1、1 2.7.2抛物线的几何性质抛物线的几何性质 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若抛物线 y2=4x 上一点 P 到 x 轴的距离为 2 3,则点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为() A.4B.5C.6D.7 解析由题意,知抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1, 抛物线 y2=4x上一点 P 到 x 轴的距离为 2 3, 则 P(3,2 3), 点 P到抛物线的准线的距离为 3+1=4, 点 P到抛物线的焦点 F 的距离为 4.故选 A. 答案 A 2.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与
2、抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析直线 y=kx-k=k(x-1), 直线过点(1,0), 又点(1,0)在抛物线 y2=2px 的内部, 当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点;当 k0 时,直线与抛物线有两个公共点. 2 答案 C 3.若抛物线 y2=2x 上有两点 A,B,且 AB 垂直于 x 轴,若|AB|=2 2,则点 A 到抛物线的准线的距离为 () A.1 2 B.3 2 C.2D.5 2 解析由抛物线 y2=2x,其准线方程为 x=-1 2, AB 垂直于 x 轴,|AB|=2 2, A 到 y 轴的距离为 2,假设 A 在 y 轴上侧,即 y=
3、2, 代入抛物线 y2=2x,求得 x=1, 点 A 到抛物线的准线的距离 d=1+1 2 ? 3 2. 答案 B 4.P 为抛物线 y2=2px 的焦点弦 AB 的中点,A,B,P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则 有() A.|PP1|=|AA1|+|BB1| B.|PP1|=1 2|AB| C.|PP1|1 2|AB| D.|PP1|0)的焦点为 F,其准线与双曲线? 2 3 ? ?2 3 =1 相交于 A,B 两点,若ABF 为等边三角形, 则 p=. 解析抛物线的焦点坐标 F 0, ? 2 ,准线方程为 y=-? 2.将 y=- ? 2代入 ?2 3
4、 ? ?2 3 =1 得|x|= 3 + ?2 4 . 4 要使ABF 为等边三角形,则 tan 6 ? |?| ? ? 3+?2 4 ? ? 3 3 ,解得 p2=36,p=6. 答案 6 8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 y轴的交点,A 为抛物线上一点,且 |AM|= 17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程. 解设所求抛物线的标准方程为 x2=2py(p0), 设 A(x0,y0),由题意知 M 0,- ? 2 , |AF|=3,y0+? 2=3, |AM|= 17,?0 2 + ?0+ ? 2 2=17, ?0 2=8,代入方程? 0 2=2py0得, 8=
5、2p 3- ? 2 ,解得 p=2 或 p=4. 所求抛物线的标准方程为 x2=4y或 x2=8y. 9.已知抛物线 y2=2px(p0)的准线方程为 x=-1. (1)求 p 的值; (2)直线 l:y=x-1 交抛物线于 A,B 两点,求弦长|AB|. 解(1)由抛物线 y2=2px(p0)的准线方程为 x=-1,得-? 2=-1,所以 p=2. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 ? ? ?-1, ?2? 4? 消去 y,得 x2-6x+1=0,则 x1+x2=6,x1x2=1, 所以|AB|= (?1-?2)2+ (?1-?2)2 = 2 (?1-?2)2?2 (?1+
6、?2)2-4?1?2 = 2 ?32=8. 5 能力提升练 1.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 和准线 l,过点 F 的直线交 l 于点 A,与抛物线的一个交点为 B,且 ? ? ?=3? ?,则|AB|=( ) A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.16 3 解析抛物线 C:y2=4x 的焦点 F(1,0)和准线 l:x=-1,设 A(-1,a),B(m,n),? ? ?=3? ?,?+1 2 ? 2 3, m+1=4 3,AB= 8 3. 答案 C 2.抛物线 y2=2x 的焦点为 F,则经过点 F 与点 M(2,2)且与抛物线的准线 l 相切的圆有() A.1 个B.2 个 C
7、.0 个D.无数个 解析因为点 M(2,2)在抛物线 y2=2x 上,又焦点 F 1 2 ,0 ,由抛物线的定义知,过点 F,M 且与 l 相切的圆的 圆心即为线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有 2 个,故过点 F,M 且与 l 相切的圆 有 2 个. 答案 B 3.已知拋物线 y2=8x 的焦点为 F,过点 F 的直线与该抛物线交于 A,B 两点,且 16|AB|24,O 为坐标 原点,记直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,则 1 ?1 + 1 ?2的取值范围是( ) A.-2,- 2 2,2B.- 2,-11, 2 C.-2,-11,2D.- 2, 2 解析对于
8、一般的抛物线方程 y2=2px,设过焦点的直线方程为 x=my+? 2, 与抛物线方程联立可得 y2-2pmy-p2=0, 6 设 A ?1 2 2?,?1 ,B ?2 2 2?,?2 ,故 y1+y2=2pm, 则 1 ?1 + 1 ?2 ? ?1 2 2? 1 ?1 + ?2 2 2? 1 ?2 ? 2? 2? =m=1 ?, 其中 k为直线 AB 的斜率,设 AB 所在直线的倾斜角为,由抛物线的焦点弦公式可知|AB|= 2? sin2? ? 8 sin2?16,24,则 sin 2 1 3, 1 2 ,tan2= 1 cos2?-1= 1 1 sin2?-1 1 2,1 ,故 1 ?1
9、+ 1 ?2 2 1,2, 所以 1 ?1 + 1 ?2的取值范围是- 2,-11, 2. 答案 B 4.已知 M,N 是过抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 的交点,O 是坐标原点,且满足 ? ? ?=3? ?,SOMN= 3|MN|,则 p 的值为 . 解析不妨设直线 MN 的斜率 k0,过 M,N 作抛物线准线的垂线,垂足分别为 G,H, 过 N 作 NKMG 于 K,由? ? ?=3? ?,得|MF|=3|FN|,|MG|=3|NH|, |MK|=2|NH|=2|NF|=1 2|MN|, |NK|= |?|2-|?|2? 3 2 |MN|, 由 SOM
10、N=SOMF+SONF=1 2|OF|NK|= 3 8 p|MN|,又 SOMN= 3|MN|, 3 8 p|MN|= 3|MN|,得 p=8. 7 答案 8 5. 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今 有抛物线 y2=2px(p0),如图,一平行 x 轴的光线射向抛物线上的点 P,反射后又射向抛物线上的点 Q, 再反射后又沿平行 x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为 3,则抛物线的方程为. 解析由抛物线的光学性质可得,PQ 必过抛物线的焦点 F ? 2,0 . 当直线 PQ 斜率不存在时,易得|PQ|=2p; 当直线 PQ 斜率存在时
11、,设 PQ 的方程为 y=k ?- ? 2 ,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立 ? ? ? ?- ? 2 , ?2? 2?, 得 k2?2-? + ?2 4 =2px, 整理得 4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0, 所以 x1+x2=p+2? ?2,x1x2= ?2 4 . 所以|PQ|=x1+x2+p=2p 1 + 1 ?2 2p. 综上,当直线 PQ 与 x 轴垂直时,弦长最短, 又因为两平行光线间的最小距离为 3,故 2p=3, 抛物线方程为 y2=3x. 答案 y2=3x 6. 8 如图所示,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求
12、实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 解(1)由 ? ? ? + ?, ?2? 4?, 得 x2-4x-4b=0. 因为直线 l 与抛物线 C 相切, 所以=(-4)2-4(-4b)=0,解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1, 故方程即为 x2-4x+4=0,解得 x=2. 将其代入 x2=4y,得 y=1.故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离, 即 r=|1-(-1)|=2, 所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 7. 如图,已
13、知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线 AF,BF 分别与抛物线交于点 M,N. 9 (1)求 y1y2的值; (2)连接 MN,记直线 MN 的斜率为 k1,直线 AB 的斜率为 k2,证明:?1 ?2为定值. (1)解依题意,设 AB 的方程为 x=my+2, 代入 y2=4x,得 y2-4my-8=0,从而 y1y2=-8. (2)证明设 M(x3,y3),N(x4,y4), ?1 ?2 ? ?3-?4 ?3-?4 ? ?1-?2 ?1-?2 ? ?3-?4 ?3 2 4 - ?4 2 4 ? ?1 2 4 -
14、 ?2 2 4 ?1-?2 ? ?1+?2 ?3+?4,设直线 AM 的方程为 x=ny+1, 代入 y2=4x,消去 x 得 y2-4ny-4=0, 所以 y1y3=-4,同理 y2y4=-4, ?1 ?2 ? ?1+?2 ?3+?4 ? ?1+?2 -4 ?1+ -4 ?2 ? ?1?2 -4 , 由(1)知 y1y2=-8,所以?1 ?2=2 为定值. 素养培优练 1.已知抛物线 y2=16x 的焦点为 F,过点 F 作直线 l交抛物线于 M,N 两点,则|?| 9 ? 4 |?|的最小值为( ) A.2 3 B.-2 3 C.-1 3 D.1 3 解析抛物线 y2=16x 的焦点为 F
15、,则 F(4,0), 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x=4, 由 ?2? 16?, ? ? 4, 可得 M(4,8),N(4,-8), |MF|=|NF|=8,|?| 9 ? 4 |?| ? 7 18. 10 当直线 l 的斜率存在时,设过点 F 的直线 l 的方程为 y=k(x-4),不妨设 M(x1,y1),N(x2,y2), 由 ?2? 16?, ? ? ?(?-4),消 y 可得 k 2x-(16+8k2)x+16k2=0,x1+x2=8+16 ?2,x1x2=16, |MF|=x1+? 2=x1+4,|NF|=x2+ ? 2=x2+4, 1 |?| + 1 |?| ? ?
16、1+?2+8 4(?1+?2)+?1?2+16 ? 16+16 ?2 32+64 ?2+16+16 ? 1 4. |?| 9 ? 4 |?| ? |?| 9 + 4 |?|-12 |?| 9 4 |?|-1= 1 3, 当且仅当|NF|=6 时取等号. 故|?| 9 ? 4 |?|的最小值为 1 3. 答案 D 2.(多选)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过点 F 的直线与抛物线交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点, 点 P 在 l 上的射影为 P1,则下列结论中正确的是() A.若 x1+x2=6,则|PQ|=8 B.以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C.设
17、 M(0,1),则|PM|+|PP1| 2 D.过点 M(0,1)与抛物线 C 有且只有一个公共点的直线至多有 2 条 解析若直线的斜率存在,设 y=k(x-1), 由 ? ? ?(?-1), ?2? 4?, 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, x1+x2=2? 2+4 ?2 ,x1x2=1. 对于 A,若 x1+x2=6,则 k2=1,故 k=1 或-1,|PQ|= 1 + 1 (?1+ ?2)2-4?1?2?24 2=8,故 A 成立; 对于 B,取 PQ 点中点 N,N 在 l 上的投影为 N,Q在 l上的投影为 Q,根据抛物线的定 义,|PP1|=|PF|,|QQ|=|QF|,NN为梯形的中位线,故|NN|=1 2(|PP1|+|QQ|)= 1 2|PQ|,故 B成立; 对于 C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|MF|= 2,故 C 成立; 11 对于 D,过 M(0,1)且与抛物线相切的直线有 2 条,过 M(0,1)且与 x 轴平行的直线与抛物线相交且 有一个交点,所以至多有三条,故 D 不成立. 答案 ABC
