1、4 4.1 1.2 2乘法公式与全概率公式乘法公式与全概率公式 4 4.1 1.3 3独立性与条件概率的关系独立性与条件概率的关系 课标阐释思维脉络 1.结合古典概型,会用乘法公式计 算概率. 2.结合古典概型,会利用全概率公 式计算概率. *了解贝叶斯公式. 3.结合古典概型,了解条件概率与 独立性的关系. 激趣诱思知识点拨 某班有两个课外活动小组,第一小组有足球票6张,排球票4张;第二 小组有足球票4张,排球票6张.事件A为“甲从第一小组的10张票中 任抽1张”,事件B为“乙从第二小组的10张票中任抽1张”.事件A,B之 间有怎样的关系? 激趣诱思知识点拨 一、乘法公式与全概率公式 1.乘
2、法公式:由条件概率的计算公式P(B|A)= 可知, P(BA)=P(A)P(B|A),这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件 A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率. 一般地,这个结论称为乘法公式. 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 微练习1 已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)=. 解析:P(BA)=P(A)P(B|A)=0.30.2=0.06. 答案:0.06 微练习2 已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B| )=0.4,则P(B)=. 解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B|
3、 )=0.50.3+0.50.4=0.35. 答案:0.35 激趣诱思知识点拨 微练习3 已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.4,P(B| )=0.3,则P(B)=() A.0.36 B.0.24 C.0.18 D.0.30 解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )=0.60.4+0.40.3=0.36. 答案:A 激趣诱思知识点拨 二、独立性与条件概率的关系 1.事件的相互独立性:一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B 相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否 发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A 发生的
4、概率. 激趣诱思知识点拨 2.独立性与条件概率的关系:当P(B)0且P(AB)=P(A)P(B)时,由条件 概率的计算公式有 ,即P(A|B)=P(A). 这就是说,此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的 概率相等,也就是事件B的发生,不会影响事件A发生的概率. 类似地,可以看出,如果P(A|B)=P(A),那么一定有P(AB)=P(A)P(B). 因此,当P(B)0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A). 这也就同时说明,当P(A|B)P(A)时,事件B的发生会影响事件A发生 的概率,此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A 与B互不影响”等. 探究
5、一探究二探究三素养形成当堂检测 乘法公式与全概率公式乘法公式与全概率公式 例11号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现 随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球. 问从2号箱取出红球的概率是多少? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 复杂事件概率的求法 求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事 件之并,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率, 最后利用概率的可加性,得到最终结果,这一方法的一般化就是全 概率公式. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设甲、乙、丙射中的 概率
6、分别为0.4,0.5,0.7,又设只有一人射中,飞机坠落的概率为0.2,若 有二人射中,飞机坠落的概率为0.6,若有三人射中,飞机必坠落.求飞 机坠落的概率. 解:记A=飞机坠落,Bi=i个人射中飞机,i=1,2,3. B1=甲射中,乙、丙未射中+乙射中,甲、丙未射中+丙射中,甲、 乙未射中, P(B1)=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7=0.36. 同理P(B2)=0.60.50.7+0.40.50.7+0.40.50.3=0.41. P(B3)=0.40.50.7=0.14. 再由题设,P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1.利用全概率
7、公式, 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 事件独立性的判断事件独立性的判断 例2把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否 独立? (1)A=掷出偶数点,B=掷出奇数点; (2)A=掷出偶数点,B=掷出3的倍数点; (3)A=掷出偶数点,B=掷出的点数小于4. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 两个事件是否独立的判断 (1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影 响. (2)定义法:当P(AB)=P(A)P(B)时,事件A,B独立. (3)条件概率法:当P(A)0时,可用P(B|A)=P(B)判断. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2判断下
8、列事件是否独立. (1)甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生.现从甲、乙两 组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙 组中选出1名女生”. (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1 个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白 球”. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选 出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以两个事件独立. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 相互独立事件概率的计算相互独立事件概率的计算 例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事,
9、若当天从重庆到上海的 三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间 是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 分析(1)这三列火车之间是否正点到达互不影响,因此本题是相互独 立事件同时发生的概率问题,注意两列正点到达所包含的情况. (2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正 点到达,这种情况比正面列举简单些,因此利用对立事件的概率公 式求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 与相互独立事件有关的概率问题求解策略 明确事件中的“至
10、少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发 生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. 一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 它们之间的概率关系如表所示: 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究 本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方程方程(组组)思想在概率中的应用思想在概率中的应用 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验
11、,求至少有一个是一等 品的概率. 分析设甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品为事件A,B,C, 由题意可建立关于P(A),P(B),P(C)的方程组,从而确定P(A),P(B), P(C);再由对立事件和独立事件同时发生的概率公式求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)设甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品为事件 A,B,C. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方法点睛 已知基本事件的概率求与其有关的事件的概率时,通常 分析相关事件的性质,利用条件概率公式、相互独立事件公式直接 求解;若已知基本事件的相关概率求基本事件的概率,则需要在分 析相关事件的性质后,构建方程(组
12、)求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反 面”,则有() A.A与B相互独立B.P(AB)=P(A)+P(B) C.A与B互斥D.P(AB)= 解析:事件A的发生与否对事件B的发生没有影响,故A正确; 由于A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故B,C错误; 对于选项D,A,B相互独立, P(AB)=P(A)P(B)= ,D错误. 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16 颗绿棋子.某人无放回地依次从中摸出1颗棋子,则第1次摸出红棋 子,第2次摸出绿棋子的概率是. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测
