1、章末综合测评(三)解三角形 (满分：150 分时间：120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1在ABC 中，ak，b 3k(k0)，A45，则满足条件的三角形有() A0 个B1 个 C2 个D无数个 A由正弦定理得 a sin A b sin B， 所以 sin Bbsin A a 6 2 1，即 sin B1，这是不成立的所以没有满足此条 件的三角形 2在ABC 中，sin Asin Bsin C323，则 cos C 的值为() A1 3 B1 2 C1 4 D1 4 A根据正弦定理，abc
2、sinAsinBsinC323，设 a 3k，b2k，c3k(k0) 则有 cos C9k 24k29k2 23k2k 1 3. 3在ABC 中，A 3，BC3，AB 6，则 C( ) A 4或 3 4 B3 4 C 4 D 6 C由 BC sin A AB sin C，得 sin C 2 2 . BC3，AB 6，AC，则 C 为锐角，故 C 4. 4ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B 3， 则ABC 的面积为() A6 3B12 3 C4 3D2 3 A法一： 因为 a2c， b6， B 3， 所以由余弦定理 b 2a2c22accos B， 得 6
3、2(2c)2c222cccos 3，得 c2 3，所以 a4 3，所以ABC 的面积 S1 2acsin B 1 24 32 3sin 36 3.故选 A 法二：因为 a2c，b6，B 3，所以由余弦定理 b 2a2c22accos B，得 62(2c)2c222cccos 3，得 c2 3，所以 a4 3，所以 a 2b2c2，所 以 A 2，所以ABC 的面积 S 1 22 366 3.故选 A 5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin2A 2 cb 2c ，则 ABC 的形状为() A等边三角形B直角三角形 C等腰三角形D等腰直角三角形 B由已知可得1cos
4、A 2 1 2 b 2c， 即 cos Ab c，bccos A 法一：由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc ，则 bcb 2c2a2 2bc ， 所以 c2a2b2，由此知ABC 为直角三角形 法二：由正弦定理，得 sin Bsin Ccos A 在ABC 中，sin Bsin(AC)， 从而有 sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A， 即 sin Acos C0.在ABC 中，sin A0， 所以 cos C0.由此得 C 2， 故ABC 为直角三角形 6如图，海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西 30，与 O 相距 15 海里的 C 处现甲船以 35 海里
5、/小时的速度沿直线 CB 去营救位于中心 O 正东方向 25 海 里的 B 处的乙船，则甲船到达 B 处需要的时间为() A1 2小时 B1 小时 C3 2小时 D2 小时 B在OBC 中，由余弦定理，得 CB2CO2OB22COOBcos 120152 2521525352，因此 CB35，35 351(小时)，因此甲船到达 B 处需要的时 间为 1 小时 7.如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD,2AB 3BD，BC 2BD，则 sin C 的值为() A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 D设 BDa，则 BC2a，ABAD 3 2 a. 在ABD 中，由余
6、弦定理，得 cos AAB 2AD2BD2 2ABAD 3 2 a 2 3 2 a 2 a2 2 3 2 a 3 2 a 1 3. 又A 为ABC 的内角，sin A2 2 3 . 在ABC 中，由正弦定理得， BC sin A AB sin C. sin CAB BCsin A 3 2 a 2a 2 2 3 6 6 . 8泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量 “泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰 角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在点 B 处测得“泉标”顶 端的仰角为 30，则“泉标”的高度为() A
7、50 mB100 m C120 mD150 m A如图，CD 为“泉标”高度，设高为 h 米，由题意，CD平面 ABD， AB100 米，BAD60，CAD45，CBD30 在CBD 中，BD 3h，在CAD 中，ADh， 在ABD 中，BD 3h，ADh，AB100，BAD60， 由余弦定理可得 3h210000h22100hcos60，(h50)(h100)0， 解得 h50 或 h100 (舍去)，故选 A 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的 四个选项中，只有多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分， 有选错得 0 分) 9
8、在ABC 中，b2，B45，若这样的三角形有两个，则边 a 的取值可 以为() A2B9 4 C12 5 D2 2 BC由题意得 ba， sin Aasin B b 2， 2 2 a 2 1 2a2， x2 2x， 解得 2 22x2 22， 故当 x23时，SABC取得最大值 2 2，故选 A不选 D； 当 x1 时，SABC 7 4 ，故选 B； 当 x2 时，SABC2 ，故选 C，应选 ABC 11在ABC 中，a7，b8，cos B1 7. 则( ) AA 3 BA 4 CSABC6 3DSABC3 3 AC在ABC 中，因为 cos B1 7，所以 sin B 1cos 2B4 3
9、 7 . 由正弦定理得 sin Aasin B b 3 2 .由题设知 2B， 所以 0A 2， 所以A 3. 在ABC 中，因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B3 3 14 ， SABC1 278 3 3 14 6 3，故选 AC 12 在ABC 中， D 在线段 AB 上， 且 AD5， BD3， 若 CB2CD， cosCDB 5 5 ，则() AsinCDB 3 10 BABC 的面积为 8 CABC 的周长为 84 5 DABC 为钝角三角形 BCD因为 cosCDB 5 5 ， 所以 sinCDB 1cos2CDB2 5 5 ， 故 A 错误； 设
10、 CDa， 则 BC2a， 在BCD 中， BC2CD2BD22BDCDcosCDB， 解得 a 5，所以 SDBC1 2BDCDsinCDB 1 23 5 2 5 5 3， 所以 SABC35 3 SDBC8，故 B 正确； 因为ADCCDB，所以 cosADCcos(CDB)cosCDB 5 5 ， 在ADC 中，AC2AD2CD22ADDCcosADC，解得 AC2 5， 所以 CABCABACBC(35)2 52 584 5，故 C 正确； 因为 AB8 为最大边，所以 cosCBC 2AC2AB2 2BCAC 3 50，即 C 为钝角， 所以ABC 为钝角三角形，故 D 正确. 故选
11、 BCD 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线 上) 13已知ABC 为钝角三角形，且 C 为钝角，则 a2b2与 c2的大小关系为 _ a2b2c2cos Ca 2b2c2 2ab ，且 C 为钝角， cos C0，a2b2c20，故 a2b20， 故 cos B 2 2 ，所以 B45. 18(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 a3c，b 2，cos B2 3，求 c 的值； (2)若sin A a cos B 2b ，求 sin(B 2)的值 解(1)因为 a3c，b 2，cosB2 3，
12、 由余弦定理 cos Ba 2c2b2 2ac ， 得2 3 3c2c2 22 23cc ， 即 c21 3.所以 c 3 3 . (2)因为sin A a cos B 2b ， 由正弦定理 a sin A b sin B，得 cos B 2b sin B b ，所以 cos B2sin B 从而 cos2B(2sin B)2，即 cos2B4(1cos2 B) ，故 cos2B4 5. 因为 sin B0，所以 cos B2sin B0，从而 cos B2 5 5 . 因此 sin B 2 cos B2 5 5 . 19(本小题满分 12 分)已知ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a
13、，b，c， sin A sin B 1cos A 2cos B (1)求证：2abc； (2)若 cos A4 5，S ABC6，求 a 的值 解(1)sin A sin B 1cos A 2cos B，2sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A， 可得 2sin Asin Bsin Acos Bsin Bcos Asin Bsin(AB)sin Bsin C， 所以由正弦定理可得：2abc. (2)cos A4 5，A 为三角形内角， sinA 1cos2A3 5， 又 SABC6，61 2bcsin A，bc20， 由余弦定理可得 cos A b2c2a2 2bc bc
14、22bca2 2bc 4a22bca2 2bc 3a22bc 2bc 3a 240 40 4 5. 整理得 a224，解得 a2 6(负值舍去) 20(本小题满分 12 分)某观测站在城 A 南偏西 20方向的 C 处，由城 A 出 发的一条公路，走向是南偏东 40，在 C 处测得公路距 C 处 31 千米的 B 处有一 人正沿公路向城 A 走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 C、D 间的距离为 21 千米，问这人还要走多少千米可到达城 A? 解如图所示， 设ACD，CDB. 在CBD 中，由余弦定理得 cos BD 2CD2CB2 2BDCD 20 2212312 22021 1 7
15、， sin 4 3 7 . 而 sin sin(60)sin cos 60sin 60cos 4 3 7 1 2 3 2 1 7 5 3 14 . 在ACD 中， 21 sin 60 AD sin ， AD21sin sin 60 15(千米) 所以这人还要再走 15 千米可到达城 A 21(本小题满分 12 分)在平面四边形 ABCD 中，ABD 中边 BD 所对的角 为 A，BCD 中边 BD 所对的角为 C，已知 ABBCCD2，AD2 3. (1)试问3cosAcos C 是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由； (2)记ABD 与BCD 的面积分别为 S1和 S2，求出 S 2
16、 1S 2 2的最大值 解(1)在ABD 中，由余弦定理得 BD24128 3cos A168 3cos A, 在BCD 中，由余弦定理得 BD2448cos C， 168 3cos A88cos C， 则 8( 3cos Acos C)8， 3cos Acos C1； 所以3cos Acos C 为定值 1. (2)S11 222 3sin A2 3sin A， S21 222sin C2sin C， 则 S 2 1S 2 212sin2A4sin2C16(12cos 2A4cos2 C) 由(1)知： 3cos A1cos C，代入上式得 S 2 1S 2 21612cos2A4( 3co
17、s A1)224cos2A8 3cos A12, 配方得 S 2 1S 2 224 cos A 3 6 2 14， 当 cos A 3 6 时，S21S 2 2取到最大值 14. 22(本小题满分 12 分)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的 边，且满足 sin A 3cos A2. (1)求角 A 的大小； (2)现给出三个条件：a2；B 4；c 3b.试从中选出两个可以确定 ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求ABC 的面积(写出一种方案即 可) 解(1)依题意得 2sin A 3 2， 即 sin A 3 1， 0A， 3A 3 4 3 ，A 3 2， A 6. (2)参考方案：选择. 由正弦定理 a sin A b sin B，得 b asin B sin A 2 2. ABC， sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 2 6 4 ， SABC1 2absin C 1 222 2 2 6 4 31.
