（2021新人教B版）高中数学必修第二册第四章　指数函数、对数函数与幂函数 （课件+课时作业：课时训练学业达标）.zip

第1课时指数函数的概念 第1课时对数函数的概念 章末质量检测章末质量检测(四四)指数函数、对数函数指数函数、对数函数 与幂函数与幂函数 一、选择题(本大题共 12 小题，每小 题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.等于() lg 912 Alg 91B1lg 9 C8 D2 2 解析：因为 lg 9lg 101，所以 1lg 9. lg 912 答案：B 2函数 y的定义域是() 1 log2x2 A(，2) B(2，) C(2,3)(3，) D(2,4) (4，) 解析：由Error!得 x2 且 x3，故 选 C. 答案：C 3函数 f(x)的值域是() 1 3x1 A(，1) B(0,1) C(1，) D(，1) (1，) 解析： 3x11，01，函数值域 1 3x1 为(0,1) 答案：B 4若函数 yf(x)是函数 yax(a0 且 a1)的反函数，且 f(2)1，则 f(x)() Alog2x B. 1 2x Clog x D2x2 1 2 解析：f(x)logax，f(2) 1，loga21.a2. f(x)log2x. 答案：A 5幂函数 yf(x)的图像过点(4,2)， 则幂函数 yf(x)的图像是() 解析：设幂函数的解析式为 yx，幂函数 yf(x)的图像过点(4,2)， 24，解得 .y，其定义域为 1 2x 0，)，且是增函数当 0 x0.30.2 B21.250.2 D1.70.30.93.1 解析：A 中，函数 yx0.2在 (0，)上为增函数， 0.20.3，0.20.23； 1 2 1 2 C 中，0.811.25，y1.25x在 R 上是增函数，0.10.2， 1.250.11.250.2，即 0.80.11,0.93.10.93.1. 答案：D 11三个变量 y1，y2，y3随着变量 x 的变化情况如表： x 1357911 y 1 5 13 5 62 5 1 71 5 3 635 6 655 y 2 5 29 24 5 2 18 9 19 685 177 149 y 3 5 6. 10 6. 61 6.9 5 7.2 0 7.40 则与 x 呈对数型函数、指数型函数、 幂函数型函数变化的变量依次是() Ay1，y2，y3 By2，y1，y3 Cy3，y2，y1 Dy3，y1，y2 解析：三种常见增长型函数中，指数 型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长 越来越慢，幂函数型函数介于两者之间， 结合题表，只有 C 符合上述规律，故选 C. 答案：C 12关于 x 的方程 2xa2a 在 (，1上有解，则实数 a 的取值范围 是() A2，1)(0,1 B2，1(0,1 C2，1)(0,2 D2，1(0,2 解析：方程 2xa2a 在(，1 上有解， 又 y2x(0,2， 0a2a2， 即Error!解得2a1 或 0 x4 的解集为 2 2xx( 1 2) _ 解析：不等式 2 x4 可化为 2 2xx( 1 2) x4，等价于 x22xx4，即 ( 1 2) 2 2xx( 1 2) x23x40， 解得1x4. 答案：x|1x4 16.的值是_ ( 81 625) 1 4 解析： ( 81 625) 1 4 ( 625 81 ) 1 4 4 625 81 . 4 54 34 4 ( 5 3)4 5 3 答案： 5 3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 17(10 分)计算：(1) (0.96) (2 1 4) 1 2 0 1.52()4； (3 3 8) 2 3 3 2 3 4 (2)1007. (lg 1 4lg 25) 1 2 7 log 14 解析：(1)原式1 ( 9 4) 1 2( 27 8 ) 2 3 2( )4 ( 3 2) 3 2 1 22( )3 2 . 3 4 3 2 ( 3 2) ( 3 2) 3 2 1 2 5 2 (2)原式(lg 4lg 25) 100142101142014 1 2 6. 18(12 分)已知函数 f(x) |x|a. ( 2 3) (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的最大值等于 ，求 a 的 9 4 值 解析：(1)令 t|x|a，则 f(x) t， ( 2 3) 不论 a 取何值，t 在(，0上单调递 减，在0，)上单调递增， 又 y t 是单调递减的， ( 2 3) 因此 f(x)的单调递增区间是(，0， 单调递减区间是0，) (2)由于 f(x)的最大值是 ，且 9 4 2， 9 4 ( 2 3) 所以 g(x)|x|a 应该有最小值2， 从而 a2. 19(12 分)已知 f(x)log2(1x) log2(1x) (1)求函数 f(x)的定义域 (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并加以说 明 (3)求 f的值 ( 2 2 ) 解析：(1)由Error!得Error! 即1x1. 所以函数 f(x)的定义域为 x|1x1 (2)函数 f(x)为偶函数证明如下： 因为函数 f(x)的定义域为x|1x0 且 a1) (1)当 a2 时，f(x)4，求 x 的取值 范围 (2)若 f(x)在0,1上的最小值大于 1， 求 a 的取值范围 解析：(1)当 a2 时，f(x) 232x422,32x . 1 2 (2)y3ax 在定义域内单调递减， 当 a1 时，函数 f(x)在0,1上单调递 减，f(x)minf(1)a3a1a0，得 1a3. 当 0a1，不成立 综上：1a3. 22(12 分)某工厂因排污比较严重， 决定着手整治，一个月时污染度为 60， 整治后前四月的污染度如下表： 月 数 123 4 污 染 度 6 0 3 1 1 3 0 污染度为 0 后，该工厂即停止整治， 污染度又开始上升，现用下列三个函数模 拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： f(x)20|x4|(x1)，g(x)(x4) 20 3 2(x1)，h(x)30|log2x2|(x1)，其中 x 表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染 度 (1)选用哪个函数模拟比较合理，并 说明理由； (2)若以比较合理的模拟函数预测， 整治后有多少个月的污染度不超过 60? 解析：(1)用 h(x)模拟比较合理，理由 如下： 因为 f(2)40，g(2)26.7， h(2)30，f(3)20，g(3)6.7，h(3) 12.5， 由此可得 h(x)更接近实际值， 所以用 h(x)模拟比较合理 (2)因为 h(x)30|log2x2|在 x4 时 是增函数， 又因为 h(16)60，故整治后有 16 个 月的污染度不超过 60. 课时作业 1 一、选择题 1将 化为分数指数幂，其 3 2 2 形式是() A2 B2 1 2 1 2 C2 D2 1 2 1 2 解析： (2) (22 3 2 22 1 3 ) (2 ) 2 . 1 2 1 3 3 2 1 3 1 2 答案：B 2若 a (a2)0有意义，则 a 的取 1 4 值范围是() Aa0 Ba2 Ca2 Da0 且 a2 解析：要使原式有意义，只需 Error!， a0 且 a2. 答案：D 3化简的结果是() x3 x A B. xx C D. xx 解析：依题意知 x0，b0)： (1)a2； (2)； a 3 a2a3 (3)()2； (4) . 3 aab3 a2 6 a5 解析：(1)原式a2a aa . 1 2 1 2+ 2 5 2 (2)原式a a aa . 2 3 3 2 23 32 13 6 (3)原式(a )2(ab3) a a b a 1 3 1 2 2 3 1 2 3 2 b a b . 2 1 32 3 2 7 6 3 2 (4)原式a2aaa . 5 6 5 2- 6 7 6 9计算下列各式： (1)0.064 0(2)3 1 3 ( 5 7) 160.75； 4 3 (2) (9.6)0(1.5) ( 9 4) 1 2 ( 27 8 ) 2 3 2； (3)0.00210(2) (3 3 8) 2 3 1 2 5 1( )0. 52 解析：(1)原式0.411(2) 423 1 . 5 2 1 16 1 8 27 16 (2)原式1 ( 3 2)2 1 2 ( 3 2)3 2 3 2 122 . ( 3 2) 3 2 ( 3 2) ( 2 3) 1 2 (3)原式(1) 2 3 (3 3 8) 2 3 ( 1 500) 1 2 1500 10(2)1 10 52 ( 27 8 ) 2 3 1 25 1010201. 4 955 167 9 尖子生题库尖子生题库 10已知 a a，求下列各式 1 2 1 2 5 的值： (1)aa1；(2)a2a2；(3)a2a2. 解析：(1)将 a a两边平方， 1 2 1 2 5 得 aa125，则 aa13. (2)由 aa13 两边平方， 得 a2a229， 则 a2a27. (3)设 ya2a2，两边平方，得 y2a4a42 (a2a2)24 724 45， 所以 y3， 5 即 a2a23. 5 课时作业 10 一、选择题 1向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度 h 随时间 t 变化的函 数 hf(t)的图像如图所示则杯子的形状是() 解析：从题图看出，在时间段0，t1，t1，t2内水面高度是匀速上 升的，在0，t1上升慢，在t1，t2上升快，故选 A. 答案：A 22019福建质检当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量 大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的 放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探 测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是() A8B9 C10 D11 解析：设该死亡生物体内原有的碳 14 的含量为 1，则经过 n 个 “半衰期”后的含量为 n， ( 1 2) 则 nf(x)； 当 x(x1，x2)时，g(x)f(x) 9某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试 验数据 x1.99345.18 y0.991.582.012.353.00 现有如下 5 个模拟函数： y0.58x0.16；y2x3.02；yx25.5x8；ylog 2x；y x1.74. ( 1 2) 请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规 律 解析：画出散点图如图所示 由图可知，上述点大体在函数 ylog2x 上(对于 y0.58x0.16， 可代入已知点验证不符合)，故选择 ylog2x 可以比较近似地反映这 些数据的规律 尖子生题库尖子生题库 10判断方程 2xx2有几个实根 解析：设 y1x2，y22x，作出这两个函数的图像，由图像知，方 程一定有一个负根，当 x0 时，开始 y1x2在 y22x图像的下方，但 此时由于 y1x2比 y22x增长的速度快，所以存在 x0当 xx0时， y1x2的图像就会在 y22x的上方，故此时产生一个实根 x0，但最终 还是 y22x比 y1x2增长得快，故存在 x1，当 xx1时，y22x的图像 又在 y1x2的上方，故又产生一个实根 x1，以后就永远是 y22x比 y1x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根 课时作业 2 一、选择题 1下列函数中，指数函数的个数为() y x1；yax(a0，且 a1)；y1x；y2x1. ( 1 2) ( 1 2) A0 B1 C3 D4 解析：由指数函数的定义可判定，只有正确 答案：B 2已知 f(x)3xb(b 为常数)的图像经过点(2,1)，则 f(4)的值为() A3 B6 C9 D81 解析：由 f(x)过定点(2,1)可知 b2， 所以 f(x)3x2，f(4)9.可知 C 正确 答案：C 3当 x1,1时，函数 f(x)3x2 的值域是() A. B1,1 1， 5 3 C. D0,1 5 3，1 解析：因为指数函数 y3x在区间1,1上是增函数，所以 313x31，于是 3123x2312，即 f(x)1.故选 C. 5 3 答案：C 4在同一平面直角坐标系中，函数 f(x)ax 与 g(x)ax的图像 可能是() 解析：需要对 a 讨论： 当 a1 时，f(x)ax 过原点且斜率大于 1，g(x)ax是递增的； 当 0a1 时，f(x)ax 过原点且斜率小于 1，g(x)ax是减函数，显 然 B 正确 答案：B 二、填空题 5函数 f(x)的值域为_ 1ex 解析：由 1ex0 得 ex1，故函数 f(x)的定义域为x|x0，所 以 0ex1，1ex0,01ex0 且 a1) 因为 f(x)过点， (2， 1 16) 所以a2， 1 16 所以 a4. 所以 f(x)4x， 所以 f4 . ( 3 2) 3 2 1 8 答案： 1 8 7若关于 x 的方程 2xa10 有负根，则 a 的取值范围是 _ 解析：因为 2xa1 有负根， 所以 x0， 所以 02x1. 所以 0a11. 所以 1a1 且 210，故函数 y21 的定义域为x|x0， 1 x 1 x 1 x 函数的值域为(1,0)(0，) (2)函数 y的定义域为实数集 R，由于 2x20，则 ( 1 3) 2 22x 2x222. 故 09，所以函数 y的值域为(0,9 ( 1 3) 2 22x ( 1 3) 2 22x 尖子生题库尖子生题库 10设 f(x)3x，g(x) x. ( 1 3) (1)在同一坐标系中作出 f(x)，g(x)的图像； (2)计算 f(1)与 g(1)，f()与 g()，f(m)与 g(m)的值，从中 你能得到什么结论？ 解析：(1)函数 f(x)与 g(x)的图像如图所示： (2)f(1)313，g(1) 13； ( 1 3) f()3，g() 3； ( 1 3) f(m)3m，g(m) m3m. ( 1 3) 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其 函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于 y 轴 对称 课时作业 3 一、选择题 1设 f(x) |x|，xR，那么 f(x)是() ( 1 2) A奇函数且在(0，)上是增函数 B偶函数且在(0，)上是增函数 C奇函数且在(0，)上是减函数 D偶函数且在(0，)上是减函数 解析：因为 f(x) |x|x|f(x)， ( 1 2) ( 1 2) 所以 f(x)为偶函数 又当 x0 时，f(x) x在(0，)上是减函数， ( 1 2) 故选 D. 答案：D 2函数 ya|x|(0a1)的图像是() 解析：ya|x|(0a1)是偶函数，先画出 x0 时的图像，再作关 于 y 轴对称的图像，0a1，故选 C. 答案：C 3若 2a132a，则实数 a 的取值范围是() ( 1 2) ( 1 2) A(1，)B.( 1 2，) C(，1) D.( ，1 2) 解析：函数 y x在 R 上为减函数，所以 2a132a，所以 ( 1 2) a . 1 2 答案：B 4设 x0，且 1bxax，则() A0ba1 B0ab1 C1ba D1ab 解析：1bx，b0bx.又 x0，b1. bxax， x1，又 x0， 1， ( a b) a b ab，即 1ba. 答案：C 二、填空题 5三个数，中，最大的是_，最小的 ( 3 7) 3 7( 3 7) 4 7( 4 7) 3 7 是_ 解析：因为函数 y x在 R 上是减函数， ( 3 7) 所以， ( 3 7) 3 7( 3 7) 4 7 又在 y 轴右侧函数 y x的图像始终在函数 yx的图像的下 ( 3 7) ( 4 7) 方， 所以.即. ( 4 7) 3 7( 3 7) 3 7( 4 7) 3 7( 3 7) 3 7( 3 7) 4 7 答案： ( 4 7) 3 7( 3 7) 4 7 6函数 y的单调增区间是_ ( 1 2) 2 43xx 解析：令 tx24x3，则其对称轴为 x2.y 随 t 的增大而减 小 当 x2 时，t 随 x 增大而减小， 则 y 增大，即 y的单调增区间为(，2 ( 1 2) 2 43xx 答案：(，2 7已知 f(x)ax(a0 且 a1)，且 f(2)f(3)，则 a 的取 值范围是_ 解析：f(x)ax x， ( 1 a) f(2)f(3)， 23，即 a2a3. ( 1 a) ( 1 a) a1，即 0a1. 答案：(0,1) 三、解答题 8比较下列各组值的大小： (1)1.80.1与 1.80.2； (2)1.90.3与 0.73.1； (3)a1.3与 a2.5(a0，且 a1) 解析：(1)由于 1.81，所以指数函数 y1.8x在 R 上为增函 数所以 1.80.11.80.2. (2)因为 1.90.31,0.73.11，所以 1.90.30.73.1. (3)当 a1 时，函数 yax是增函数，此时 a1.3a2.5， 当 0a1 时，函数 yax是减函数，此时 a1.3a2.5. 故当 0a1 时，a1.3a2.5，当 a1 时，a1.3a2.5. 9函数 f(x)的定义域为集合 A，关于 x 的不等式 2x x1 2x2ax(aR)的解集为 B，求使 ABB 的实数 a 的取值范 ( 1 2) 围 解析：由0，解得 x2 或 x1， 2x x1 于是 A(，2(1，)， 2x2ax2xax2xaxxa，所以 ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) B(，a) 因为 ABB，所以 BA，所以 a2， 即 a 的取值范围是(，2 尖子生题库尖子生题库 10已知函数 f(x)ax在 x2,2上恒有 f(x)2，求 a 的取值 范围 解析：当 a1 时， 函数 f(x)ax在2,2上单调递增， 此时 f(x)f(2)a2， 由题意可知 a22，即 a，所以 1a. 22 当 0a1 时， 函数 f(x)ax在2,2上单调递减， 此时 f(x)f(2)a2， 由题意可知 a22，即 a，所以a1. 2 2 2 2 综上所述，所求 a 的取值范围是(1，) ( 2 2 ，1) 2 课时作业 4 一、选择题 1对于下列说法： (1)零和负数没有对数； (2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以 10 为底的对数叫做自然对数； (4)以 e 为底的对数叫做常用对数 其中错误说法的个数为() A1B2 C3 D4 解析：只有符合 a0，且 a1，N0，才有 axNxlogaN， 故(2)错误由定义可知(3)(4)均错误只有(1)正确 答案：C 2将 29 写成对数式，正确的是() ( 1 3) Alog92 Blog92 1 3 1 3 Clog (2)9 Dlog9(2) 1 3 1 3 解析：根据对数的定义，得 log92，故选 B. 1 3 答案：B 3若 logabc 则() 2 Aa2bc Ba2cb Cbc2a Dc2ab 解析：logabc(a2)cba2cb. 2 答案：B 4327lg 0.01ln e3等于() 3 log 4 2 3 A14 B0 C1 D6 解析：327lg 0.01ln 3 log 4 2 3 e34lg3432(2)30.选 B. 3 272 1 100 答案：B 二、填空题 5求下列各式的值： (1)log636_. (2)ln e3_. (3)log50.2_. (4)lg 0.01_. 解析：(1)log6362. (2)ln e33. (3)log50.2log5511. (4)lg 0.01lg 1022. 答案：(1)2(2)3(3)1(4)2 6ln 1log(1)(1)_. 22 解析：ln 1log (1)011. ( 2-1) 2 答案：1 710lg 2ln e_. 解析：ln e1， 所以原式10lg2110lg 2101 2 . 1 10 1 5 答案： 1 5 三、解答题 8将下列指数式与对数式互化： (1)log2164; (2)log273； 1 3 (3)logx6; (4)4364； 3 (5)32 ； (6) 216. 1 9 ( 1 4) 解析：(1)2416; (2) 327； ( 1 3) (3)()6x; (4)log4643； 3 (5)log32; (6)log 162. 1 9 1 4 9求下列各式中 x 的值： (1)log3(log2x)0； (2)log2(lgx)1； (3)5x. 5 2log 3 解析：(1)log3(log2x)0，log2x1.x212. (2)log2(lg x)1，lg x2.x102100. (3)x5. 5 2log 3 25 3 尖子生题库尖子生题库 10计算下列各式： (1)2ln elg 13； 3 log 2 (2)32ln 1. 3 log 4lg 10 解析：(1)原式2102224. (2)原式320 3 log 41 3311 3 log 4 1 . 4 3 7 3 课时作业 5 一、选择题 1若 a0，a1，xy0，下列式子： logaxlogayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)； logalogaxlogay；loga(xy)logaxlogay.其中正确的个数为() x y A0 个B1 个 C2 个 D3 个 解析：根据对数的性质知 4 个式子均不正确 答案：A 2化简 log6122log6的结果为() 1 22 A6 B12 22 Clog6 D. 3 1 2 解析： log6122log6 (1log62)log62 (1log62) 1 22 1 2 1 2 log63log6. 1 23 答案：C 3设 lg 2a，lg 3b，则() lg 12 lg 5 A. B. 2ab 1a a2b 1a C. D. 2ab 1a a2b 1a 解析：. lg 12 lg 5 lg 3lg 4 lg 5 lg 32lg 2 1lg 2 2ab 1a 答案：C 4若 log34log8mlog416，则 m 等于() A3 B9 C18 D27 解析：原式可化为 log8m， 2 log34 lg m 3lg 2 2 lg 4 lg 3 即 lg m，lg mlg 27，m27. 6lg 2lg 3 2lg 2 答案：D 二、填空题 5lg 10 000_；lg 0.001_. 解析：由 10410 000 知 lg 10 0004,1030.001 得 lg 0.0013，注意常用对数不是没有底数，而是底数为 10. 答案：43 6若 log5log36log6x2，则 x 等于_ 1 3 解析：由换底公式， 得2， lg 3 lg 5 lg 6 lg 3 lg x lg 6 lg x2lg 5，x52. 1 25 答案： 1 25 7.(lg 32lg 2)_. lg 2lg 5lg 1 2lg 1 2lg 8 解析：原式lglg 244. lg2 50 lg(1 2)2 8 32 2 1 lg 2 答案：4 三、解答题 8化简：(1)； lg 32 5lg 9 3 5lg 27lg 3 lg 81lg 27 (2)(lg 5)2lg 2lg 502. 2 1 1+ log 5 2 解析：(1)方法一(正用公式)： 原式 lg 34 5lg 3 9 10lg 3 1 2lg 3 4lg 33lg 3 . (1 4 5 9 10 1 2)lg 3 lg 3 11 5 方法二(逆用公式)： (2)原式(lg 5)2lg 2(lg 51)212lg 5(lg 5lg 2) 2 log5 lg 2212. 55 9计算：(1)log1627log8132； (2)(log32log92)(log43log83) 解析：(1)log1627log8132 lg 27 lg 16 lg 32 lg 81 . lg 33 lg 24 lg 25 lg 34 3lg 3 4lg 2 5lg 2 4lg 3 15 16 (2)(log32log92)(log43log83) ( log32log32 log39)( log23 log24 log23 log28) ( log321 2log32)( 1 2log23 1 3log23) log32 log23 . 3 2 5 6 5 4 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 5 4 尖子生题库尖子生题库 10已知 2x3y6z1，求证： . 1 x 1 y 1 z 证明：设 2x3y6zk(k1)， xlog2k，ylog3k，zlog6k， logk2， logk3， logk6logk2logk3， 1 x 1 y 1 z . 1 z 1 x 1 y 课时作业 6 一、选择题 1下列函数是对数函数的是() Ay2log3x Byloga(2a)(a0，且 a1) Cylogax2(a0，且 a1) Dyln x 解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有 “ylogax”的形式，A，B，C 全错，D 正确 答案：D 2若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为() Aylog2x By2log4x Cylog2x 或 y2log4x D不确定 解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为 ylogax(a0，且 a1，x0)，则 2loga4 即 a24 得 a2.故所求 解析式为 ylog2x. 答案：A 3设函数 y的定义域为 A，函数 yln(1x)的定义域 4x2 为 B，则 AB() A(1,2) B(1,2 C(2,1) D2,1) 解析：由题意可知 Ax|2x2，Bx|x1，故 ABx|2x1 答案：D 4已知 a0，且 a1，函数 yax与 yloga(x)的图像只能 是下图中的() 解析：由函数 yloga(x)有意义，知 x0，所以对数函数的图 像应在 y 轴左侧，可排除 A，C.又当 a1 时，yax为增函数，所以图 像 B 适合 答案：B 二、填空题 5若 f(x)logax(a24a5)是对数函数，则 a_. 解析：由对数函数的定义可知 Error!，a5. 答案：5 6已知函数 f(x)log3x，则 ff(15)_. ( 9 5) 解析：ff(15)log3log315log3273. ( 9 5) 9 5 答案：3 7函数 f(x)loga(2x3)(a0 且 a1)的图像恒过定点 P，则 P 点的坐标是_ 解析：令 2x31，解得 x2，且 f(2)loga10 恒成立，所以 函数 f(x)的图像恒过定点 P(2,0) 答案：(2,0) 三、解答题 8求下列函数的定义域： (1)ylog3(1x)； (2)y； 1 log2x (3)ylog7. 1 13x 解析：(1)由 1x0，得 x1， 函数 ylog3(1x)的定义域为(，1) (2)由 log2x0，得 x0 且 x1. 函数 y的定义域为x|x0 且 x1 1 log2x (3)由0，得 x . 1 13x 1 3 函数 ylog7的定义域为. 1 13x (， 1 3) 9已知 f(x)log3x. (1)作出这个函数的图像； (2)若 f(a)f(2)，利用图像求 a 的取值范围 解析：(1)作出函数 ylog3x 的图像如图所示 (2)令 f(x)f(2)，即 log3xlog32， 解得 x2. 由图像知，当 0a2 时， 恒有 f(a)f(2)所求 a 的取值范围为 0a2. 尖子生题库尖子生题库 10已知函数 ylog2x 的图像，如何得到 ylog2(x1)的图像？ ylog2(x1)的定义域与值域是多少？与 x 轴的交点是什么？ 解析：ylog2xylog2(x1)，如图 左移1个单位 定义域为(1，)，值域为 R，与 x 轴的交点是(0,0) 课时作业 7 一、选择题 1设 alog0.50.9，blog1.10.9，c1.10.9，则 a，b，c 的大小 关系为() Aabc Bbac Cbca Dacb 解析：因为 0log0.51alog0.50.9log0.50.51， blog1.10.9log1.110，c1.10.91.101， 所以 bac，故选 B. 答案：B 2y12x，y2x2，y3log2x，当 2x4 时，有() Ay1y2y3 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy2y3y1 解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图像(图略)， 在区间(2,4)内，从上到下图像依次对应的函数为 y2x2，y12x，y3log2x，故 y2y1y3. 答案：B 3若 loga1(a0，且 a1)，则实数 a 的取值范围是() 3 4 A. B.(1，) (0， 3 4) (0， 3 4) C(1，) D(0,1) 解析：当 a1 时，loga01，成立 3 4 当 0a1 时，ylogax 为减函数 由 loga1logaa，得 0a . 3 4 3 4 综上所述，0a 或 a1. 3 4 答案：B 4函数 ylog0.4(x23x4)的值域是() A(0,2 B2，) C(，2 D2，) 解析：x23x4 2 ，又x23x40，则 (x 3 2) 25 4 25 4 0 x23x4，函数 ylog0.4x 为(0，)上的减函数，则 25 4 ylog0.4(x23x4)log0.42，函数的值域为2，) 25 4 答案：B 二、填空题 5函数 f(x)logax(a0，且 a1)在2,3上的最大值为 1，则 a_. 解析：当 a1 时，f(x)的最大值是 f(3)1， 则 loga31，a31.a3 符合题意 当 0a1 时，f(x)的最大值是 f(2)1. 则 loga21，a21.a2 不合题意，综上知 a3. 答案：3 6已知函数 f(x)log2为奇函数，则实数 a 的值为 ax 1x _ 解析：由奇函数得 f(x)f(x)， log2 log2， ax 1x ax 1x ，a21， ax 1x 1x ax 因为 a1， 所以 a1. 答案：1 7如果函数 f(x)(3a)x与 g(x)logax 的增减性相同，则实数 a 的取值范围是_ 解析：若 f(x)，g(x)均为增函数，则Error!则 1a2； 若 f(x)，g(x)均为减函数，则Error!无解 答案：(1,2) 三、解答题 8比较下列各组对数值的大小： (1)log1.6 与 log2.9； 1 5 1 5 (2)log21.7 与 log23.5； (3)log3 与 log3； 1 2 1 5 (4)log0.3 与 log20.8. 1 3 解析：(1)ylogx 在(0，)上单调递减，1.62.9， 1 5 log1.6log2.9. 1 5 1 5 (2)ylog2x 在(0，)上单调递增，而 1.73.5， log21.7log23.5. (3)借助 ylogx 及 ylogx 的图像，如图所示 1 2 1 5 在(1，)上，前者在后者的下方， log3log3. 1 2 1 5 (4)由对数函数性质知，log0.30，log20.80， 1 3 log0.3log20.8. 1 3 9已知 loga(2a3)loga3a，求 a 的取值范围 解析：(1)当 a1 时，原不等式等价于Error!解得 a3. (2)当 0a1 时，原不等式等价于Error! 解得 0a1. 综上所述，a 的取值范围是(0,1)(3，) 尖子生题库尖子生题库 10已知 a0 且 a1，f(logax). a a21(x 1 x) (1)求 f(x)； (2)判断 f(x)的单调性和奇偶性； (3)对于 f(x)，当 x(1,1)时，有 f(1m)f(12m)0，求 m 的取值范围 解析：(1)令 tlogax(tR)， 则 xat，且 f(t)， a a21(at 1 at) 所以 f(x)(axax)(xR) a a21 (2)因为 f(x)(axax) a a21 f(x)， 且 xR，所以 f(x)为奇函数 当 a1 时，axax为增函数， 并且注意到0， a a21 所以这时 f(x)为增函数； 当 0a1 时，类似可证 f(x)为增函数 所以 f(x)在 R 上为增函数 (3)因为 f(1m)f(12m)0，且 f(x)为奇函数， 所以 f(1m)f(2m1) 因为 f(x)在(1,1)上为增函数， 所以Error! 解之，得 m1. 2 3 即 m 的取值范围是. ( 2 3，1) 课时作业 8 一、选择题 1若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的反函数是 g(x)，且 g1，则 f等于() ( 1 4) ( 1 2) A.B2 2 C. D. 1 2 2 2 2 解析：由已知得 g(x)logax.因为 gloga1，所以 a4， ( 1 4) 1 4 所以 f(x)4x，故 f4 . ( 1 2) 1 2 1 2 答案：C 2若函数 yex的图像与函数 yf(x)的图像关于直线 yx 对称， 则有() Af(2x)e2x(xR) Bf(2x)ln 2ln x(x0) Cf(2x)2ex(xR) Df(2x)ln xln 2(x0) 解析：由题意，知 f(x)ln x. 故 f(2x)ln(2x)ln xln 2. 答案：D 3函数 y1ax(0a1)的反函数的图像大致是() 解析：先画出 y1ax的图像，由反函数的图像与原函数的图 像关于直线 yx 对称可画出反函数的图像 答案：A 4设函数 f(x)ax，g(x)x，h(x)logax，正实数 a 满足 1 2 a0.51 时必有() Ah(x)g(x)f(x) Bh(x)f(x)g(x) Cf(x)g(x)h(x) Df(x)h(x)g(x) 解析：由 a0.5a0.2，知 0a1 时，0ax1，logax0. 1 2 h(x)f(x)0，且 a1)的反函数的图像过定点 _ 解析：令 3x11 得 x ，f0，即 f(x)图像过定点，故 2 3 ( 2 3) ( 2 3，0) 它的反函数图像过定点. (0， 2 3) 答案：( 0，2 3) 7已知 f(x)，则 f1_. 13x 13x ( 4 5) 解析：令 ，得 3x ，即 x2， 13x 13x 4 5 1 9 故 f12. ( 4 5) 答案：2 三、解答题 8求下列函数的反函数： (1)ylog (2x1)； 1 3 (2)y. 2x1 2x1 解析：(1)由 ylog (2x1)，得 2x1 y， 1 3 ( 1 3) 所以 x y ， 1 2 ( 1 3) 1 2 对换 x，y 得 y x ， 1 2( 1 3) 1 2 所以 ylog (2x1)的反函数是 y x . 1 3 1 2( 1 3) 1 2 (2)由 y，得 2x(y1)y1. 2x1 2x1 y1，2x. y1 y1 2x0，0，解得 y1 或 y1 或 x1 由式，得 xlog2. y1 y1 因此，所求的反函数为 ylog2(x1) x1 x1 9若点 A(1,2)既在函数 f(x)ax2b(x0)的图像上，又在 f(x) 的反函数 f1(x)的图像上，求 a，b 的值 解析：f1(1)2， f(2)1.又 f(1)2， Error!解得Error! 尖子生题库尖子生题库 10已知 f(x)log4(4x1) (1)求 f(x)的定义域； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)求 f(x)在区间上的值域 1 2，2 解析：(1)由 4x10，解得 x0， 因此 f(x)的定义域为(0，) (2)设 0 x1x2，则 04141， 1 x 2 x 因此 log4(41)log4(41)，即 f(x1)f(x2)， 1 x 2 x 故 f(x)在(0，)上单调递增 (3)因为 f(x)在区间上单调递增， 1 2，2 又 f0，f(2)log41