明：PD平面 ABE. 证明(1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，故 PACD 又ACCD，PAACA，CD平面 PAC 而 AE平面 PAC，CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA 又E 是 PC 的中点，AEPC 由(1)知，AECD，且 PCCDC， AE平面 PCD而 PD平面 PCD，AEPD PA底面 ABCD，PAAB 又ABAD，PAADA，AB平面 PAD 又PD平面 PAD，ABPD 又ABAEA，PD平面 ABE.
