1、1 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量空间中的点、直线与空间向量 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知 l1的方向向量为 v1=(1,2,3),l2的方向向量为 v2=(,4,6),若 l1l2,则等于() A.1B.2C.3D.4 解析由 l1l2,得 v1v2,得1 ? ? 2 4 ? 3 6,故=2. 答案 B 2.若 a=(1,2),b=(2,-1,2),且 a 与 b 夹角的余弦值为8 9,则=( ) A.2B.-2 C.-2 或 2 55 D.2 或- 2 55 解析 ab=2-+4=6-, |a|= 5 + ?2,|b|=3. cos= ? |
2、?|?| ? 6-? 5+?23 ? 8 9. 552+108-4=0,解得=-2 或= 2 55. 答案 C 2 3.若异面直线 l1,l2的方向向量分别是 a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线 l1与 l2的夹角的余弦值等于 () A.-2 5 B.2 5 C.-2 5 5 D.2 5 5 解析 ab=-4,|a|= 5,|b|=2 5, cos =|cos|= ? |?|?| ? -4 10 ? 2 5. 答案 B 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若 E 为 A1C1的中点,则直线 CE 垂直于() A.BDB.AC C.A1DD.A1A 解析以 D 为坐标
3、原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方 体的棱长为 1.则 C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E 1 2, 1 2,1 , ?t ? ?= 1 2,- 1 2,1 ,? ? ?=(-1,1,0), ? ? ?=(-1,-1,0),?1?=(-1,0,-1),?1?=(0,0,-1), ?t ? ? ?=(-1)1 2+(-1) - 1 2 +01=0, ?t ? ? ?=-10,?t? ?1?=-3 20,?t ? ?1?=-10, CEBD. 3 答案 A
4、 5.直线 l1与 l2的方向向量分别为 a1,a2,若 a1a2,则 l1与 l2的位置关系为. 答案垂直 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=EO.求异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值. 解不妨设正方体的棱长为 1,以? ? ?,? ?,?1?为单位正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz,如图所示, 则 A(1,0,0),O 1 2, 1 2,0 ,C(0,1,0),D1(0,0,1),E 1 4, 1 4, 1 2 ,于是?t ? ?= 1 4, 1 4, 1 2 ,?1 ?=(0,-1,1), 且|?t ? ?|
5、= 6 4 ,|?1 ?|= 2, 则 cos= ?t ?1? |?t ?|?1? | ? 3 6 . 所以异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值为 3 6 . 4 7.已知圆柱的底面半径为 3,高为 4,A,B 两点分别在两底面圆周上,并且 AB=5,求异面直线 AB 与轴 OO之间的距离. 解如图,直线 AB 与轴 OO之间的距离等于轴 OO与平面 ABC 的距离,由图形可知,直线 AB 与轴 OO 之间的距离等于点 O到 BC 的距离,AB=5,AC=4,且 ACBC,BC= 52-42=3,异面直线 AB 与轴 OO之间的距离为3 3 2 . 能力提升练 1.已知直线 l1的方向向量
6、 a=(2,-3,5),直线 l2的方向向量 b=(-4,x,y),若两直线 l1l2,则 x,y的值分别是 () A.6 和-10 B.-6 和 10 C.-6 和-10 D.6 和 10 解析由两直线 l1l2,得两向量 a,b 平行,即 2 -4 ? -3 ? ? 5 ?,所以 x,y 的值分别是 6 和-10. 答案 A 2. 5 如图,S 是正三角形 ABC 所在平面外一点,M,N 分别是 AB 和 SC 的中点,SA=SB=SC,且ASB=BSC= CSA=90,则异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为() A. 10 5 B.- 10 5 C.- 10 10 D. 10 10
7、 解析不妨设 SA=SB=SC=1,以 S 为坐标原点,? ? ?,? ?,? ?所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐 标系 Sxyz, 则相关各点坐标为 B(0,1,0),S(0,0,0),M 1 2, 1 2,0 ,N 0,0, 1 2 . 因为?t ? ?= 1 2, 1 2,0 ,? ? ?= 0,-1,1 2 , 所以|?t ? ?|= 2 2 ,|? ? ?|= 5 2 ,?t ? ? ?=-1 2, cos= ?t ? |?t ?|? | =- 10 5 , 因为异面直线所成的角为锐角或直角, 所以异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为 10 5 . 答案
8、A 6 3.如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA平面 ABC,ABBC,且 SA=AB=BC=1,则异面直线 SB 与 AC 之间的距 离为. 解析构造如图所示正方体.取 AB 的中点 O,连接 OD 交 AC 于点 E,连接 OM 交 SB 于点 F,由平面几何 知识可知,OF=1 3OM,OE= 1 3OD,所以 EF 1 3DM.又因为 ACBD,ACBM, 所以 AC平面 BDM,ACDM,因为 EF1 3DM,所以 ACEF. 同理可证 SBDM,所以 SBEF. 所以 EF 是异面直线 AC 和 SB 的公垂线段.所以 EF=1 3DM= 3 3 . 答案 3 3 4. 如图是正四
9、面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中,GH与 EF 平行;BD 与 MN 为异面直线;GH 与 MN 成 60角;DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是. 7 解析还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60角,DE 与 MN 为异面垂直. 答案 5. 如图,在四面体 ABOC 中,OCOA,OCOB,AOB=120,且 OA=OB=OC=1,设 P 为 AC 的中点,Q在 AB 上且 AB=3AQ,证明:PQOA. 证明 如图,连接 OP,OQ,PQ,取 O 为坐标原
10、点,过点 O 作 ODOA,以 OA,OD,OC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 Oxyz(如图所示). 则 A(1,0,0),C(0,0,1),B -1 2, 3 2 ,0 . P 为 AC 中点,P 1 2,0, 1 2 . ? ? ?= -3 2, 3 2 ,0 , 又由已知,可得?t ? ? ? 1 3? ? ?= -1 2, 3 6 ,0 . 8 又?t ? ? ? ? ? ? + ?t ? ?= 1 2, 3 6 ,0 , ?t ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ?= 0, 3 6 ,-1 2 . ?t ? ? ?=0,?t? ? ? ? ?,即 PQ
11、OA. 6. 如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1的底面ABC 中,CA=CB=1,BCA=90,棱 AA1=2,M,N分别为 A1B1,A1A 的中点. (1)求 cos的值; (2)求证:BN平面 C1MN. 解以 C 为原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立坐标系 Cxyz. (1)依题意得 A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2), ?1 ?=(1,-1,2),?1?=(0,1,2), ?1 ?1?=10+(-1)1+22=3,|?1?|= 6,|?1?|= 5, cos= ?1 ?1? |?1 ?|?
12、1? | ? 30 10 . (2)证明:依题意得 C1(0,0,2),N(1,0,1), 9 M 1 2 , 1 2 ,2 ,C1M ? ? 1 2, 1 2 ,0 ,C1N ?=(1,0,-1),BN? ?=(1,-1,1), C1M ?BN? ? ? 1 21+ 1 2(-1)+10=0, C1N ?BN? ?=11+0(-1)+(-1)1=0, C1M ? BN ? ?,C1N? BN ? ?, BNC1M,BNC1N,且 C1M平面 C1MN,C1N平面 C1MN,C1MC1N=C1,BN平面 C1MN. 素养培优练 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,求 A1B 与 D1B1的距离. 解在 A1B 上任取一点 M,作 MPA1B1,PNB1D1,则 MNB1D1,只要求出 MN 的最小值即可.设 A1M=x,则 MP= 2 2 x,A1P= 2 2 x.所以 PB1=a- 2 2 x,PN= a- 2 2 x sin 45=1 2( 2a-x),MN= ?t 2+ ?2 = 2 2 3 2(x- 2 3 a) 2+2 3 a2. 当 x= 2 3 a 时,MNmin= 3 3 a. 因此 A1B 与 D1B1的距离为 3 3 a.
