（2021新人教B版）高中数学必修第四册素养突破第11章 立体几何初步 （课件+课堂检测+课时素养评价）.zip

第十一章立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 1.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x轴和y轴,使得它们正方向的夹角为45(或135). (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x轴平行(或重合)的线段,且长度不变. 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半. (3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线. 【思考】 (1)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的关键是什么? 提示 :关键是分别作出平面图形中与x轴和 y轴平行 (或重合 )的线段 . (2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,哪些关系不变?哪些关系有可能发生变化? 提示 :不变的关系 : 一般情况下 ,直线的平行关系不变; 点的共线性不变 ,线的共点性不变 . 有可能发生变化的关系: 长度相等的线段 ,在直观图中长度不一定相等; 角的大小关系有变化,特别是垂直关系有变化. 2.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x轴与y轴). (2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴,且z轴垂直于x 轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合)的线段,且长度不变.连接有关线段. (3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). 【思考】 (1)立体几何中的直观图都是用斜二测画法作出吗? 提示 :不都是 .只是经常用斜二测画法,如水平放置的圆 ,则用正等测画法 (教材 P58提到 ). (2)画空间几何体直观图时,为了体现立体感,最重要的措施是什么? 提示 :被遮挡的部分改为虚线,通过实线虚线的变化,展示前后层次 ,体现立体感 . 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同.() (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标 轴.() (3)水平放置的三角形的直观图一定是三角形.() (4)水平放置的菱形的直观图一定是菱形.() 提示 :(1).实物图中的直观图与取坐标系的方法有关. (2).根据斜二测画法的规则可知此说法正确. (3).水平放置的 n边形的直观图仍是n边形 . (4).利用斜二测画法画菱形的直观图时,相邻两边不一定再相等,故不一定是菱形 . 2.水平放置的梯形的直观图是() A.梯形B.矩形 C.三角形D.任意四边形 【解析 】选A.斜二测画法的规则中平行性保持不变. 3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是() A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点 【解析 】选B.根据斜二测画法 ,原来垂直的未必垂直. 11.1.2构成空间几何体的基本元素 1.空间中的点与直线、直线与直线的位置关系 (1)空间中点与直线的关系 点A在直线l上,记作Al;点A不在直线l上,记作Al. (2)直线与直线的位置关系 直线a与直线b平行,记作ab; 直线a与直线b相交于点A,记作ab=A; 直线a与直线b异面. (3)异面直线的定义 空间中的两条直线,既不平行,也不相交,此时称这两条直线异面. 【思考】 (1)为何点与直线、平面的关系用“”或“”表示 ? 提示 :因为直线与平面都看作是点构成的集合,而点是元素 ,因此点与直线、平面的关系就是元素与集合间的 关系 ,所以用 “”或“”表示 . (2)如何从公共点个数的角度对空间两条直线分类? 提示 : (3)如何以是否共面的角度对空间两条直线分类? 提示 : 2.空间中直线与平面的位置关系 (1)直线l上的所有点都在平面内,这称为直线l在平面内(或平面过直线l),记作l. (2)直线m与平面有且只有一个公共点B,称为直线m与平面相交,记作m=B. (3)直线l与平面没有公共点,称为直线l与平面平行,记作l. 【思考】 (1)如果l是空间中的一条直线,是空间中的一个平面,l=表示什么 ? 提示 :l=表示直线 l与平面 平行 . (2)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗? 提示 :不是 .前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行. (3)如何从直线与平面公共点的个数将直线与平面的位置关系分类? 提示 :当直线与平面公共点的个数为0时,直线与平面平行 ;当直线与平面公共点的个数为1时,直线与平面相交 ; 当直线与平面公共点的个数为无数个时,直线在平面内 . 3.空间中平面与平面的位置关系 (1)平面与平面有公共点,这称为平面与平面相交,记作. (2)如果与是空间中的两个平面,当=时,称平面与平面平行,记作. 4.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 一般地,如果直线l与平面相交于一点A,且对平面内任意一条过点A的直线m,都有lm,则称直线l与平面垂直(或l是 平面的一条垂线,是直线l的一个垂面),记作l.其中点A为垂足. (2)点在平面内的射影 给定空间中一个平面及一个点A,过A可以作而且只可以作平面的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面内的射 影(也称投影),线段AB为平面的垂线段,AB的长为点A到平面的距离. (3)直线到平面的距离 当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离. (4)平面到平面的距离 当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离. 【思考】 (1)在什么条件下,才能求直线与平面的距离? 提示 :当直线与平面平行时,才能求直线与平面的距离. (2)在什么条件下,才能求平面与平面的距离? 提示 :当两个平面平行时,才能求平面与平面的距离. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)若直线l上有无数个点不在平面内,则l. () (2)若平面内的任意直线与平面均无交点,则.() (3)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行.() 提示 :(1).若直线 l上有无数个点不在平面内,则l或直线 l与平面 相交 . (2).由平面与平面平行的定义可知,此说法正确 . (3).若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行或相交. 2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的 是() A.ABB.BB1 C.DD1D.B1C1 【解析 】选D.AB与AA1相交 ;BB1与AA1平行 ;DD1与AA1平行 ;B1C1与AA1异面 . 3.在以下三个说法中,正确的说法是() 平面内有两条直线和平面平行,那么这两个平面平行; 平面内有无数条直线和平面平行,则与平行; 在平面,内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面平行或相交. A.B. C.D. 【解析 】选C.如图所示 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,对于 ,平面 AA1D1D中,AD平面 A1B1C1D1,分别取 AA1,DD1 的中点 E,F,连接 EF,则EF平面 A1B1C1D1,但平面 AA1D1D与平面 A1B1C1D1是相交的 ,交线为 A1D1,故说法 错;对 于,平面 AA1D1D中,与平面 A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面 AA1D1D与平面 A1B1C1D1不平行 ,而是相交于 直线 A1D1,故说法 错.说法 是正确的 . 4.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系: (1)点C与平面:_. (2)点A与平面:_. (3)直线AB与平面:_. (4)直线CD与平面:_. (5)平面与平面:_. 【解析 】(1)C.(2)A. (3)AB=B.(4)CD.(5)=BD. 答案 :(1)C(2)A(3)AB=B (4)CD(5)=BD 11.1.3多面体与棱柱 一、多面体 1.多面体及有关概念 定义由若干个平面多边形所围成的封闭几何体 图 示 及 相 关 概 念 面:围成多面体的各个多边形. 棱:相邻两个面的公共边 顶点:棱与棱的公共点 面对角线:一个多面体中,连接同一 面上两个顶点的线段,如果不是多面 体的棱 体对角线:一个多面体中,连接不在 同一面上两个顶点的线段 截面:一个几何体和一个平面相交 所得到的平面图形(包含它的内部) 表面积:多面体所有面的面积之和 称为多面体的表面积(或全面积) 命名多面体可以按照围成它的面的个数来命名,如五面体、八面体、十面体、十二面体等 2.凸多面体的概念 把多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则称这样的多面体为凸多面体. 特别说明:我们所说的多面体,如果没有特别说明,指的都是凸多面体. 【思考】 (1)围成几何体的面是否都是平面? 提示 :不都是 .通过观察圆柱、圆锥、圆台、球等可知:围成几何体的面并不都是平面. (2)多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱? 提示 :多面体最少有 4个面、 4个顶点和 6条棱 . 二、棱柱 1.棱柱的有关概念 定义 有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这 样的多面体称为棱柱. 图示 及相 关概 念 底面:两个互相平行的面 侧面:底面以外的其他各面 侧棱:相邻两个侧面的公共边 顶点:侧面与底面的公共顶点 高:过棱柱一个底面上的任意 一个顶点,作另一个底面的垂线所 得到的线段(或它的长度) 侧面积:棱柱的所有侧面的面 积之和 2.棱柱的分类 (1)依据侧棱与底面的关系分类 直棱柱(侧棱与底面垂直),特别地,底面是正多边形的直棱柱为正棱柱. 斜棱柱(侧棱与底面不垂直). (2)依据底面的形状分类 三棱柱、四棱柱、五棱柱 【思考】 (1)棱柱的底面是固定不变的吗? 提示 :不一定 .例如 :正方体、长方体都是棱柱,它们的任何一对对面都可以作为其底面. (2)平行六面体是棱柱吗?写出四棱柱、平行六面体、直平行六面体之间的包含关系? 提示 :依据棱柱的定义可知,平行六面体是棱柱. 四棱柱 、平行六面体 、直平行六面体 之间的包含关系为:四棱柱 平行六面体 直平行六面体 . 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)棱柱可以看作由平面图形平移得到.() (2)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形.() (3)棱柱的两底面是全等的正多边形.() (4)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.() 提示 :(1).棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体. (2).棱柱的侧面都是平行四边形,底面也有可能是平行四边形. (3).棱柱两底面全等 ,但不一定是正多边形. (4).有一个侧面是矩形的棱柱不能保证侧棱与底面垂直. 2.下列几何体中,不属于多面体的是() A.三棱柱B.四棱锥C.长方体D.球 【解析 】选D.利用多面体的定义:由平面多边形围成的几何体,很容易能判定出来. 3.长方体中棱的条数是() A.6B.8C.12D.16 【解析 】选C.长方体有六个面 ,12条棱 . 11.1.4棱锥与棱台 一、棱锥的有关概念 1.棱锥 定义 如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有一个公共顶点的三角形,则称这个 多面体为棱锥 图示 及 相关 概念 底面:是多边形的那个面 侧面:有公共顶点的各三角形 顶点:各侧面的公共顶点 侧棱:相邻两侧面的公共边 高:过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段 (或它的长度) 侧面积:所有侧面的面积之和 棱锥 的分类 依据底面的形状分类:三棱锥、四棱 锥、五棱锥 2.正棱锥及有关概念 (1)正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面,则称这个棱锥为正棱锥. (2)侧面性质:正棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形. (3)正棱锥的斜高:侧面等腰三角形底边上的高. 【思考】 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗? 提示 :未必是棱锥 .如图所示的几何体,满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥,因为它不满足条件“其余各 面都是有一个公共顶点的三角形”. 二、棱台的有关概念 1.棱台 定义一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体 图示 及 相关 概念 下底面:原棱锥的底面 上底面:截面 侧面:其余各面 侧棱:相邻两侧面的公共边 高:过棱台一个底面上的任意 一个顶点,作另一个底面的垂线 所得到的线段(或它的长度) 侧面积:所有侧面的面积之和 棱台 的分 类 依据底面的形状分类:三棱台、四棱台、五棱台 2.正棱台及有关概念 (1)正棱台:由正棱锥截得的棱台称为正棱台. (2)正棱台的高:上下底面中心的连线. (3)侧面性质:正棱台的侧面都全等,而且都是等腰梯形. (4)正棱台的斜高:侧面等腰梯形的高. 【思考】 棱台的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边形?两个底面是什么关系? 提示 :棱台的各侧棱延长后交于一点,各侧面是梯形 ,两个底面是相似的多边形. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.() (2)用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台. () (3)有两个面平行,且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台.() 提示 :(1).依据棱台的定义可知:由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分是棱台. (2).只有用一平行于底面的平面去截棱锥,得到两个几何体 ,才能一个是棱锥 ,一个是棱台 . (3) .未必是棱台 ,因为它们的侧棱延长后不一定交于一点,如图 ,用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔 形几何体 ,截面与底面之间的几何体虽有两个面平行,其余各面是梯形 ,但它不是棱台 . 2.一个正三棱台的上下底面边长为3 cm和6 cm,高为 cm,则此三棱台的侧面积是() 【解析 】选D.虽然根据正三棱台的侧面是等腰梯形,可以求出这个等腰梯形的高,进而可求得侧面积,但这里 的选项 A,B,C中皆没有单位 cm2,所以选项 A,B,C错误 . 3.一个几何体的各个面均是三角形,则该几何体可能 是() A.棱台B.棱柱C.棱锥D.圆锥 【解析 】选C.棱台的侧面是梯形,棱柱的侧面是平行四边形,圆锥的侧面是曲面,只有棱锥的侧面是三角形,且 底面也可以是三角形. 4.如图,ABCD是一个正方形,E,F分别是AB和BC的中点,沿折痕DE,EF,FD折起得到一个空间几何体,请你动手折一折,看 看这个空间几何体是什么几何体. 【解析 】折起后是一个三棱锥,如图所示 . 11.1.5旋转体 1.圆柱、圆锥、圆台的有关概念 2.侧面积公式 (1)S圆柱侧=2rl. (2)S圆锥侧=rl. (3)S圆台侧=(r1+r2)l. 【思考】 (1)在圆柱中,圆柱的任意两条母线是什么关系?过两条母线的截面是怎样的图形? 提示 :圆柱的任意两条母线平行,过两条母线的截面是矩形. (2)在圆柱中,过轴的截面是轴截面,圆柱的轴截面是什么图形?轴截面含有哪些重要的量? 提示 :圆柱的轴截面是矩形,轴截面中含有圆柱的底面圆的直径与圆柱的母线. (3)在圆锥中,过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是什么图形?轴截面含有哪些重要的量? 提示 :圆锥的轴截面是等腰三角形,轴截面中含有圆锥的底面圆的直径与圆锥的母线. (4)经过圆台的任意两条母线作截面,截面是什么图形? 提示 :因为圆台的任意两条母线长度均相等,且延长后相交 ,故经过任意两条母线的截面是以这两条母线为腰 的等腰梯形 . 3.球的有关概念 (1)球面:一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面. (2)球:球面围成的几何体. (3)球心:形成球面的半圆的圆心. (4)球的半径:连接球面上一点和球心的线段. (5)球的直径:连接球面上两点且通过球心的线段. (6)球的大圆:球面被经过球心的平面截得的圆. (7)球的小圆:球面被不经过球心的平面截得的圆. 4.球的表面积:S=4R2 【思考】 (1)球体与球面的区别和联系是什么? 提示 : 区别联系 球 面 球的表面是球面 ,球面是旋转形成的曲面 球面是 球体的表面 球 体 球体是几何体 ,包括球面及其所围成的空间部分 (2)球的截面是什么图形? 提示 :球的截面是一个圆面(圆及其内部 ) 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线.() (2)圆台有无数条母线,它们相等,延长后相交于一 点. () (3) 用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆 台.() (4) 用任意一个平面去截球,得到的是一个圆面. () (5)圆台的高就是相应母线的长.() 提示 :(1).圆柱的母线与轴是平行的. (2) .用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台,由此可知此说法正确. (3) .用与底面平行的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台. (4).因为球是一个几何体,包括表面及其内部,所以用一个平面去截球,得到的是一个圆面. (5).圆台的高是指两个底面之间的距离. 2.球的任意两条直径不一定具有的性质是() A.相交B.平分 C.垂直D.都经过球心 【解析 】选C.球的任意两条直径不一定垂直. 3.矩形的边长分别为1和2,分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面积之比为 () A.12B.11 C.14D.13 【解析 】选B.以边长 1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1=221=4,以边长为 2的边所在直线 为轴旋转形成的几何体的侧面积S2=212= 4,故S1S2=11. 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 一、祖暅原理 1.几何体的体积 一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积. 2.祖暅原理 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何 体的体积一定相等. 【思考】 (1)如果某个柱体底面积与长方体的底面积相等,高也相同,体积相等吗? 提示 :相等 .依据祖 暅原理可知 ,两者的体积相等 . (2)柱体的体积可以转化为长方体的体积吗? 提示 :可以 .依据柱体的定义、性质和祖暅原理可知 ,柱体的体积可以转化为长方体的体积. (3)祖暅原理解决什么问题? 提示 :祖暅 原理提供了求不规则几何体体积的一种方法. 二、柱体、锥体、台体的体积公式 1.柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh. 2.锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=Sh. 3.台体:台体的上,下底面面积分别为S,S,高为h, 则V=(S+S)h. 【思考】 将台体的上底面缩小或扩大,分析柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系是什么? 提示 : 三、球的体积 如果一个球的半径为R,那么球的体积公式为:V=R3. 【思考】 半球的截面面积与怎样一个图形的截面面积相等? 提示 :一个圆柱挖去一个倒立的圆锥与半球的截面面积相等. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)球是曲面几何体,其体积公式不会推导出来.() (2)锥体的体积等于底面面积与高之积.() (3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱 锥.() 提示 :(1).虽然球是曲面几何体,但可以利用祖暅 原 理推导其体积公式. (2) .锥体的体积等于底面面积与高之积的 . (3).沿着三棱柱的三个面对角线,其中有两对共点 , 将三棱柱割开 ,则这三个三棱锥的体积相等,所以该命 题正确 . 2.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 () 【解析 】选A.设球的半径为 R,过球的一条半径的中点, 作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为 的圆 ,设所得截面的面积为S1,球的表面积为 S2, 所以 3.圆台OO的上、下底面半径分别为1和2,高为6,则 其体积等于_. 【解析 】V=(12+12+22)6=14. 答案 :14 4.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为_. 【解析 】如图 ,在OPA中,因为 PA=3,OA=2,所以正 四棱锥的高 h=故正四棱锥的体积为V= 答案 : 11.2平面的基本事实与推论 一、平面的基本事实 基本 事实 内容描述图形表示符号表示 基本 事实 1 经过不在一条直线上的3个 点,有且只有一个平面 如果A,B,C三点不共线,那 么A,B,C三点确定平面ABC. 基本 事实 内容描述图形表示符号表示 基本 事实 2 如果一条直线上的两个点在 一个平面内,那么这条直线在这 个平面内 如果 A, B,那么AB. 基本 事实 内容描述图形表示符号表示 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有 一个公共点,那么它们有且只有 一条过该点的公共直线 如果 A, A,那么=l 且Al. 【思考】 (1)基本事实1的作用是什么? 提示 :基本事实 1的作用是揭示确定平面的条件. (2)基本事实2的作用是什么? 提示 :基本事实 2的作用是判断直线在平面内的依据. 二、平面基本事实的推论 1.推论1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面. 2.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 3.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 【思考】 三个推论与基本事实1是一回事,对吗? 提示 :三个推论与基本事实1是一回事 ,这三个推论都可以转化成经过不在一条直线上的3个点有且只有一个 平面的基本事实 . 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)几何里的平面是有厚度的,有边界的.() (2)若线段AB在平面内,则直线AB在平面内. () (3)平面与平面相交,它们只有有限个公共点. () (4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. () 提示 :(1). 几何里的平面是没有厚度,无限延展而没有边界的. (2).直线 AB在平面 内,因为线段 AB在平面 内,所以线段 AB上的所有点都在平面内,故线段 AB上A,B两点一定 在平面 内,由公理 1可知直线 AB在平面 内. (3). 平面 与平面 相交 ,它们有无限个公共点,这些点都在同一条直线上. (4).如三点共线 ,这两个平面有可能相交,也可能重合 ,所以该命题错误 . 2.平行四边形MNPQ表示的平面不能记为() A.平面MNB.平面NQP C.平面D.平面MNPQ 【解析 】选A.MN是平行四边形 MNPQ的一条边 ,不是对角线 ,所以不能记作平面MN. 3.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是() A.A,B,C,D四点中必有三点共线 B.A,B,C,D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行 【解析 】选B.两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面. 11.3空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 一、平行直线 1.空间平行线的传递性 文字语 言 平行于同一条直线的两条直线 互相平行 符号语 言 如果ab,ac,则bc 作用证明两条直线平行 2.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等 . 【思考】 (1)在等角定理中如果去掉方向相同,这两个角还相等吗? 提示 :可能相等 ,也可能互补 ,只有这两种情况 . (2)等角定理有什么作用? 提示 :可以证明两个角相等. 二、异面直线 1.定义 空间中既不平行也不相交的直线. 2.画法 3.异面直线的一种判断方法 与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面. 【思考】 (1)空间中两条不相交的直线是异面直线吗? 提示 :不一定 .空间中不相交的直线可能是异面直线,也可能是平行直线. (2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗? 提示 :不一定 . 可能平行、相交或异面. 三、空间四边形 1.空间四边形的定义 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都是空间四边形的顶 点. 2.空间四边形的对角线 连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线. 【思考】 (1)空间四边形与四面体是一回事吗? 提示 :不是一回事 .空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形,空 间四边形不是四面体. (2)梯形是空间四边形吗? 提示 :不是 .因为梯形是一个平面图形,它的四个顶点在一个平面上,所以它不 是空间四边形 . 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.() (2)垂直于同一条直线的两条直线平行.() (3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线. () 提示 :(1).没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线. (2).在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体 ABCD- ABCD中,AB,AD都与棱 AA垂直 ,但是这两条直线相交. (3).若a,b是异面直线 ,a,c是异面直线 ,那么 b,c可以平行 ,可以相交 ,可以异面 . 2.不平行的两条直线的位置关系是() A.相交B.异面C.平行D.相交或异面 【解析 】选D.由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不平行的 两条直线的位置关系是相交或异面. 3.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是() A.共面B.平行C.异面D.平行或异面 【解析 】选D.若直线 a和b共面 ,则由题意可知 ab;若a和b不共面 ,则由题意可 知a与b平行或异面 . 11.3.2直线与平面平行 一、直线与平面的位置关系 位置关系 直线在 平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与 平面平行 公共点无数个1个0个 符号表示aa=Aa 位置关系 直线在 平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与 平面平行 图形表示 【思考】 “直线在平面外”与“直线与平面没有公共点”是相同的意思吗? 提示 :不相同 .前者包括直线与平面平行及直线与平面相交这两种情况,而后者仅指直线与平面平行. 二、直线与平面平行的判定定理 判定定理符号表示图形表示 如果平面外的一条直线与平面内的 一条直线平行,那么这条直线与这个平面 平行 如果 l, m, lm, 则l 【思考】 (1)直线与平面平行的判定定理中“平面外”可以去掉吗?试画图举例说明. 提示 :不可以 .如图所示 ,ab,b,但是 a与不平行 ,实际上 a. (2)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行,对吗? 提示 :根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. (3)直线与平面平行的判定定理的本质是将直线与平面平行转化为什么? 提示 :将直线与平面平行转化为直线与直线平行. 三、直线与平面平行的性质定理 性质定理符号表示图形表示 如果一条直线与一个平面平行,且 经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线就与两平面的交线平行 如果 l, l , =m, 则lm 【思考】 (1)已知直线a平面,过平面内的点P如何作与直线a平行的直线? 提示 :经过直线 a和点 P作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行 ,此交线在平面 内,就是要作的直 线. (2)直线与平面平行的性质定理有什么作用? 提示 :定理的作用 :线面平行 线线平行 ; 画一条直线与已知直线平行. (3)线面平行的性质定理给出了线面平行的什么条件? 提示 :由线面平行的性质定理以及充要条件的定义可知:线面平行的性质定理给出了线面平行的一个必要条件 . (4)若a,b,则直线a一定与直线b平行吗? 提示 :不一定 .由a可知直线 a与平面 无公共点 ,又b,所以 a与b无公共点 ,所以直线 a与直线 b平行或异面 . 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)若直线a与平面内无数条直线平行,则a. () (2)若直线l平面,则l与平面内的任意一条直线都不相交.() (3)若直线a平面,直线a直线b,则直线b平面 .() (4)若直线a,b和平面满足a,b,则ab. () 提示 :(1).若直线 a与平面 内无数条直线平行,则这条直线可能在这个平面内,也可能与这个平面平行,所以该 命题错误 . (2).若直线 l平面 ,则l与平面 无公共点 ,所以 l与平面 内的任意一条直线都不相交. (3).直线 b有可能在平面 内. (4).若直线 a,b和平面 满足 a,b,则a与b平行、相交和异面都有可能. 2.如图,过正方体ABCD-ABCD的棱BB作一平面交平面CDDC于EE,则BB与EE的位置关系 是() A.平行B.相交 C.异面D.不确定 【解析 】选A.因为 BB平面 CDDC,BB平面 BBEE,平面 BBEE平面 CDDC=EE,所以 BBEE. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中和平面C1DB平行的侧面对角线有_条. 【解析 】如图 ,与平面 C1DB平行的侧面对角线有3条:B1D1,AD1,AB1. 答案 :3 4.下列命题正确的有_.(填上你认为正确命题的序号) (1)若直线l平面,则l平行于内的无数条直线. (2)若直线l平面,则l与没有公共点. (3)若直线l平面,过l的平面与平面相交,则所得交线互相平行. (4)若直线m直线n,n平面 ,则m. 【解析 】(1)在平面 内有无数条直线与l平行 . (2)由线面平行定义知正确. (3)这些交线都与 l平行 ,所以它们互相平行. (4)m可能在 内,也可能与 平行 . 答案 :(1)(2)(3) 11.3.3平面与平面平行 一、平面与平面的位置关系 位置关系平行相交 图示 表示法=a 公共点个数0个无数个 【思考】 分别位于两个平行平面内的两条直线的位置关系是什么? 提示 :分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点,故它们的位置关系是平行或异面. 二、平面与平面平行的判定定理 判定定理符号表示图形表示 如果一个平面内有两条相 交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 如果l, m,lm ,l,m ,则 【思考】 如果把定理中的“相交”去掉,这两个平面是否一定平行,为什么? 提示 :不一定平行 .如果不是两条相交直线,即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,也不能判定这 两个平面平行 ,这是因为在两个相交平面的一个平面内,可以画出无数条直线与交线平行,显然这无数条直线 都与另一个平面平行,但这两个平面不平行. 三、平面与平面平行的性质定理 性质定理符号表示图形表示 如果两个平行平面同时与 第三个平面相交,那么它们的 交线平行 如果 ,=l,=m,则lm 【思考】 (1)分别在两个平行平面内的两条直线,有可能出现哪些位置关系?面面平行的性质定理中直线a和b为什么是平行的? 提示 :分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面.面面平行性质定理中直线a和b分别在两个平行平面内, 且在同一个平面 内,所以 ab. (2)平面平行有传递性吗? 提示 :有.若、为三个不重合的平面,则 ,. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)两个平面,一条直线a平行于平面,则a一定平行于平面. () (2)三角板的两条边所在直线分别与平面平行,这个三角板所在平面与平面平行.() (3)平面内的一个平行四边形的两边与平面内的一个平行四边形的两边对应平行,则.() (4)若平面,点P,a且Pa,那么a. () 提示 :(1).直线 a可能与 平行 ,也可能在 内. (2).三角板的两条边所在直线是相交的,根据平面与平面平行的判定定理可知此说法正确. (3).若平行四边形的两边是对边,则互相平行不相交,无法推出 . (4).因为平面 ,a,所以 a或a,又因为点 P,Pa,所以 a. 2.在长方体ABCD-ABCD中,下列正确的是 () A.平面ABCD平面ABBA B.平面ABCD平面ADDA C.平面ABCD平面CDDC D.平面ABCD平面ABCD 【解析 】选D.由长方体可以知道,平面 ABCD平面 ABBA=AB,所以 A不正确 ; 平面 ABCD平面 ADDA=AD,所以 B不正确 ; 平面 ABCD平面 CDDC=CD,所以 C不正确 ; 平面 ABCD与平面 ABCD是相对平面 ,正确 . 所以 D选项是正确的 . 3.已知平面内的两条直线a,b,a,b,若要得出平面平面, 则直线a,b的位置关系是() A.相交B.平行C.异面D.垂直 【解析 】选A.根据面面平行的判定定理可知a,b相交 . 11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 一、直线与直线所成角 1.异面直线所成角的定义 一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a,b,则a与b所成角的大小 ,称为异面直线a与b所成角的大小. 2.两条直线的夹角 两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角. 3.两条直线垂直 空间中两条直线所成角的大小为90时,称这两条直线垂直. 【思考】 (1)在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗? 提示 :根据等角定理可知,a与b所成角的大小与点O的位置无关 .但是为了简便 ,点O常取在两条异面直线中的 一条上 ,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等). (2)研究范围推广到空间后,直线与直线垂直的含义有变化吗?有什么变化? 提示 :有变化 .空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况. (3)两条异面直线所成角的范围是什么?两条直线夹角的范围是什么? 提示 :两条异面直线所成角的范围是 090;两条直线夹角 的范围是 090. 二、直线与平面垂直及其判定定理 1.直线l与平面垂直的充要条件 文字表示符号表示图形表示 直线l与平面垂直的充要条件 是,直线l与平面内的任意直线都垂 直 lm ,lm 2.直线与平面垂直的判定定理 文字表示符号表示图形表示 如果一条直线与一个平 面内的两条相交直线垂直,则 这条直线与这个平面垂直 m,n, mn , lm,ln,则l 【思考】 (1)定义中的“任何一条直线”与“所有直线”、“无数条直线”是同义语吗? 提示 :“任何一条直线 ”与“所有直线 ”是同义语 ; “任何一条直线 ”与“无数条直线 ”不是同义语 . (2)判定定理的条件中,把“两条相交直线”改为“两条直线”或“无数条直线”可以吗? 提示 :不可以 .若两条直线不相交(即平行 ),即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判定直线与平面垂直.例 如,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB1与 平面 ABCD内无数条直线垂直(与直 线AD平行或重合的所有直线),但 是AB1与平面 ABCD不垂直 . 三、直线与平面垂直的性质 1.直线与平面垂直的性质定理 文字表示符号表示图形表示 如果两条直线垂直于同一个 平面,那么这两条直线平行 l,m, 则lm. 2.斜线段、斜足的定义 如果A是平面外一点,C是平面内一点,且AC与不垂直,则称AC是平面的斜线段(相应地,直线AC称为平面的斜线), 称C为斜足. 3.直线在平面内的射影、直线与平面所成的角 设AB是平面的垂线段,B是垂足;AC是平面的斜线段,C是斜足,则直线BC称为直线AC在平面内的射影.特别地 ,ACB称为直线AC与平面所成的角. 【思考】 (1)线面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据,你能想到其他转化依据吗? 提示 : (2)若图中的POA是斜线PO与平面所成的角,则需具备哪些条件? 提示 :需要 PA,A为垂足 ,OA为斜线 PO的射影 ,这样 POA就是斜线 PO与平面 所成的角 . 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)三角形的两边可以垂直于同一个平面. () (2)垂直于同一个平面的两条直线一定共面. () (3)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.() (4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直.() 提示 :(1). 若三角形的两边