1、1 2.2.3两条直线的位置关系两条直线的位置关系 课后篇巩固提升 基础达标练 1.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么 a 等于() A.-3B.-6 C.-3 2 D.2 3 答案 B 2.下列四组直线中,互相垂直的一组是() A.2x+y-1=0 与 2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 与 x-2y+1=0 C.x+2y-1=0 与 x-y-1=0 D.x+y=0 与 x+y-3=0 解析对于 A,2x+y-1=0 与 2x-y-1=0,有 22+1(-1)0,两直线不垂直,不符合题意; 对于 B,2x+y-1=0 与 x-2y+1=0,有 21+1(-
2、2)=0,两直线垂直,符合题意; 对于 C,x+2y-1=0 与 x-y-1=0,有 11+2(-1)0,两直线不垂直,不符合题意; 对于 D,x+y=0 与 x+y-3=0,两直线平行,不符合题意. 故选 B. 答案 B 3.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是() 2 A.4x+2y=5B.4x-2y=5 C.x+2y=5D.x-2y=5 解析可以先求出 AB 的中点坐标为 2, 3 2 ,又直线 AB 的斜率 k=1-2 3-1=- 1 2,则线段 AB 的垂直平分线的斜 率为 2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为 y-3 2=2(x-2),即
3、4x-2y=5. 答案 B 4.已知 A(7,-4)关于直线 l的对称点为 B(-5,6),则直线 l 的方程是() A.5x+6y-11=0B.5x-6y+1=0 C.6x+5y-11=0D.6x-5y-1=0 答案 D 5.已知 l 平行于直线 3x+4y-5=0,且 l 和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是 24,则直线 l 的方程是() A.3x+4y-12 2=0B.3x+4y+12 2=0 C.3x+4y-24=0D.3x+4y+24=0 解析设直线 l 的方程是 3x+4y-c=0,c0,由题意,知1 2 ? ? 3 ? ? 4=24,所以 c=24. 答案 C 6.已知
4、在平行四边形 ABCD 中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点 D的坐标为. 解析设 D(x,y),由题意可知,ABCD,且 ADBC. 所以 kAB=kCD,且 kAD=kBC, 所以 3-1 -2-1 = ?+4 ? , -4-3 0+2 = ?-1 ?-1 , 解得 ? = 3, ? = -6. 所以点 D 的坐标为(3,-6). 3 答案(3,-6) 7.若经过点(m,3)和(2,m)的直线 l与斜率为-4 的直线互相垂直,则 m 的值是. 解析由题意可知 kl=1 4,又因为 kl= ?-3 2-?, 所以?-3 2-? = 1 4,解得 m= 14 5 . 答案14
5、 5 8.直线 l1,l2的斜率 k1,k2是关于 k 的方程 2k2-4k+m=0 的两根,若 l1l2,则 m=;若 l1l2,则 m=. 解析由一元二次方程根与系数的关系得 k1k2=? 2, 若 l1l2,则? 2=-1,m=-2. 若 l1l2,则 k1=k2,即关于 k 的二次方程 2k2-4k+m=0 有两个相等的实根, =(-4)2-42m=0,m=2. 答案-22 9.已知ABC 的三个顶点 A(1,1),B(4,0),C(3,2),求 BC 边上的高所在的直线方程及高的长度. 解设 BC 边上的高为 AD,因为 kBC=2-0 3-4=-2,ADBC,所以直线 AD 的斜率
6、 kAD= 1 2. 所以 BC 边上的高 AD 所在的直线方程为 y-1=1 2(x-1),即 x-2y+1=0. 又直线 BC 的方程为?-2 0-2 = ?-3 4-3, 即 2x+y-8=0. 联立直线 AD 与 BC 的方程得 ?-2? + 1 = 0, 2? + ?-8 = 0, 解得 ? = 3, ? = 2,即点 D 的坐标为(3,2). 4 因此,高 AD 的长|AD|= (3-1)2+ (2-1)2=5, 所以 BC 边上的高的长度为 5. 10. 如图,P是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点(不含端点),四边形 PECF 是矩形.证明:PAEF. 证明如图,以 B为
7、原点,以 BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,设正方形的边长为 1,则 P 点坐标 为(x,x)(0 x1), 则 A(0,1),E(1,x),F(x,0), kPA=1-? 0-? = ?-1 ? ,kEF= ? 1-?, 所以 kPAkEF=-1. 所以 PAEF. 能力提升练 1.已知直线 l1:xsin +y-1=0,直线 l2:x-3ycos +1=0.若 l1l2,则 sin 2=() A.3 5 B.-3 5 C.2 3 D.-2 3 解析l1l2,sin -3cos =0,即 tan =3. sin 2=2sin cos = 2sin?cos? sin2?+cos2?
8、= 2tan? 1+tan2? = 6 10 = 3 5. 5 答案 A 2.将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次,使得点 A(0,2)与点 B(4,0)重合,若此时点 C(7,3)与点 D(m,n)也重合,则 m+n 的值为() A.34 5 B.33 5 C.32 5 D.31 5 解析根据题意不妨设点 A 与点 B 关于直线 l对称,则点 C 与点 D 也关于直线 l对称. 易知 kAB=-1 2,所以直线 l 的斜率为 2,又易知 AB 的中点坐标为(2,1),则直线 l 的方程为 y-1=2(x-2), 即 y=2x-3,因为 CD 中点 7+? 2 , 3+? 2 在直线 l 上
9、,且 kCD=-1 2,所以可列方程组为 ?-3 ?-7 = - 1 2 , 3+? 2 = 7 + ?-3, 解得 ? = 3 5, ? = 31 5 , 所以 m+n=34 5 . 答案 A 3.已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB 为直角三角形,则必有() A.b=a3 B.b=a3+1 ? C.(b-a3) ?-?3- 1 ? =0 D.|b-a3|+ ?-?3- 1 ? =0 解析若 O 为直角顶点,则 B 在 x 轴上,则 a 必为 0,此时 O,B 重合,不符合题意; 若 A 为直角顶点,则 b=a30; 若 B 为直角顶点,根据斜率关系可知 a2? 3-
10、? ? =-1(a0),所以 a(a3-b)=-1,即 b-a3-1 ?=0. 以上两种情况皆有可能,故只有 C 满足条件. 6 答案 C 4.已知直线 l 的倾斜角为3 4,直线 l1经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l1与 l 垂直,直线 l2:4x+by+1=0 与直线 l1平 行,则 a+b等于. 解析因为直线 l 的倾斜角为3 4, 所以直线 l 的斜率 k=-1. 又 l1与 l 垂直,所以直线 l1的斜率 k1=-1 ?=1, 即2+1 3-?=1,解得 a=0,且 l2与 l1平行,则 k2=- 4 ?=k1=1,所以 b=-4,故 a+b=-4. 答案-4 5.若点
11、P(a,b)与点 Q(b-1,a+1)关于直线 l对称,则直线 l 的倾斜角为. 解析由 kPQ=(?+1)-? (?-1)-? = ?-?+1 ?-?-1=-1, 由题意知 PQl,则 kPQkl=-1,得 kl=1, 直线 l 的倾斜角为 45. 答案 45 6.已知直线 l1经过点 A(3,a),B(a-2,3),直线 l2经过点 C(2,3),D(-1,a-2),若 l1l2,求 a 的值. 解由题意知直线 l2的斜率 k2一定存在,直线 l1的斜率可能不存在. 当直线 l1的斜率不存在时,3=a-2,即 a=5,此时 k2=0, 则 l1l2,满足题意. 当直线 l1的斜率 k1存在
12、时,a5,由斜率公式,得 k1= 3-? ?-2-3 = 3-? ?-5,k2= ?-2-3 -1-2 = ?-5 -3 . 由 l1l2,知 k1k2=-1, 7 即3-? ?-5 ? ?-5 -3 =-1,解得 a=0. 综上所述,a 的值为 0 或 5. 7.若三条直线 2x-y+4=0,x-y+5=0 和 2mx-3y+12=0 围成直角三角形,则 m=. 解析设 l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于 l2,要使围成的三角形为直角三角形,则 l3 l1或 l3l2. 由 l3l1,得 22 3m=-1,m=- 3 4; 由 l3l2,
13、得 12 3m=-1,m=- 3 2. 故 m=-3 4或- 3 2. 答案-3 4或- 3 2 8.求经过点 A(2,1)且与直线 2x+ay-10=0 垂直的直线 l 的方程. 解(方法一)当 a=0 时,已知直线化为 x=5,此时直线斜率不存在,则所求直线 l 的斜率为 0,因为直线 l 过点 A(2,1),所以直线 l的方程为 y-1=0(x-2),即 y=1. 当 a0 时,已知直线 2x+ay-10=0 的斜率为-2 ?,因为直线 l 与已知直线垂直,设直线 l 的斜率为 k, 所以 k - 2 ? =-1,所以 k=? 2. 因为直线 l 过点 A(2,1), 所以所求直线 l
14、的方程为 y-1=? 2(x-2), 即 ax-2y-2a+2=0. 所求直线 l 的方程为 y=1 或 ax-2y-2a+2=0. 又 y=1 是 ax-2y-2a+2=0 的一个特例, 8 故所求直线 l 的方程为 ax-2y-2a+2=0. (方法二)根据与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线方程可设为 Bx-Ay+m=0. 因此根据题意可设所求方程为 ax-2y+m=0, 又因为该直线过点 A(2,1), 所以 2a-2+m=0,即 m=2-2a. 所以所求方程为 ax-2y-2a+2=0. 9. 如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB
15、|=3 m,其中一 条小路定为 AC,另一条小路过点 D,如何在 BC 上找到一点 M,使得 AC 与 DM 两条小路互相垂直? 解如图所示,以点 B为原点,分别以 BC,BA 所在直线为 x轴、y 轴建立平面直角坐标系,单位:m. 由|AD|=5 m,|AB|=3 m 得 C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点 M 的坐标为(x,0),ACDM, kACkDM=-1,即3-0 0-5 3-0 5-?=-1,解得 x= 16 5 . 故当|BM|=3.2 m时,两条小路 AC 与 DM 互相垂直. 素养培优练 1.已知 P(2,3)是两条直线 l1:a1x+b1y+1=0 与 l2:
16、a2x+b2y+1=0 的交点,试求过 A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直 线方程. 9 解(方法一)因为 P(2,3)是两条直线的交点, 所以 2?1+ 3?1+ 1 = 0, 2?2+ 3?2+ 1 = 0,两式相减, 得 2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即?1-?2 ?1-?2=- 2 3. 所以直线 AB 的斜率 k=?1-?2 ?1-?2=- 2 3. 故所求直线的方程为 y-b1=?1-?2 ?1-?2(x-a1)=- 2 3(x-a1).所以 2x+3y-(3b1+2a1)=0. 又 2a1+3b1=-1,所以 2x+3y+1=0. 故过 A(a1,b1),B(a
17、2,b2)两点的直线的方程为 2x+3y+1=0. (方法二)由两直线过 P(2,3)知 2?1+ 3?1+ 1 = 0, 2?2+ 3?2+ 1 = 0. 由上述方程组可知点 A(a1,b1)与 B(a2,b2)在直线 2x+3y+1=0 上.故过 A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线 方程为 2x+3y+1=0. 2.已知点 A(4,-1)和点 B(8,2)均在直线 l:x-y-1=0 的同侧,动点 P(x,y)在直线 l 上,求|PA|+|PB|的最小值. 解如图所示,设点 A1与 A 关于直线 l 对称,P0为 A1B 与直线 l 的交点,所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|. 在A1PB 中,|PA1|+|PB|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|,因此当 P 点运动到 P0点处 时,|PA|+|PB|取到最小值|A1B|. 设 A 关于直线 l 的对称点 A1(x1,y1), 则 ?1+1 ?1-4 1 = -1, ?1+4 2 - ?1-1 2 -1 = 0, 解得 ?1= 0, ?1= 3, 10 所以 A1(0,3). 所以(|PA|+|PB|)min=|A1B|= 82+ 12=65.
