1、11.1.3多面体与棱柱 11.1.4棱锥与棱台 一、多面体与棱柱 1.思考 (1)观察下面物体,你能说出各组物体的共同点吗? 提示:几何体的表面由若干个平面多边形围成. (2)观察下列多面体,有什么共同特点? 提示:有两个面相互平行;其余各面都是平行四边形;每相邻两个四 边形的公共边都互相平行. (3)棱柱的侧面一定是平行四边形吗? 提示:根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知,所以棱柱的侧面 一定是平行四边形. (4)多面体最少有几个面? 提示:最少有4个面. 2.填空 (1)多面体的概念 (2)棱柱的概念 3.做一做 (1)判断正误. 棱柱的侧面可以不是平行四边形. () 各面都是三角形的
2、多面体是三棱锥. () 棱台的上下底面互相平行,且各侧棱延长线相交于一点. () 答案: (2)下面属于多面体的是(填序号). 建筑用的方砖;埃及的金字塔;球. 答案: (3)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为 6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为. 解析:棱柱的侧面积S侧=364=72(cm2). 答案:72 cm2 二、棱锥与棱台 1.思考 (1)观察下列多面体,有什么共同特点? 提示:有一个面是多边形;其余各面都是有一个公共顶点的三角形. (2)观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系? 提示:区别:有两个面相互平行. 联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底
3、面和截面之间的 部分即该几何体. (3)棱台的上下底面互相平行,各侧棱延长线一定相交于一点吗? 提示:根据棱台的定义可知其各侧棱延长线一定交于一点. 2.填空 (1)棱锥的概念 (2)棱台的概念 3.做一做 (1)在三棱锥A-BCD中,可以当作棱锥底面的三角形有() A.1个 B.2个C.3个 D.4个 解析:每个面都可作为底面,有4个. 答案:D (2)(多选题)棱台具备的特点是() A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都平行 D.侧棱延长后都交于一点 解析:由棱台的定义和结构特征，C为棱台不具备的特点. 答案:ABD (3)下面各图形所表示的几何体中,不是棱锥的为() 解析:A中不符
4、合棱锥定义,不是棱锥,B为四棱锥,C，D均为五棱锥. 答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 多面体的识别与判断多面体的识别与判断 例1如图所示为长方体ABCD-ABCD,当用平面BCFE把这个长方 体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说 明理由;如果是,指出底面及侧棱. 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 解:截面BCFE右侧部分是棱柱,因为它满足棱柱的定义. 它是三棱柱BEB-CFC, 其中BEB和CFC是底面, EF,BC,BC是侧棱. 截面BCFE左侧部分也是棱柱. 它是四棱柱ABEA-DCFD, 其中四边形ABEA和四边形DCFD是
5、底面. AD,EF,BC,AD为侧棱. 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 变式训练1如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一 个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中, 棱柱的个数是. 解析:由棱柱的定义可得有3个. 答案:3 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 棱柱的结构特征棱柱的结构特征 例2下列关于棱柱的说法: 所有的面都是平行四边形; 每一个面都不会是三角形; 两底面平行,并且各侧棱也平行; 被平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中说法正确的序号是. 解析:错误,棱柱的底面不一定是平行四边形; 错误,三棱柱的
6、底面是三角形; 正确,由棱柱的定义易知; 正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正 确的序号是. 答案: 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 变式训练2(多选题)下列四个命题中,真命题为 ( ) A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的各个侧面都是平行四边形 C.棱柱的两底面是全等的多边形 D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 解析:A错,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底 面,B、C、D是正确的. 答案:BCD 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 棱锥、棱台的结构特征棱锥、棱台的结构特征 例3下列几种说法中,正确的有()
7、用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; 棱台的侧面一定不会是平行四边形; 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A.0个B.1个 C.2个D.3个 解析:必须用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之 间的部分才是棱台,故不正确;棱台的侧面一定是梯形,故正 确;不一定是棱台,因为各条侧棱不一定相交于一点,故不正确. 答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 反思感悟关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法 (1)举反例法. 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征 的某些说法不正确. (2)直接法. 探究一探究二探究三探究四探
8、究五思维辨析当堂检测 变式训练3下列关于棱锥、棱台的说法: 棱台的底面一定不会是平行四边形; 棱锥的侧面只能是三角形; 由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中说法正确的序号是. 解析:不正确,棱台的底面可以是平行四边形还可以是其他多边 形; 正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形; 正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; 错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 答案: 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 多面体的侧面积或表面积多面体的侧面积或表面积 例4(1)在三棱柱ABC-A1B1C1 中,BAC=90,AB=AC=a
9、,AA1B1=AA1C1=60, BB1C1=90,侧棱长为b,则其侧面积为() 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 解析:如图, 由已知条件可知,侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形, 侧面BB1C1C为矩形. 在ABC中,BAC=90,AB=AC=a, 答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 解:因为四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,所以各侧面都是全等的正 三角形. 设E为AB的中点,连接SE, (2)如图所示是棱长均为5、底面为正方形的四棱锥S-ABCD,求它的 侧面积、表面积. 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 (3)已知正四
10、棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投 影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧 面积. 解:如图,E,E1分别是BC、B1C1的中点, O,O1分别是下、上底面正方形的中心, 则O1O为正四棱台的高,则O1O=12. 连接OE,O1E1, 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 延伸探究在本例(3)中,你能利用棱锥的有关知识求解吗? 解:如图,正四棱台的侧棱延长交于一点P. 取B1C1,BC的中点E1,E, 则EE1的延长线必过点P(以后可以证明). O1,O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心. 由正棱锥的定义,CC1的延长线过点P,
11、 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 变式训练4(1)一个四棱台的上、下底面都为正方形,且上底面的中 心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2, 侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为() 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 解析:如图所示,设O1，O分别为棱台上、下底面的中心,M1，M分别 为B1C1，BC的中点,连接O1M1，OM,则M1M为斜高.过点M1作 M1HOM于点H, 则M1H=OO1, 答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 (2)已知一个四棱锥底面为正方形且顶点在底面正方形的投影为底 面正方形的中心(正四棱锥
12、),底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的 夹角为30,如图所示,求正四棱锥的侧面积和表面积(单位:cm2). 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 解:正棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成RtPOE. OE=2 cm,OPE=30, S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2). 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 多面体的平面展开图多面体的平面展开图 例5如图是三个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体? 解:五棱柱;五棱锥;三棱台. 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 A.南B.北C.西 D.下 解析:将所给图形还原为正方体,最上面为,最左面
13、为东,最里面为 上,将正方体旋转后让左面向东,让“上”面向上可知“”的方位为北. 答案:B 变式训练5纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、 东、南、西、北,如下图,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪 开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图.则标“”的面的方 位是() 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 截面周长最小问题 典例如图所示,在侧棱长为2 的正三棱锥V-ABC 中,AVB=BVC=CVA=40,过点A作截面AEF分别交VB,VC于 点E,F,求截面AEF周长的最小值. 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 分析将正三棱锥沿侧棱VA展开求截面周长转化为
14、求线段长 利用正三棱锥的性质求解 解:将三棱锥V-ABC沿侧棱VA剪开,将其侧面展开图平铺在一个平 面上,如图所示, 则AEF的周长=AE+EF+FA1. 因为AE+EF+FA1AA1, 所以线段AA1(即A,E,F,A1四点共线时)的长即所求AEF周长的最 小值. 作VDAA1,垂足为点D. 由VA=VA1,知D为AA1的中点. 由已知AVB=BVC=CVA1=40, 得AVD=60. 即AA1=2AD=6. 所以截面AEF周长的最小值是6. 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 1.有两个面平行的多面体不可能是() A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体 解析:棱锥的任意两个面
15、都相交,不可能有两个面平行,所以不可能 是棱锥. 答案:B 2.(多选题)如图所示,不是正四面体(正四面体是各棱长都相等的三 棱锥)的展开图的是() 解析:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现A，B可折成正四 面体,C，D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体. 故选CD. 答案:CD 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 3.下列几何体中,是棱柱,是棱锥, 是棱台(填序号). 解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱,是棱 锥,是棱台. 答案: 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 4.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个角 度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是. 解析:倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱或三棱柱. 答案:四棱柱或三棱柱 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 5.如图,四边形ABCD是一个正方形,E,F分别是AB和BC的中点,沿折 痕DE,EF,FD折起得到一个空间几何体,请你动手折一折,看看这个 空间几何体是什么几何体. 解:折起后是一个三棱锥,如图所示.
