（2021新人教B版）高中数学必修第四册第十章 10.2复数的运算 ppt课件.zip

10.2.1复数的加法与减法 第十章复数 学习目标 1.能进行复数的代数形式的加、减法运算. 2.了解复数加、减运算的几何意义，能够利用“数形结合”的 思想解题. 重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几 何意义. 难点：复数减法的运算法则. 知识梳理 一、复数的加法 1. 复数的代数形式的加法运算 一般地，设z1a+bi，z2c+di（a，b，c，d R），称z1+z2 为 z1与z2的和，并规定 z1+z2（a+bi）+（c+di）（a+c）+（b+d）i. 显然，两个复数的和仍然是复数. 容易证明，复数的加法运算满足交换律与结合律， 即对任意复数z1，z2，z3，有 z1+z2z2+z1， （z1+z2）+z3z1+（z2+z3）. 2. 复数加法的几何意义 【尝试与发现】 设z12+2i，z2-1-4i，求出z1+z2，并在复平面内分别作出z1， z2，z1+z2所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义. 复数加法的几何意义的具体解释： 图（1） 图（2） 如何正确理解复数加法的几何意义？ （1）复数加法的几何意义，就是向量加法的平行四边形法则. （2）它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图 形的变换转化为复数运算去处理；另一方面对于一些复数的运 算也可以给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中. 等号成立的条件： 当|z1+z2|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线； 当|z1+z2|z1|-|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线. 由复数加法的几何意义还可以得出 |z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|. 二、复数的减法 1. 复数的代数形式的减法运算 在实数中，减去一个数可以看成加上这个数的相反数.例如， 因为3的相反数为-3，因此8-38+（-3）5. 在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？ 一般地，如果z1a+bi，z2c+di（a，b，c，dR），则 z1-z2（a+bi）-（c+di）（a-c）+（b-d）i. 显然，两个复数的差仍然是复数. 【名师点拨】 若把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法 类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”就可以了. 【注意】 同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律， 即一般来说，z1-z2z2-z1. 2. 复数减法的几何意义 复数减法的几何意义的具体解释： 图（1） 图（2） 如何理解复数减法的几何意义？ 1.复数减法的几何意义就是平面向量减法的三角形法则. 2.在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同 尾连向被减”的方法确定. 由复数减法的几何意义可以得出 |z1|-|z2|z1-z2|z1|+|z2|. 等号成立的条件： 当|z1-z2|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线； 当|z1-z2|z1|-|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线. 【探索与研究】 根据z1-z2的几何意义讨论下列各式的几何意义. （1）|z-（1+i）|2； （2）|z+1|+|z-1|2. 提示：（1）复数z表示的点的轨迹是以（1，1）为圆心， 半径为2的圆； （2）数轴上表示z的点到表示-1，1的点的距离之和为2， 所以复数z表示的点的轨迹是两点-1，1之间的线段. 【拓展】复平面内点的轨迹 （1）|z|表示复数z对应的点到原点的距离，|z1-z2|表示 复平面内两点间的距离. （2）|z-z0|a（aR）表示以点Z0为圆心，半径为a的 圆的方程. （3）|z-z1|z-z2|表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程. 【名师点拨】 因为复数相加、相减之后的结果都还是复数，所以当然可以 进行有限个复数的加减运算，也可以进行加、减法的混合运 算，下面以实例进行说明. 示例计算（2-5i）+（3+7i）-（5+4i）. 解：根据定义有（2-5i）+（3+7i）-（5+4i） （2+3-5）+（-5+7-4）i -2i. 【类题通法类题通法】 （1）类比实数的运算，若有括号，则先计算括号内的； 若没有括号，则可从左到右依次进行计算. （2）算式中出现的字母，先要确定其是不是实数，再确 定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加减. 常考题型 一、复数的加法与减法的代数运算 复数加、减运算的一般方法 1.两个复数相加减，类似于多项式的加减运算，只需将 两个复数的实部与虚部对应相加减即可. 2.复数的加、减混合运算，运算顺序与对括号的处理方 法与实数加、减混合运算是一样的. B B 3.2019河南安阳高二检测若z12+i，z23+ai（aR）， z1+z2对应的点在实轴上，则a. 4.2019福州高三模拟已知|z|3，且z+3i是纯虚数，则 z. 5.2019山东临沂高二检测（1-2i）+（-2+3i）+（3-4i）+ （-4+5i）+（-2018+2019i）+（2019-2020i）. 二、复数加法与减法的几何意义 C 3.已知复数z11+2i，z2-2+i，z3-1-2i，它们在复平面内的对应点是 一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 三、与复数有关的轨迹和最值问题 例3集合Mz|z-1|1，zC，Nz|z-1-i|z-2|，zC， 集合PMN. （1）指出集合P在复平面内所表示的图形； （2）求集合P中复数模的最大值和最小值. 【解题提示】根据复数的向量表示及模的几何意义可确定集合M ，N在复平面内所对应的点集分别为复平面内的圆及其内部、线段 的垂直平分线，集合PMN在复平面内所对应的点集是两图形的 公共部分，可利用数形结合思想求解. 与复数有关的轨迹和最值问题的解题思路 1.|z-z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时， 要把绝对值符号内变为两复数差的形式. 2.|z-z0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. 3.涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数 表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行 求解. 训练题 2019湖北孝感高二检测已知zC，且|z+3-4i|1，求|z|的 最大值与最小值. 解：由于|z+3-4i|z-（-3+4i）|1，所以在复平面内， 复数z对应的点Z与复数-3+4i对应的点C之间的距离等于1， 故复数z对应的点Z的轨迹是以C（-3，4）为圆心，半径等 于1的圆，如图所示.而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距 离，又|OC|5，所以点Z到原点O的最大距离为圆心C到原 点的距离加上半径长，得5+16，最小距离为圆心到原点 的距离减去半径长，得5-14. 即|z|max6，|z|min4. 小结 10.2.2复数的乘法与除法 第十章复数 学习目标 1.能进行复数代数形式的乘法和除法计算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的 分配律. 3.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集. 重点：复数代数形式的乘法和除法运算法则. 难点：复数除法的运算法则. 知识梳理 一、复数的乘法 1. 复数的乘法法则 一般地，设z1a+bi，z2c+di（a，b，c，dR）， 称z1z2（或z1z2）为z1与z2的积，并规定 z1z2（a+bi）（c+di）ac+adi+bci+bdi2 （ac-bd）+（ad+bc）i. 【名师点拨】为了算出两个复数的积，只需要按照多项式 乘法的方式进行，并利用i2-1即可. 对复数乘法的几点说明： （1）类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似， 可仿照多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开（i2换成-1）. （2）两个复数的积是一个确定的复数. （3）多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用. （4）可以把两个复数的乘法运算扩充 到多个复数的连乘积的形式，按从左到右的顺序依次进行. 2.复数乘法满足的运算律 复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法 满足分配律，即对任意复数z1，z2，z3，有 z1z2z2z1，（z1z2）z3z1（z2z3）， z1（z2+z3）z1z2+z1z3. 复数乘法运算律的证明： 设z1a1+b1i，z2a2+b2i，z3a3+b3i. （1）z1z2（a1+b1i）（a2+b2i）（a1a2-b1b2）+（ b1a2+a1b2）i， z2z1（a2+b2i）（a1+b1i）（a2a1-b2b1）+（b2a1+a2b1）i， 又a1a2-b1b2a2a1-b2b1，b1a2+a1b2b2a1+a2b1， z1z2z2z1. （2）（z1z2）z3（a1+b1i）（a2+b2i）（a3+b3i） （a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i（a3+b3i） （a1a2-b1b2）a3-（b1a2+a1b2）b3+（b1a2+a1b2）a3+ （a1a2-b1b2）b3i （a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3- b1b2b3）i， 同理可证，z1（z2z3）（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（ b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3）i， （z1z2）z3z1（z2z3）. （3）z1（z2+z3）（a1+b1i）（a2+b2i）+（a3+b3i） （a1+b1i）（a2+a3）+（b2+b3）i a1（a2+a3）-b1（b2+b3）+b1（a2+a3）+ a1（b2+b3）i （a1a2+a1a3-b1b2-b1b3）+（b1a2+b1a3+a1b2+a1b3）i， z1z2+z1z3（a1+b1i）（a2+b2i）+（a1+b1i）（a3+b3i） （a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i+（a1a3-b1b3）+ （b1a3+a1b3）i （a1a2-b1b2+a1a3-b1b3）+（b1a2+a1b2+b1a3+a1b3）i （a1a2+a1a3-b1b2-b1b3）+（b1a2+b1a3+a1b2+a1b3）i， z1（z2+z3）z1z2+z1z3. 【思考】如果z1与z2互为共轭复数，那么z1+z2，z1-z2， z1z2分别是怎样的数？ 提示：令z1a+bi，则z2a-bi（a，bR）， z1+z2（a+bi）+（a-bi）2aR. z1-z2（a+bi）-（a-bi）2bi， 当b0时，z1-z2为纯虚数；当b0时，z1-z20. z1z2（a+bi）（a-bi）a2+b2R. 3.共轭复数的积 4.复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂）， 并记作zn，即 可以验证，当m，n均为正整数时， zmznzm+n，（zm）nzmn，（z1z2）nzn1zn2. 以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等，对于复数来 说也是成立的，即 （z1+z2）2z21+2z1z2+z22， z21-z22（z1+z2）（z1-z2）. 【思考】i的幂有何特点？ 二、复数的除法 1.复数除法的定义 2.复数的除法法则 3.非零复数的0次幂与负整数次幂 三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集 【尝试与发现】 我们已经知道，虚数单位i是方程x2-1的一个解，还有其他 复数是这个方程的解吗？如果实数a0，那么方程x2-a在复数 范围内的解集是什么？ 示例在复数范围内求方程x2+2x+30的解集. 仍满足一元二次方程根与系数 之间的关系！ 当a，b，c都是实数且a0时，关于x的方程ax2+bx+c0称为 实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 （1）当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2-4ac0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根； 1. 当0时，方程有两个相等的实数根； 2. 当0时，方程有两个不相等的实数根； 当0时，方程有两个相等的实数根； 当0时，方程无实数根，但有两个互为共轭的虚数根. 上述结论反过来也成立. 4.实系数一元二次方程在复数范围内的解集