1、1.2.4二面角二面角 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握二面角的概念，二面角的平 面角的定义，会找一些简单图形中的 二面角的平面角(重点) 2掌握求二面角的方法、步骤(重 点、难点) 1通过学习二面角的概念及二面角 的平面角，培养数学抽象素养 2借助求二面角的方法和步骤的学 习，提升逻辑推理、数学运算素养 同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知 道十二星座的由来吗？ 我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道 面交角(二面角的平面角)约为 2326，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及 其附近的南北宽 8以内的区域为黄道带，黄道带内有十二
2、个星座，称为“黄道 十二宫”，从春分(节气)点起，每 30便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金 牛座、双子座等等，这便是星座的由来，今天我们研究的问题便是二面角的平面 角问题 1二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面 (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条 直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为 l，两个面分别为， 的二面角的面，记作l，若 A，B，则二面角也可以记作 AlB，二面角 的范围为0， (3)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点 O，以 O 为垂足，分别 在两半平面内分别作射线 OAl，
3、OBl，则AOB 叫做二面角l的平面角 提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二 面角 思考：如何找二面角的平面角？ 提示(1)定义法 由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个 特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识 (2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角 (3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定 理(或逆定理)的应用步骤一致 2用空间向量求二面角的大小 如果 n1，n2分别是平面1， 2的一个法向量，设1与2所成角的大小为 则 n1，n2或n1，n2 ，sin sinn1，n2 1
4、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)二面角的范围是 0， 2 () (2)若二面角l的两个半平面的法向量分别为 n1，n2，则二面角的平面角 与两法向量夹角n1，n2一定相等() (3)二面角的大小通过平面角的大小来度量() 答案(1)(2)(3) 提示(1)不是是0， (2)不一定可能相等，也可能互补 (3) 2(教材 P52练习 B改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 A1BCA 的 余弦值为() A1 2 B2 3 C 2 2 D 3 3 C易知A1BA 为二面角 A1BCA 的平面角， cosA1BA AB A1B 2 2 3已知二面角l，其中平面的一个法向量
5、m(1,0，1)，平面的一个 法向量 n(0，1,1)，则二面角l的大小可能为_ 60或 120cosm，n mn |m|n| 1 2 2 1 2， m，n120， 二面角l的大小为 60或 120 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 A1BDC1的余弦值是_ 1 3 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则 D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，DA1 (1,0,1)，DB (1,1,0) 设 n(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量， 则 nDA1 0， nDB 0， 即 xz0， xy0， 令 x1，则 y1，z1，n(1，1，1) 同理，
6、求得平面 BC1D 的一个法向量 m(1，1,1)， 则 cosm，n mn |m|n| 1 3， 所以二面角 A1BDC1的余弦值为1 3 用定义法求二面角 【例 1】如图，设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆 周上，若PAB 是边长为 2 的正三角形，且 COAB，求二面角 PACB 的正弦 值 解如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD， PO底面，POAC， OAOC，D 为 AC 的中点， ODAC， 又 POODO， AC平面 POD，则 ACPD， PDO 为二面角 PACB 的平面角 PAB 是边长为 2 的正三角形，COAB， PO 3，OA
7、OC1，OD 2 2 ， 则 PD 32 2 2 2 14 2 sinPDOPO PD 3 14 2 42 7 ， 二面角 PACB 的正弦值为 42 7 用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理) (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角 (3)解三角形求角 跟进训练 1已知矩形 ABCD 的两边 AB3，AD4，PA平面 ABCD，且 PA4 5， 则二面角 ABDP 的正切值为_ 1 3 过 A 作 AOBD，交 BD 于 O，连接 PO， 矩形 ABCD 的两边 AB3，AD4， PA平面 ABCD，且 PA4 5， BD 32425，POBD，
8、 POA 是二面角 ABDP 的平面角， 1 2BDAO 1 2ABAD， AOABAD BD 12 5 ， tanPOAPA AO 4 5 12 5 1 3 二面角 ABDP 的正切值为1 3 用向量法求二面角 探究问题 1构成二面角的平面角有几个要素？ 提示(1)角的顶点在二面角的棱上； (2)角的两边分别在表示二面角的两个 半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直 2二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？ 提示 条件 平面，的法向量分别为 u，v，所构成的二面角的大小为， u，v 图形 关系 计算cos cos cos cos 【例 2】如图所示，四棱柱 ABCDA1B1
9、C1D1的所有棱长都相等，ACBD O，A1C1B1D1O1，四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形 (1)证明：O1O底面 ABCD； (2)若CBA60，求二面角 C1OB1D 的余弦值 思路探究(1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证 (2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值 解(1)证明：因为四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形，所以 CC1AC，DD1BD， 又 CC1DD1OO1，所以 OO1AC，OO1BD，因为 ACBDO，所以 O1O底面 ABCD (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形
10、，ACBD，又 O1O底面 ABCD，所以 OB，OC，OO1两两垂直如图，以 O 为原点，OB， OC，OO1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 设棱长为 2，因为CBA60，所以 OB 3，OC1， 所以 O(0,0,0)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)， 平面 BDD1B1的一个法向量为 n(0,1,0)， 设平面 OC1B1的法向量为 m(x，y，z)， 则由 mOB1 ，mOC1 ，所以3x2z0，y2z0， 取 z 3，则 x2，y2 3， 所以 m(2,2 3， 3)， 所以 cosm，n mn |m|n| 2 3 19 2 57 19 由图形可知二面角
11、 C1OB1D 的大小为锐角， 所以二面角 C1OB1D 的余弦值为2 57 19 1(变问法)本例(2)条件不变，求二面角 BA1CD 的余弦值 解如图建立空间直角坐标系 设棱长为 2，则 A1(0，1,2)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，D( 3，0,0) 所以BC ( 3，1,0)，A1C (0,2，2)，CD ( 3，1,0) 设平面 A1BC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则 n1A1C 0， n1BC 0， 即 2y12z10， 3x1y10， 取 x1 3，则 y1z13， 故 n1( 3，3,3) 设平面 A1CD 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 则
12、n2A1C 0， n2CD 0， 即 2y22z20， 3x2y20， 取 x2 3，则 y2z23，故 n2 ( 3，3，3) 所以 cosn1，n2 n1n2 |n1|n2| 15 21 5 7 由图形可知二面角 BA1CD 的大小为钝角，所以二面角 BA1CD 的余弦值 为5 7 2(变条件、变问法)本例四棱柱中，CBA60改为CBA90，设 E， F 分别是棱 BC，CD 的中点，求平面 AB1E 与平面 AD1F 所成锐二面角的余弦值 解以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为 1，则 A(0，0,0)，B1(1,0,1)，E 1，1 2，0，D1(0,1,1
13、)，F 1 2，1，0， AE 1，1 2，0，AB1 (1,0,1)，AF 1 2，1，0，AD1 (0,1,1) 设平面 AB1E 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则 n1AB1 0， n1AE 0， 即 x1z10， x11 2y 10， 令 y12，则 x11，z11， 所以 n1(1,2,1) 设平面 AD1F 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 则 n2AD1 0， n2AF 0， 即 y2z20， 1 2x 2y20. 令 x22， 则 y21，z21所以 n2(2，1,1) 所以平面 AB1E 与平面 AD1F 所成锐二面角的余弦值为 |n1n2| |n1|n2|
14、|1，2，12，1，1| 122212 221212 |122111| 6 6 1 2 利用坐标法求二面角的步骤 设 n1，n2分别是平面，的法向量，则向量 n1与 n2的夹角(或其补角)就是 两个平面夹角的大小，如图用坐标法的解题步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系 (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量 n1，n2 (3)计算：求 n1与 n2所成锐角，cos |n1n2| |n1|n2| (4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为 提醒：确定平面的法向量是关键 空间中的翻折与探索性问题 【例 3】如图甲，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，A
15、BBC，CD2AB 2BC4， 过A点作AECD， 垂足为E， 现将ADE沿AE折叠， 使得DEEC 取 AD 的中点 F，连接 BF，CF，EF，如图乙 甲乙 (1)求证：BC平面 DEC； (2)求二面角 CBFE 的余弦值 思路探究(1)根据线面垂直的判定定理即可证明 BC平面 DEC； (2)建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角 CBFE 的余弦值 解(1)证明：如图，DEEC，DEAE，AEECE， DE平面 ABCE， 又BC平面 ABCE，DEBC， 又BCEC，DEECE，BC平面 DEC (2)如图，以点 E 为坐标原点，分别以 EA，EC，ED 为 x，y，z 轴建立空间
16、 坐标系 Exyz， E(0,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)， D(0,0,2)，A(2,0,0)，F(1,0,1)， 设平面 EFB 的法向量 n1(x1，y1，z1)， 由EF (1,0,1)，EB(2,2,0)， 所以 x1z10， 2x12y10， 取 x11，得平面 EFB 的一个法向量 n1(1，1，1)， 设平面 BCF 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)， 由CF (1，2,1)，CB (2,0,0)， 所以 x20， x22y2z20， 取 y21，得平面 BCF 的一个法向量 n2(0,1,2)， 设二面角 CBFE 的大小为， 则 cos |n1n2|
17、 |n1|n2| |12| 5 3 15 5 1与空间角有关的翻折问题的解法 要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量， 再结合向量知识求解相关问 题 2关于空间角的探索问题的处理思路 利用空间向量解决空间角中的探索问题， 通常不需要复杂的几何作图、 论证、 推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断， 把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理 跟进训练 2如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，ADCB，AD2CB4，ABC120， E 为 AD 的中点，现分别沿 BE，EC 将ABE 和ECD 折起，使得平面 ABE平 面 BCE，平面 ECD平面 BCE，连
18、接 AD，如图 2 (1)若在平面 BCE 内存在点 G，使得 GD平面 ABE，请问点 G 的轨迹是什 么图形？并说明理由 (2)求平面 AED 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值 图 1图 2 解(1)点 G 的轨迹是直线 MN 理由如下： 如图，分别取 BC 和 CE 的中点 N 和 M，连接 DM，MN，ND， 则 MNBE， 又 MN平面 BEA，BE平面 BEA， MN平面 BEA， 依题意有ABE，BCE，ECD 均为边长为 2 的正三角形， MDCE， 又平面 ECD平面 BCE，则 MD平面 BEA， 平面 NMD平面 BEA，点 G 的轨迹是直线 MN (2)如图，以点
19、M 为坐标原点，MB 为 x 轴，MC 为 y 轴，MD 为 z 轴，建立 空间直角坐标系， 则 E(0，1,0)，D(0,0， 3)，A 3 2 ，1 2， 3， EA 3 2 ，1 2， 3，ED (0,1， 3)， 设平面 AED 的法向量 n(x，y，z)， 则 nED y 3z0， nEA 3 2 x1 2y 3z0， 取 x 3，得 n( 3，3， 3)， 取平面 BCE 的一个法向量 m(0,0,1)， 则 cosn，m nm |n|m| 5 5 ， 平面 AED 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值为 5 5 1学会利用空间向量求二面角与定义法求二面角的方法 2利用向量法求二面
20、角的基本思想是把空间角转化为求两个向量之间的关 系首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量 建系)表示出向量，然后运用向量的运算即可，其次要理清要求角与两个向量夹 角之间的关系 1 三棱锥 ABCD 中， 平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1n2， 若 n1， n2 3，则二面角 ABDC 的大小为( ) A 3 B2 3 C 3或 2 3 D 6或 3 C当二面角 ABDC 为锐角时，它等于n1，n2 3 当二面角 ABDC 为钝角时，它应对等于n1，n2 3 2 3 2已知ABC 和BCD 均为边长为 a 的等边三角形，且 AD 3 2 a，则二 面
21、角 ABCD 的大小为() A30B45C60D90 C如图取 BC 的中点为 E，连接 AE，DE， 由题意得 AEBC，DEBC， 且 AEDE 3 2 a，又 AD 3 2 a， AED60，即二面角 ABCD 的大小为 60 3如图所示，在正四棱锥 PABCD 中，若PAC 的面积与正四棱锥的侧面 面积之和的比为 68，则侧面与底面所成的二面角为() A 12 B 4 C 6 D 3 D设正四棱锥的底面边长为 a，侧面与底面所成的二面角为，高为 h，斜 高为 h，则 1 2 2ah 41 2ah 6 8 ，h h 3 2 ，sin 3 2 ，即 3 4 在正方体 ABCDA1B1C1D
22、1中， E 为 BB1的中点， 则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_ 2 3 建系如图，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E 1，1，1 2 ， DA1 (1,0,1)，DE 1，1，1 2 设平面 A1ED 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nDA1 0，且 nDE 0即 xz0， xy1 2z0， 令 x1，得 y1 2，z1 n 1，1 2，1，又平面 ABCD 的一个法向量为DD1 (0,0,1)则 cos n， DD1 |nDD1 | |n|DD1 | 2 3 5三棱锥 PABC，PAPBPC 73，AB10，BC8，CA6，求二面 角 PACB 的大小 解如图在三棱锥 PABC 中，PAPBPC 73，AB10，BC8，CA 6， AC2BC2AB2，ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形， P 在底ABC 的射影 D 是ABC 的外心， 即斜边 AB 的中点 D 是 P 在底ABC 的射影， 作 DEAC，交 AC 于点 E，连接 PE， 则PED 是所求的二面角的平面角， 由题意得 DE4，PE8，cosPEDDE PE 1 2， PED60，二面角 PACB 的大小为 60
