1、1 2.3圆及其方程 2.3.1圆的标准方程圆的标准方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.圆(x+1)2+(y-2)2=4 的圆心与半径分别为() A.(-1,2),2B.(1,-2),2 C.(-1,2),4D.(1,-2),4 答案 A 2.方程 y= 9-?2表示的曲线是() A.一条射线B.一个圆 C.两条射线D.半个圆 答案 D 3.如图,圆 C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为 1),图中直线与圆弧相切于一个小 正方形的顶点,若圆 C 经过点 A(2,15),则圆 C 的半径为() A.7 2B.8C.8 2 D.10 解析圆 C 经过点(2,1)和点(2,15),
2、2 故圆心在直线 y=8 上. 又过点(2,1)的圆的切线为 y-1=-(x-2),故圆心在直线 y-1=x-2 上,即圆心在直线 x-y-1=0 上.由 ? = 8, ?-?-1 = 0可得圆心为(9,8), 故圆的半径为 (9-2)2+ (8-1)2=7 2. 答案 A 4.已知一圆的圆心为点 A(2,-3),一条直径的端点分别在 x 轴和 y轴上,则圆的标准方程为() A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上, 圆的半径为 r= (2-0)
3、2+ (-3-0)2=13. 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 答案 B 5.已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程为() A.x+y-2=0B.x-y+2=0 C.x+y-3=0D.x-y+3=0 解析圆 x2+(y-3)2=4 的圆心坐标为(0,3). 因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直,所以直线 l的斜率 k=1.由点斜式得直线 l的方程是 y-3=x-0, 3 化简得 x-y+3=0. 答案 D 6.若点 P(-1, 3)在圆 x2+y2=m2上,则实数 m=. 解析P 点在圆 x2+y2=m2上
4、, (-1)2+( 3)2=4=m2,m=2. 答案2 7.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以点 C 为圆心, 5为半径的圆的标准方程 是. 解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0, 可知直线恒过点(-1,2), 从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 答案(x+1)2+(y-2)2=5 8.若圆的方程为 ? + ? 2 2 +(y+1)2=1-3 4k 2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别 为、. 解析圆的方程为 ? + ? 2 2 +(y+1)2=1-3 4k 2, r2=1-3 4k 20,rmax=1,此时 k
5、=0. 圆心为(0,-1). 答案(0,-1)1 9.求以 A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 4 则有 (2-?)2+ (2-?)2= ?2, (5-?)2+ (3-?)2= ?2, (3-?)2+ (-1-?)2= ?2, 解得 ? = 4, ? = 1, ?2= 5, 即ABC 的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5. 10.已知点 A(-1,2)和 B(3,4).求: (1)线段 AB 的垂直平分线 l 的方程; (2)以线段 AB 为直径的圆的标准方程. 解由题意得线段 A
6、B 的中点 C 的坐标为(1,3). (1)A(-1,2),B(3,4), 直线 AB 的斜率 kAB= 4-2 3-(-1) = 1 2. 直线 l 垂直于直线 AB, 直线 l 的斜率 kl=- 1 ?=-2, 直线 l 的方程为 y-3=-2(x-1), 即 2x+y-5=0. (2)A(-1,2),B(3,4), |AB|= (3 + 1)2+ (4-2)2=20=2 5, 以线段 AB 为直径的圆的半径 R=1 2|AB|= 5.又圆心为 C(1,3), 所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5. 能力提升练 1.方程(x-1) ?2+ ?2-3=0 所表示的曲线是() A.
7、一个圆B.两个点 5 C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆 解析(x-1) ?2+ ?2-3=0 可化为 x-1=0 或 x2+y2=3,方程(x-1) ?2+ ?2-3=0 表示一条直线和一个圆. 答案 D 2.已知直线(3+2)x+(3-2)y+5-=0 恒过定点 P,则与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=16 有公共的圆心且过点 P 的 圆的标准方程为() A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9 解析由(3+2)x+(3-2)y+5-=0, 得(2x+3y-1)+(3x-2y
8、+5)=0, 则 2? + 3?-1 = 0, 3?-2? + 5 = 0,解得 ? = -1, ? = 1, 即 P(-1,1). 圆 C:(x-2)2+(y+3)2=16 的圆心坐标是(2,-3), |PC|= (-1-2)2+ (1 + 3)2=5, 所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选 B. 答案 B 3.已知圆心(a,b)(a0,b0),点 C 在圆(x-2)2+(y-2)2=2 上,且满足ACB=90,则 a 的最小值 是. 解析设 C(2+ 2cos ,2+ 2sin ), ?t ? ?=(2+ 2cos +a,2+ 2sin ),t? ?=(2+ 2cos
9、-a,2+ 2sin ), ACB=90,?t ? ?t? ?=(2+ 2cos )2-a2+(2+ 2sin )2=0,a2=10+4 2(sin +cos )=10+8sin + 4 2,18. a0,a 2,3 2,a 的最小值是 2. 7 答案 2 5.已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C的标准方程为. 解析由已知圆(x-1)2+y2=1,设其圆心为 C1, 则圆 C1的圆心坐标为(1,0),半径长 r1=1. 设圆心 C1(1,0)关于直线 y=-x 对称的点的坐标为(a,b),即圆心 C 的坐标为(a,b), 则 ? ?-1(-1) = -1,
10、 - ?+1 2 = ? 2 , 解得 ? = 0, ? = -1. 所以圆 C 的标准方程为 x2+(y+1)2=1. 答案 x2+(y+1)2=1 6.已知三点 A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点 P(2,-1)为圆心作一个圆,使 A,B,C 三点中一点在圆外,一点在圆 上,一点在圆内,求这个圆的标准方程. 解要使 A,B,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值. 因为|PA|= 10,|PB|= 13,|PC|=5, 所以|PA|PB|0,1),那么点 M 的轨迹就是阿 波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题
11、.已知圆:x2+y2=1 和点 A - 1 2,0 ,点 B(1,1),M 为圆 O 上动点,则 2|MA|+|MB|的最小值为. 解析如图,取点 K(-2,0),连接 OM,MK. |OM|=1,|OA|=1 2,|OK|=2, |?t| |?t| = |?t| |?|=2. 又MOK=AOM,MOKAOM, |tt| |t?| = |?t| |?|=2,|MK|=2|MA|, |MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|BK|,|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|, B(1,1),K(-2,0), |BK|= (-2-1)2+ (0-1)2=10. 答
12、案 10 2.已知圆 C 的圆心在直线 x-3y=0 上,且与 y 轴相切于点(0,1). 9 (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 l:x-y+m=0 交于 A,B 两点,分别连接圆心 C 与 A,B 两点,若 CACB,求 m 的值. 解(1)设圆心坐标为 C(a,b),则 a=3b, 圆与 y 轴相切于点(0,1),则 b=1,r=|a-0|, 圆 C的圆心坐标为(3,1),半径 r=3. 故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)CACB,|CA|=|CB|=r,ABC 为等腰直角三角形,|CA|=|CB|=r=3, 圆心 C 到直线 l的距离 d=3 2 2 . 则 d=|3-1+?| 2 = 3 2 2,解得 m=1 或-5.
