1、第十一章第十一章 立体几何初步立体几何初步 11.4.1 直线与平面垂直 1.两条相交直线所成角的大小：指的是它们相交所 得到的不大于直角的角的大小. 范围【0,90】 如图所示正方体中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面. (1) 直观上，你认为这两种异面有什么区别？ (2) 如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为 该怎样做？ 如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与 B1C1所成角的大小，即为 ；AB与B1D1 所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小， 即为 . 90 45 2.异面直线所成的角 一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别
2、 作与a，b平行或重合的直线a，b，则a与b所成角的大小，称为异面直 线a与b所成角的大小. a b b a O 求异面直线所成角得一般方法： （1）做角（2）证角（3）求角 3.空间两直线垂直 规定空间中两条平行直线所成角的大小为 . 两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角. 空间中两条直线l，m所成角的大小为90时，称l与m垂直，记 作 . 若ab且bc，则一定有 . 异面直线所成角范围（0,90 0 lm ac a b a O O 思考：一支笔固定，另一只笔绕着第一支笔的中点保持垂直同时旋转，请 观察第二支笔所在的直线的运动轨迹是什么？第一支笔与这个轨迹 的位置关系是什么？ 思考：直线和
3、平面内的一条直线垂直，能不能判定直线和平面垂直？ 和两条平行直线垂直呢？和无数条直线垂直呢？和两条相交 直线垂直呢？ （线（线面面 线线线）线） 1.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与 这个平面垂直 例1 教材 P112 地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子和米尺， 你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由 解：将绳子的一端固定在直杆的A处，并使 得AB=0.8m,截取绳子的长度，使得绳长为1m. 拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与 B不共线的两点C,D处。测量BC与BD的长度， 如果它们的长度都是0.6m,那么直
4、杆就和地面 垂直 例2 教材 P112 l m a b 如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面 . 已知：lm , 求证： 证明：设a，b为平面内的任意两条相交直线 如果直线a垂直于一个平面,直线b与直线a平行，那么直线b与平 面是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由. 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 已知： ， 求证： 分析：要想证明空间中的两条直线互相平行，我们一般 先证明它们共面，再转化为平面几何的平行判定定理来 证明.但是这个命题的条件比较简单，我们要想证明这 两条线共面就很困难，此时可以转换思路，从逆向思考. lm lm m
5、l / 3.线面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位 置关系？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由. 问题:当直线与平面不垂直时，我们通常研究哪些问题呢？ 我们已经知道，如果A是平面外一点， B是平面内一点，则AB丄时，AB是平 面的垂线段.类似地，如果C是平面内一 点，且AC与不垂直，则称AC是平面的 斜线段（相应地，直线AC称为平面的斜 线），称C为斜足. 例4：已知 是平面 的一条垂线， 是平面 的一条斜线， 求证： ,llBClAC AB AC , , ABl ABl lBC ABBCB lABC ACABC lAC Q QI Q 又 面 又面
6、判断下列命题的真假. (1) 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个 平面内的任何直线都垂直； (2) 如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这 个平面内的任何直线都不垂直； (3) 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直 线与这个平面垂直. 教材P115 练习B 2 真命题 假命题 假命题 如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌 面上，说明折痕为什么和桌面垂直. 教材P115 练习A 2 因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线. 如果一条直线垂直于一个平面内的 (1)三角形的两条边； (2)梯形的两条边； (3)圆的两条直径. 分别判断这条直线是否与平面垂直，并说明理
7、由. 教材P115 练习B 3 垂直 垂直 不一定垂直 三角形的两边，可以同时垂直于同一个平面吗？说明理由. 教材P115 练习A 3 不可能.因为垂直于同一平面的两条直线平行，不可能是 三角形的两个边. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角 形，ABBC2，CDSD1.证明：SD平面SAB. 线面垂直的判定与证明问题 （2）如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和 这个平面垂直，简记为“线线垂直 线面垂直”. （4）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面. （3）利用常用结论： 如果两条平行直线中的一条
8、直线垂直于一个平面，那么另一条也 垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直 于另一个平面. 判断或证明线面垂直的方法 （1）证明直线a垂直于平面内的任意一条直线，从而得直线a平面. 线线垂直的判定与证明问题 如图，已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAD是等腰三角形， 点M，N分别是AB，PC的中点.求证：MNCD. 判断或证明线线垂直的方法判断或证明线线垂直的方法 （1）两直线垂直的定义，判断两直线所成的角为90. （2）线面垂直的概念，a，b ， 则ab. （3）平面几何性质（如菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的 中线垂直于底边等）. 如图所示，平面CD，EA，垂足为A，EB，垂足为B，则CD与AB 的位置关系是 . 线线垂直的判定与证明问题 CDAB （1）直线与平面垂直的性质定理 （2）直线与平面所成的角 （3）知识结构图 课堂小结 谢谢观看
