1、1 课时分层作业(五)空间中的平面与空 间向量 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1设 A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM n0 的点 M 构成的图形是() A圆B直线C平面D线段 CM 构成的图形经过点 A，且是以 n 为法向量的平面 2在菱形 ABCD 中，若PA 是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成 立的是() APA AB BPA CD CPC BD DPC AB D由题意知 PA平面 ABCD，所以与平面上的线 AB、CD 都垂直，A、B 正确又因为菱形的对角线互相垂直，又 AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影且 ACBD，由三垂线定理的逆
2、定理知 PCBD，故 C 正确 3设(2,2，1)是平面的法向量，a(3,4,2)是直线 l 的方向向量，则 直线 l 与平面的位置关系是() A平行或直线在平面内B垂直 C相交但不垂直D不能确定 A(2,2，1)是平面的法向量， a(3,4,2)是直线 l 的方向向量， a6820， 直线 l 与平面的位置关系是平行或直线在平面内 4平面经过三点 O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面的法向量可以是 () A(1,0,1)B(1,0，1) 2 C(0,1,1)D(1,1,0) D平面经过三点 O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)， OA (2,2,0)，
3、OB (0,0,2)， 设平面的法向量 n(x，y，z)， 则 nOA 2x2y0， nOB 2z0， 取 x1，得 n (1,1,0)， 平面的法向量可以是(1,1,0) 5已知AB (1,5，2)，BC (3,1，z)，若AB BC ，BP (x1，y，3)， 且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为() A 33 7 ，15 7 ，4B 40 7 ，15 7 ，4 C 40 7 ，2,4D4， 40 7 ，15 BAB BC ，AB BC 0，即 352z0，得 z4， 又 BP平面 ABC，BP AB，BPBC ， 则 x15y60， 3x1y120， 解得 x40 7 ， y
4、15 7 . 二、填空题 6已知直线 l 的方向向量为 s(1,2，x)，平面的法向量 n(2，y,2)，若 l，则 xy 的最大值为_ 1 4 由题意可得 sn，sn22y2x0，可得 xy1，取 x，y0， 则 12 xy，可得 xy1 4，当且仅当 xy 1 2时取等号 7在平面 ABC 中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(1,0，1)，若 a(1，y，z)， 且 a 为平面 ABC 的法向量，则 yz_ 1AB (1,1,0)，AC (1，1，2)， a(1，y，z)为平面 ABC 的法向量， 3 aAB 0，aAC 0， 1y0,1y2z0， 联立解得 y1，z0，yz1 8
5、给出下列命题： 直线 l 的方向向量为 a(1，1,2)，直线 m 的方向向量 b 2，1，1 2 ， 则 l 与 m 垂直； 直线 l 的方向向量 a(0,1，1)，平面的法向量 n(1，1，1)，则 l； 平面、的法向量分别为 n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，则； 平面经过三点 A(1,0，1)，B(0,1,0)，C(1,2,0)，向量 n(1，u，t)是 平面的法向量，则 ut1 其中真命题的是_(把你认为正确命题的序号都填上) 对于，a(1，1,2)，b 2，1，1 2 ， ab12112 1 2 0， ab，直线 l 与 m 垂直，正确； 对于，a(0,1，1)，n(1，1，
6、1)， an011(1)(1)(1)0， an，l或 l，错误； 对于，n1(0,1,3)，n2(1,0,2)， n1与 n2不共线， 不成立，错误； 对于，点 A(1,0，1)，B(0,1,0)，C(1,2,0)， AB (1,1,1)，BC (1,1,0)， 向量 n(1，u，t)是平面的法向量， nAB 0， nBC 0， 即 1ut0， 1u0， 则 ut1，正确 4 综上，以上真命题的序号是 三、解答题 9如图所示，已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD 90，ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD求证：PABD 证明如图，取 BC 的中点 O，连接 AO
7、 交 BD 于点 E，连接 PO 因为 PBPC，所以 POBC 又平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCDBC， 所以 PO平面 ABCD，所以 AP 在平面 ABCD 内的射影为 AO 在直角梯形 ABCD 中， 由于 ABBC2CD， 易知 RtABORtBCD， 所以BEOOABDBADBCDBA90，即 AOBD 由三垂线定理，得 PABD 10如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2， AF1，M 是线段 EF 的中点求证：AM平面 BDF 证明以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A( 2，2， 0)，B(0，2，0
8、)，D( 2，0,0)，F( 2，2，1)，M 2 2 ， 2 2 ，1 5 所以AM 2 2 ， 2 2 ，1 ， DF (0，2，1)，BD ( 2， 2，0) 设 n(x，y，z)是平面 BDF 的法向量， 则 nBD ，nDF ， 所以 nBD 2x 2y0， nDF 2yz0， xy， z 2y， 取 y1，得 x1，z 2， 则 n(1,1， 2) 因为AM 2 2 ， 2 2 ，1 ， 所以 n 2AM ，得 n 与AM 共线 所以 AM平面 BDF 11 (多选题)已知平面内有一点 M(1， 1,2)， 平面的一个法向量为 n(6， 3,6)，则下列点中，在平面内的是() A(
9、2,3,3)B(1,1,3) C 1 2， 1 2， 10 3D(2,2,3) AB设平面内一点 P(x，y，z)，则MP (x1，y1，z2) n(6，3,6)是平面的法向量， nMP ，nMP 6(x1)3(y1)6(z2)6x3y6z21 由 nMP 0 得 6x3y6z210 6 把各选项代入上式可知 A、B 适合 12如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，以 D 为原点建立空间直角坐标系， E 为 BB1的中点，F 为 A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面 AEF 的法向量 的是() A(1，2,4) B(4,1，2) C(2，2,1) D(1,2，2) B设平面 AEF
10、的一个法向量为 n(x，y，z)，正方体 ABCDA1B1C1D1的 棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E 1，1，1 2 ，F 1 2，0，1 故AE 0，1，1 2 ，AF 1 2，0，1 又 AE n0， AF n0， 即 y1 2z0， 1 2xz0， 所以 y1 2z， x2z. 当 z2 时，n(4,1，2) 13(一题两空)设 u，v 分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当 v(3， 2,2)时，与的位置关系为_；当 v(4，4，10)时，与的位 置关系为_ 7 u，v 分别为平面，的法向量且 u(2,2,5)， 当 v(3，2,2)时，uv64100， uv，即； 当 v
11、(4，4，10)时，v2，uv，即 14如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD 底面 ABCD，且 PD1，若 E，F 分别为 PB，AD 中点，则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系_ 垂直以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系(图略)，则 E 1 2， 1 2， 1 2 ， F 1 2，0，0， EF 0，1 2， 1 2 平面 PBC 的一个法向量 n(0,1,1)， EF 1 2n，EF n，EF平面 PBC 15如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，且 ADBC， ABCP
12、AD90，侧面 PAD底面 ABCD若 PAABBC1 2AD (1)求证：CD平面 PAC； (2)侧棱 PA 上是否存在点 E，使得 BE平面 PCD？若存在，指出点 E 的位 置并证明，若不存在，请说明理由 解因为PAD90，所以 PAAD又因为侧面 PAD底面 ABCD，且 8 侧面 PAD底面 ABCDAD，所以 PA底面 ABCD又因为BAD90，所以 AB，AD，AP 两两垂直分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系 设 AD2，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1) (1)A
13、P (0,0,1)，AC (1,1,0)，CD (1,1,0)， 可得AP CD 0，AC CD 0， 所以 APCD，ACCD 又因为 APACA，所以 CD平面 PAC (2)设侧棱 PA 的中点是 E，则 E 0，0，1 2 ，BE 1，0，1 2 设平面 PCD 的法向量是 n(x，y，z)， 则 nCD 0， nPD 0， 因为CD (1,1,0)，PD (0,2，1)， 所以 xy0， 2yz0， 取 x1，则 y1，z2， 所以平面 PCD 的一个法向量为 n(1,1,2) 所以 nBE (1,1,2)1，0，1 2 0，所以 nBE 因为 BE平面 PCD，所以 BE平面 PCD 综上所述，当 E 为 PA 的中点时，BE平面 PCD
