1、1 1.2.2空间中的平面与空间向量空间中的平面与空间向量 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若 a=(1,2,3)是平面的一个法向量,则下列向量中能作为平面的法向量的是() A.(0,1,2)B.(3,6,9) C.(-1,-2,3)D.(3,6,8) 解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线. 答案 B 2.若直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为,则能使 l的是() A.a=(1,0,0),=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),=(1,0,1) C.a=(0,2,1),=(-1,0,1) D.a=(1,-1,3),=(0,3,1) 解析由 l,故 a,即 a=0,故选 D.
2、 答案 D 3.(多选)因为 v 为直线 l 的方向向量,n1,n2分别为平面,的法向量(,不重合),那么下列选项中,正确 的是() A.n1n2 B.n1n2 C.vn1l 2 D.vn1l 解析 v 为直线 l 的方向向量,n1,n2分别为平面,的法向量(,不重合), 则 n1n2,n1n2,vn1l,vn1l或 l. 因此 AB 正确. 答案 AB 4.若平面,的法向量分别为 a=(-1,2,4), b=(x,-1,-2),并且,则 x的值为() A.10 B.-10 C.1 2 D.-1 2 解析因为,所以它们的法向量也互相垂直, 所以 ab=(-1,2,4)(x,-1,-2)=0,
3、解得 x=-10. 答案 B 5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 A1C1的中点,则下列与直线 CE 垂直的是() A.直线 AC B.直线 B1D1 C.直线 A1D1 3 D.直线 A1A 解析如图,连接 AC,B1D1. 则点 E在 B1D1上, 点 C在平面 A1B1C1D1内的射影是 C1, CE 在平面 A1B1C1D1内的射影是 C1E, C1EB1D1, 由三垂线定理可得,CEB1D1; 在四边形 AA1C1C 中,C1CAC, 易得 AC 不可能和 CE 垂直; A1D1BC,A1AC1C,而 BC,C1C 明显与 CE 不垂直, A1D1,A1A 不可
4、能和 CE 垂直. 综上,选 B. 答案 B 6.已知直线 l 与平面垂直,直线 l 的一个方向向量 u=(1,-3,z),向量 v=(3,-2,1)与平面平行,则 z=. 解析由题知,uv,uv=3+6+z=0,z=-9. 答案-9 7.若? ? ?=?t? ?+?t? ?(,R),则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是 . 答案 AB平面 CDE 或 AB平面 CDE 4 8.若 A 0,2,19 8 ,B 1,-1,5 8 ,C -2,1,5 8 是平面内三点,设平面的法向量为 a=(x,y,z),则 xy z=. 解析由已知得,? ? ?= 1,-3,-7 4 , ? ? ?= -
5、2,-1,-7 4 , a 是平面的一个法向量, a? ? ?=0,a? ?=0, 即 ?-3?- 7 4? = 0, -2?-?- 7 4? = 0, 解得 ? = 2 3?, ? = - 4 3?, xyz=2 3yy -4 3y =23(-4). 答案 23(-4) 9.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为 1 的正方体,给出下列结论: 直线 DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线 BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面 ABB1A1的一个法 向量为(0,1,0);平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是.(填序号) 解析 DD1AA1,
6、?1 ?=(0,0,1),故正确;BC1AD1,?t1?=(0,1,1),故正确;直线 AD平 面 ABB1A1,?t ? ?=(0,1,0),故正确;点 C1的坐标为(1,1,1),?1?与平面 B1CD 不垂直,故错误. 答案 5 10.如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA底面 ABCD,且 SA=AB=BC=1,AD=1 2,建立适当的空间直角坐标系,求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量. 解以 A 为坐标原点,AD,AB,AS 所在直线分别为 x轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 则 A(0,0,0),D
7、1 2,0,0 ,C(1,1,0),S(0,0,1), 则t? ? ?= 1 2,1,0 ,t? ? ?= -1 2,0,1 , 向量?t ? ?= 1 2,0,0 是平面 SBA的一个法向量. 设 n=(x,y,z)为平面 SCD 的一个法向量, 则 ?t? ? ? = 1 2 ? + ? = 0, ?t? ? ? = - 1 2? + ? = 0, 即 ? = - 1 2 ?, ? = 1 2 ?. 取 x=2,得 y=-1,z=1, 故平面 SCD 的一个法向量为(2,-1,1). 11.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是 C1C,B1C1的中点.求证:MN
8、平面 A1BD. 6 证法一? ? = ?1 ? ? ?1? ? = 1 2 ?1?1 ? ? 1 2?1? ? =1 2(t1?1 ? ? t1t ?)=1 2t?1 ?, ? ? t?1 ?, MN平面 A1BD. 证法二如图,以 D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的 棱长为 1,则可求得 M 0,1, 1 2 ,N 1 2,1,1 ,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是 ? ? = 1 2,0, 1 2 ,t?1 ?=(1,0,1),t? ?=(1,1,0), 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z
9、), 则 nt?1 ?=0,且 nt? ?=0,得 ? + ? = 0, ? + ? = 0. 取 x=1,得 y=-1,z=-1.n=(1,-1,-1). 又? ?n= 1 2,0, 1 2 (1,-1,-1)=0, ? ?n,且 MN平面 A1BD. MN平面 A1BD. 7 证法三? ? = ?1 ? ? ?1? ? = 1 2t1?1 ? ? 1 2t1t ? =1 2(t? ? ? + ? ? ?)-1 2(t1?1 ? + ?1t ?) =1 2t? ? ? + 1 2? ? ? ? 1 2t1?1 ? ? 1 2?1t ? =1 2t? ? ? + 1 2t?1 ? + 1 2
10、(? ? ? ? t? ? ?) =1 2t? ? ? + 1 2 t?1 ? + 1 2 ?t ? ? = 1 2 t?1 ?. 即? ?可以用t?1?与t? ?线性表示, ? ?与t?1?,t? ?是共面向量, ? ?平面 A1BD,即 MN平面 A1BD. 12. 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,PA底面 ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E 是 PC 的 中点. 求证:(1)AECD; (2)PD平面 ABE. 证明(1)AB,AD,AP 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1). 8 ABC=60, A
11、BC 为正三角形. C 1 2, 3 2 ,0 ,E 1 4, 3 4 , 1 2 ,A(0,0,0). 设 D(0,y,0),? ? ?= 1 2, 3 2 ,0 ,?t ? ?= -1 2,y- 3 2 ,0 . 由 ACCD,得? ? ?t? ?=0, 即 y=2 3 3 ,则 D 0, 2 3 3 ,0 , ?t ? ? = - 1 2, 3 6 ,0 . 又?t ? ? = 1 4, 3 4 , 1 2 , ?t ? ?t? ?=-1 2 ? 1 4 + 3 6 ? 3 4 =0, ?t ? ? ?t ? ?,即 AECD. (2)证法一:? ? ?=(1,0,0),?t? ? =
12、1 4, 3 4 , 1 2 , 设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则 ? = 0, 1 4? + 3 4 ? + 1 2? = 0, 令 y=2,则 z=- 3,n=(0,2,- 3). ?t ? ? = 0, 2 3 3 ,-1 ,显然?t ? ? = 3 3 n. ?t ? ?n,?t? ?平面 ABE,即 PD平面 ABE. 证法二:P(0,0,1), 9 ?t ? ? = 0, 2 3 3 ,-1 . 又?t ? ?t? ? = 3 4 ? 2 3 3 + 1 2(-1)=0, ?t ? ? ?t ? ?,即 PDAE. 又? ? ?=(1,0,0),?t? ?
13、?=0, PDAB.又 ABAE=A, PD平面 ABE. 能力提升练 1.已知平面内两向量 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且 c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 为平面的法向量,则 m,n 的值分 别为() A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 解析 c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 由 c 为平面的法向量,得 ? = 0, ? = 0, 即 3? + ? + 1 = 0, ? + 5?-9 = 0, 解得 ? = -1, ? = 2. 答案 A 2.已知直线 l
14、 的方向向量为 a,且直线 l 不在平面内,平面内两共点向量? ? ?,? ?,下列关系中一定能表 示 l的是() A.a=? ? ? B.a=k? ? ? 10 C.a=p? ? ?+? ? D.以上均不能 解析 A,B,C 中均能推出 l,或 l,但不能确定一定能表示为 l. 答案 D 3.如图,AO平面,垂足为点 O,BC平面,BCOB,若ABO=45,COB=30,则BAC 的余弦值 为() A. 7 7 B. 42 7 C. 6 6 D. 6 解析AO平面,BC平面,BCOB, 由三垂线定理可得,ABBC, 设 OB=2. ABO=45,COB=30, AO=2,AB=2 2,BC=
15、2 3 3 , 在 RtABC 中,AB=2 2,BC=2 3 3 ,ABC=90, AC= (2 2)2+ ( 2 3 3 ) 2 = 2 21 3 . cosBAC=AB AC = 2 2 2 21 3 = 42 7 . 故选 B. 11 答案 B 4.(多选)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E=2 3A1D,AF= 1 3AC,则以下结论不正 确的有() A.EF 至多与 A1D,AC 中的一个垂直 B.EFA1D,EFAC C.EF 与 BD1相交 D.EF 与 BD1异面 解析以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1所在直线为
16、x 轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系 Dxyz,设正 方体的棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E 1 3,0, 1 3 ,F 2 3, 1 3,0 ,B(1,1,0),D1(0,0,1), ?1t ?=(-1,0,-1),? ?=(-1,1,0), tR ? ?= 1 3, 1 3,- 1 3 ,?t1 ?=(-1,-1,1), tR ? ?=-1 3?t1 ?,?1t?tR? ?=0,? ?tR? ?=0, 从而 EFBD1,EFA1D,EFAC. 答案 ACD 5. 12 如图,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,E
17、是 CD 的中点,F是 AD 上一点,当 BFPE 时,AF FD 的比值为() A.12B.11C.31D.21 解析以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 设正方形边长为 1,PA=a, 则 B(1,0,0),E 1 2,1,0 ,P(0,0,a). 设点 F的坐标为(0,y,0), 则?R ? ?=(-1,y,0),?t? ?= 1 2,1,-a . 因为 BFPE,所以?R ? ?t? ?=0, 解得 y=1 2,即点 F 的坐标为 0, 1 2,0 , 所以 F为 AD 的中点,所以 AFFD=11. 答案
18、 B 6.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知平面的一个法向量是 n=(1,-1,2),且平面过点 A(0,3,1).若 P(x,y,z) 是平面上任意一点,则点 P的坐标满足的方程是. 解析由题意知? ? ?n=0,且? ?=(x,y-3,z-1),则(x,y-3,z-1)(1,-1,2)=0. 化简得,x-y+2z+1=0. 答案 x-y+2z+1=0 13 7.在ABC 中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量 n 与平面 ABC 垂直,且|n|= 21,则 n 的坐标 为. 解析据题意,得? ? ?=(-1,-1,2),? ?=(1,0,2). 设 n=
19、(x,y,z),n 与平面 ABC 垂直, ? ? ? = 0, ? ? ? = 0, 即 -?-? + 2? = 0, ? + 2? = 0, 可得 ? = - ? 2, ? = ? 4. |n|= 21,?2+ ?2+ ?2=21, 解得 y=4 或 y=-4. 当 y=4 时,x=-2,z=1;当 y=-4 时,x=2,z=-1. n 的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1). 答案(-2,4,1)或(2,-4,-1) 8.如图所示,ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,PA=AD,M,N,Q 分别是 PC,AB,CD 的中点. 求证:(1)MN平面 PAD; (2)平面 QMN平面
20、 PAD. 证明(1)如图,以 A 为原点,以 AB,AD,AP 所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系, 设 B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则 C(b,d,0), 14 因为 M,N,Q分别是 PC,AB,CD 的中点, 所以 M ? 2, ? 2 , ? 2 ,N ? 2,0,0 ,Q ? 2,d,0 , 所以? ?= 0,-? 2,- ? 2 .因为平面 PAD 的一个法向量为 m=(1,0,0), 且? ?m=0,即?m.又 MN 不在平面 PAD 内,故 MN平面 PAD. (2)因为? ? ?=(0,-d,0), 所以? ? ?m=0,即? ?m, 又
21、QN 不在平面 PAD 内,所以 QN平面 PAD. 又因为 MNQN=N,所以平面 MNQ平面 PAD. 9.如图所示,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形,O为底面中心,A1O平面 ABCD,AB=AA1= 2. 证明:A1C平面 BB1D1D. 证明由题设易知 OA,OB,OA1两两垂直,以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示, AB=AA1= 2, OA=OB=OA1=1, A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1). ?1? ?=(-1,0,-1),?t? ?=(0,-2,0), 15 ?1 ? =
22、?1 ?=(-1,0,1),?1?t? ?=0,?1?1?=0, A1CBD,A1CBB1,又 BDBB1=B, A1C平面 BB1D1D. 素养培优练 1.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,过动点 P(1,2),法向 量为 n=(-2,3)的直线的点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)=0,化简得 2x-3y+4=0,类比上述方法,在空间直角 坐标系中,经过点 P(1,2,-1),且法向量为 n=(-2,3,1)的平面的点法式方程应为() A.2x-3y+z+5=0 B.2x-3y-z+3=0 C.2x+3y+z-7=0 D.2x+3y-z-9=0 解析
23、通过类比,易得点法式方程为 -2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0, 整理可得 2x-3y-z+3=0,故选 B. 答案 B 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别为棱 BB1和 DD1的中点. (1)求证:平面 B1FC1平面 ADE; (2)试在棱 DC 上求一点 M,使 D1M平面 ADE. 16 (1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,则 A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C1(0,2,2),B1(2,2,2). 则?t ? ?=(0,2,1),t? ?=(2,0,0),R?1?=(0,2,1),?1?1?=(2,0,0), ?t ? ? = R?1 ?,t? ? = ?1?1 ?. 可得 AD平面 FB1C1,AE平面 FB1C1. 又 ADAE=A, 平面 ADE平面 FB1C1. (2)解 M 应为 DC 的中点.M(0,1,0),D1(0,0,2), 则t1? ?=(0,1,-2),tt? ?=(2,2,1),?t? ?=(-2,0,0). t1? ?tt? ?=0,t1?t? ?=0, D1MDE,D1MAD. AD,DE平面 ADE,ADDE=D, D1M平面 ADE.
