1、章末综合测评(一)平面向量 (满分：150 分时间：120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1下列命题中，正确命题的个数是() 单位向量都共线； 长度相等的向量都相等； 共线的单位向量必相等； 与非零向量 a 共线的单位向量是 a |a|. A3B2C1D0 D根据单位向量的定义，可知明显是错误的，对于，与非零向量 a 共线的单位向量是 a |a|或 a |a|，故也是错误的 2已知向量 a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k() A12B6 C6D12 D2ab(4，2)(1，k)(5
2、，2k)，由 a(2ab)0，得(2，1)(5，2 k)0，所以 102k0，解得 k12. 3如图，在ABC 中，ADAB，BC 3BD ，|AD |1，则AC AD () A2 3B 3 2 C 3 3 D 3 D设|BD |x， 则|BC | 3x， AC AD (AB BC )AD BC AD |BC |AD |cosADB 3x11 x 3. 4 .已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0，则() AAO 2OD BAO OD CAO 3OD D2AO OD B因为 D 为 BC 的中点，所以OB OC 2OD . 所以 2OA 2OD 0
3、，所以OA OD ，所以AO OD . 5已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)， 则 c() A 7 9， 7 3B 7 3， 7 9 C 7 3， 7 9D 7 9， 7 3 D设 c(x，y)，则 ca(1x，2y)，ab(3，1)， 由已知可得 22y3x10， 3xy0， 解得 x7 9， y7 3， 即 c 7 9， 7 3 . 6一质点受到平面上的三个力 f1，f2，f3的作用而处于平衡状态已知 f1 与 f2的夹角为 60，且 f1，f2的大小分别为 2 N 和 4 N，则 f3的大小为() A6 NB2 N C2 5 ND2 7N D由向量
4、的平行四边形法则及力的平衡，得|f3|2|f1f2|2|f1|2|f2|2 2|f1|f2|cos 6022422241 228，所以|f 3|2 7 N 7如图，已知点 C 为OAB 边 AB 上一点，且 AC2CB，若存在实数 m， n，使得OC mOA nOB ，则 mn 的值为() A1 3 B0 C1 3 D2 3 AOC OB BC OB 1 3BA OB 1 3BO 1 3OA 1 3OA 2 3OB ，所以 mn 1 3.故选 A 8已知 A(1，3)，B 8，1 2 ，且 A，B，C 三点共线，则点 C 的坐标可以是 () A(9，1)B(9，1) C(9，1)D(9，1)
5、C设点 C 的坐标是(x，y)， 因为 A，B，C 三点共线， 所以AB AC . 因为AB 8，1 2 (1，3) 7，7 2 ， AC (x，y)(1，3)(x1，y3)， 所以 7(y3)7 2(x1)0， 整理得 x2y7， 经检验可知点(9，1)符合要求 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错 的得 0 分) 9已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，b 共 线的是() A2a3b4e 且 a2b2e B存在相异实数，使ab0 Cxayb0
6、(其中实数 x，y 满足 xy0) D已知梯形 ABCD，其中AB a，CD b AB对于 A，向量 a，b 是两个非零向量，2a3b4e 且 a2b2e， a2 7e，b 8 7e ，此时能使 a，b 共线，故 A 正确；对于 B，存在相异实数， ，使ab0，要使非零向量 a，b 是共线向量，由共线定理即可成立，故 B 正确；对于 C，xayb0(其中实数 x，y 满足 xy0)如果 xy0 则不能使 a， b 共线，故 C 不正确；对于 D，已知梯形 ABCD 中，AB a ，CD b，如果 AB， CD 是梯形的上下底，则正确，否则错误；故选 AB 10已知向量 e1(1，2)，e2(2
7、，1)，若向量 a1e12e2，则可使120 成立的 a 可能是() A(1，0)B(0，1)C(1，0)D(0，1) ACa1e12e2(122，212)， 若 a(1，0)，则 1221 2120 ，解得11 5， 22 5， 120，不满足题意； 因为向量(1，0)与向量(1，0)共线，所以向量(1，0)也满足题意故选 AC 11如图所示，四边形 ABCD 为梯形，其中 ABCD，AB2CD，M，N 分 别为 AB，CD 的中点，则下列结论正确的是() AAC AD 1 2AB BMC 1 2AC 1 2BC CMN AD 1 4AB DBC AD 1 2AB ABDAC AD DC A
8、D 1 2AB ，A 正确； MC MA AC 1 2BA AC 1 2 BC AC AC 1 2AC 1 2BC ，B 正确； MN MA AD DN 1 2AB AD 1 4AB AD 1 4AB ，C 错误； BC BA AD DC AB AD 1 2AB AD 1 2AB ，D 正确故选 ABD 12. ABC 是边长为 3 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB 3a，AC 3a b，则下列结论中正确的有() Aa 为单位向量BbBC CabD(6ab)BC ABD对于 A，AB 3a，a1 3AB ，则|a|1 3|AB |1，A 正确； 对于 B，AC 3abAB b，bAC
9、AB BC ，bBC ，B 正确； 对于 C，ab1 3AB BC 1 33 2cos2 3 0，所以 a 与 b 不垂直，C 错误； 对于 D，(6ab)BC AB AC AC AB AC 2AB 20，所以，(6a b)BC ，D 正确 故选 ABD 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线 上) 13已知向量 a(4，3)，b(6，m)，且 ab，则 m_. 8向量 a(4，3)，b(6，m)，ab，则 ab0，463m0，m 8. 14已知点 A(2，5)，B(3，2)，则向量AB _，与向量AB 同向的 单位向量为_(本题第一空 2 分，第二空
10、3 分) (1，7) 2 10， 7 2 10由向量的坐标定义，可知：AB (32，25) (1，7) |AB |127252.与向量AB 同向的单位向量为： AB |AB | 1 5 2， 7 5 2 2 10， 7 2 10 . 15已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AE BD _. 2法一：AE BD AD 1 2AB (AD AB )AD 21 2AB 2221 22 22. 法二： 以 A 为原点建立平面直角坐标系如图所示 则 A(0， 0)， B(2， 0)， C(2， 2)，D(0，2)，E(1，2) AE (1，2)，BD (2，2) 从而AE BD
11、(1，2)(2，2)1(2)222. 16已知向量 a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若 ab，(ab)(b c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN 的模为_ 8 2ab，2(2)(1)x0，解得 x4， b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y) (ab)(bc)，(ab)(bc)0， 即 63(2y)0， 解得 y4， MN (yx，xy)(8，8)， |MN |8 2. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知平面向量 a(2，3)， b(2，4)，c(1，1
12、) (1)求证：abac 垂直； (2)若 ab 与 c 是共线向量，求实数的值 解(1)证明：因为 a(2，3)，b(2，4)，c(1，1)， 所以 ab(4，1)，ac(1，4) 从而(ab)(ac)41(1)40， 且(ab)与 ac 均为非零向量， 所以 abac 垂直 (2)因为 a(2，3)，b(2，4)，所以 ab(22，34)， 又 c(1，1)，且 ab 与 c 是共线向量， 所以(22)(1)(34)10， 解得5 2. 18 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A(1， 2)， B(2， 3)，C(2，1) (1)求以线段 AB，AC 为邻边的
13、平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(AB tOC )OC 0，求 t 的值 解(1)由题设，知AB (3，5)，AC (1，1)，则AB AC (2，6)，AB AC (4，4) 所以|AB AC |2 10，|AB AC |4 2.故所求的两条对角线长分别为 4 2， 2 10. (2)由题设，知OC (2，1)，AB tOC (32t，5t) 由(AB tOC )OC 0，得(32t，5t)(2，1)0，从而 5t11，所以 t11 5 . 19(本小题满分 12 分)如图，在ABC 中，已知 AB2，AC4，A 60， D 为线段 BC 中点，E 为线段 AD 中点 (
14、1) 求AD BC 的值； (2) 求EB EC 的值 解(1)由题意得|AB |2， |AC |4， AB AC |AB |AC|cos 60421 24， AD 1 2(AB AC )，BC AC AB . AD BC 1 2(AB AC )(AC AB ) 1 2(AC 2AB2)1 2(164)6. (2)EB EAAB1 2AD AB 1 2 1 2 AB AC AB 3 4AB 1 4AC . EC EA AC 1 2AD AC 1 2 1 2 AB AC AC 1 4AB 3 4AC . EB EC 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC 3 16|AB |25 8AB
15、AC 3 16|AC |25 4. 20(本小题满分 12 分)设两个向量 e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹 角为 60，若向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围 解由向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角， 得2te17e2e1te2 |2te17e2|e1te2| 0， 即(2te17e2)(e1te2)0. 整理得：2te 2 1(2t27)e1e27te 2 20.(*) |e1|2，|e2|1， e1，e260. e1e221cos 601. (*)式化简得：2t215t70. 解得7t1 2. 当向量 2te17e2与 e
16、1te2夹角为 180时， 设 2te17e2(e1te2)(0) 对比系数得 2t， 7t 0， ， 14， t 14 2 . 所求实数 t 的取值范围是 7， 14 2 14 2 ，1 2 . 21(本小题满分 12 分)在ABC 中，已知 A(2，4)，B(1，2)，C(4，3)， ADBC 于点 D (1)求点 D 的坐标； (2)求证：AD2BDDC 解(1)设 D 点坐标为(x，y)， 则AD (x2，y4)，BC (5，5)， BD (x1，y2) 因为 ADBC，所以AD BC 0， 即 5(x2)5(y4)0. 所以 xy6. 又因为 B，D，C 三点共线， 所以BD BC
17、， 所以 5(x1)5(y2)0， 所以 xy1. 联立，解得 x7 2， y5 2， 所以点 D 的坐标为 7 2， 5 2 . (2)证明：因为AD 3 2， 3 2 ， BD 9 2， 9 2 ，DC 1 2， 1 2 ， 所以|AD |29 4 9 4 9 2， |BD | 9 2 2 9 2 2 9 2 2 ， |DC | 1 2 2 1 2 2 2 2 ， 从而|BD |DC |9 2 2 2 2 9 2. 故|AD |2|BD |DC |， 即 AD2BDDC 22(本小题满分 12 分)已知 A(1，0)，B(0，2)，C(3，1)，AB AD 5， AD 210. (1)求
18、D 点坐标； (2)若 D 点在第二象限，用AB ，AD 表示AC ； (3)若AE (m，2)，3AB AC 与AE 垂直，求AE的坐标 解(1)设 D(x，y)，AB (1，2)，AD (x1，y) 由题得 AB AD x12y5， AD 2x12y210， 即 x2y4， x12y210. x2， y3 或 x2， y1. D 点坐标为(2，3)或(2，1) (2)D 点在第二象限， 由(1)知 D(2，3) AD (1，3) AC (2，1)， 设AC mAB nAD ，则(2，1)m(1，2)n(1，3)， 2mn， 12m3n， m1， n1. AC AB AD . (3)3AB AC 3(1，2)(2，1)(1，7)，AE (m，2)，(3ABAC )AE 0， m140，m14. AE (14，2)
