（2021新人教B版）高中数学必修第四册素养突破第9章 解三角形 （课件+课堂检测·素养达标+课时素养评价）.zip

第九章解 三 角 形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正 弦 定 理 1.三角形的面积公式 若记ABC的面积为S,则 S=_absinC=_acsinB=_bcsinA. 2.正弦定理 文字语言在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等. 符号语言 【思考】 (1)正弦定理对任意三角形都适用吗?其比值等于什么? 提示 :都适用 ,且比值为 2R. (2)正弦定理的主要功能是什么? 提示 :实现三角形中边角关系的转化. 3.解三角形 我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 【思考】 若已知三角形的两边及其中一边所对的角,三角形的解是否唯一? 提示 :不一定唯一 ,也可能不存在 . 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)正弦定理适用于任意三角形() (2)在ABC中,等式bsinA=asinB总能成立() (3)在ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解 () 提示 :(1).正弦定理适用于任意三角形. (2).由正弦定理知 即bsinA=asinB. (3).在ABC中,已知 a,b,A,此三角形的解有可能是 无解、一解、两解的情况,具体情况由 a,b,A的值来定 . 2.在ABC中,已知A=30,B=60,a=10,则b等于 () 【解析 】选B.由正弦定理得 b= 3.在ABC中,若B=30,a=2,c=4,则ABC的面积为_. 【解析 】SABC= 答案 :2 9.1.2余 弦 定 理 余弦定理 在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c, 则有 余 弦 定 理 语言 叙述 三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角余弦的积的2倍 余 弦 定 理 公式 表达 c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB 变形 【思考】 (1)在a2=b2+c2-2bccosA中,若A=90,公式会变成什么? 提示 :a2=b2+c2,即勾股定理 . (2)利用余弦定理可以解决哪些问题? 提示 :已知两边及其夹角解三角形; 已知三边解三角形. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形() (2)在ABC中,若a2b2+c2,则ABC一定为钝角三角形 () (3)在ABC中,已知两边和其夹角时,ABC不唯一 () 提示 :(1).余弦定理反映了任意三角形的边角关系, 它适用于任何三角形. (2).当a2b2+c2时, 因为 0A,故A一定为钝角 ,ABC为钝角三角形 . (3).当ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一,因此 ABC唯一确定 . 2.在ABC中,已知a=4,b=6,C=120,则边c的值是 () 【解析 】选D.因为 c2=a2+b2-2abcosC =16+36-246 =76, 所以 3.在ABC中,若a2-c2+b2=ab,则cosC=_. 【解析 】因为 a2-c2+b2=ab,所以 c2=a2+b2-ab. 又因为 c2=a2+b2-2abcosC,所以 2cosC=1.所以 cosC=. 答案 : 9.2正弦定理与余弦定理的应用 实际测量中的有关名称、术语 名称定义图示 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上 方时与水平线的夹角 名称定义图示 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下 方时与水平线的夹角 名称定义图示 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角 (指定方向线是指正北或正南或正东或正 西,方向角小于90) 名称定义图示 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向 线所转过的水平角 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“”,错的打“”) (1)已知三角形的三个角,能够求其三条边() (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得() (3)方位角和方向角是一样的() 提示 :(1).要解三角形 ,至少知道这个三角形的一条边长. (2).两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得. (3).方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正 南方向作起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角 ). 2.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是() A.,c,B.b,c, C.c,D.b, 【解析 】选D.a,c均隔河 ,故不易测量 ,测量 b,更合适 . 3.两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在C北偏东30,B在C南偏东60,则A,B之间的距离为 () 【解析 】选A.在ABC中,AC=BC=a km,ACB=90,所 以AB= a km. 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 关键能力关键能力素养形成素养形成 类型一利用正弦定理解三角形 【典例】(1)在ABC 中,已知 a=8,B=60,C=75,求 A,b,c. (2)在ABC 中,c=,C=60,a=2,求 A,B,b. 6 【思维引】(1)先求 A,然后利用正弦定理求解. (2)利用正弦定理求角 A 时,要注意解的个数的判断,再利用正弦定理求解. 【解析】(1)A=180-(B+C)=180-(60+75)=45,由正弦定理=,得 b=4,由=, 8 60 45 6 得 c=4. 8 75 45 8 2 +6 4 2 2(3 + 1) (2)因为=,所以 sin A=. 2 2 所以 A=45或 A=135.又因为 ca,所以 CA.所以 A=45.所以 B=75, b=+1. 675 60 3 【内化悟】 在解三角形时,若已知角不是特殊角,应该如何处理? 提示:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将 非特殊角转化为特殊角的和或差,如 75=45+30),再根据上述思路求解. 【类题通】 1.已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. 2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法 则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时 由正弦值可求两个角,要分类讨论. 【习练破】 1.(2020烟台高一检测)已知ABC 中,A= ,B= ,a=1,则 b 等于() 6 4 A.2B.1C.D. 32 【解析】选 D.由正弦定理=,得=,所以 =,所以 b=. 1 6 4 1 1 2 2 22 2.在ABC 中,若 a=,b=2,A=30,则 C=_. 2 【解析】由正弦定理=, 得 sin B=. 230 2 2 2 因为 0B180,所以 B=45或 135,所以 C=180-45-30=105或 C=180-135-30=15. 答案:105或 15 类型二三角形的面积问题 【典例】三角形的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c. (1)求 C 角的大小. (2)若 a=,求ABC 的面积. 2 【思维引】(1)化简 cos(A-C)+cos B=1,结合正弦定理求出角 C. (2)利用(1)的结果求出 A 和 B,用三角形的面积公式计算. 【解析】(1)因为 A+B+C=180,所以 cos(A+C)=-cos B,因为 cos(A-C)+cos B=1,所 以 cos(A-C)-cos(A+C)=1, 展开得:cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-sin Asin C)=1,所以 2sin Asin C=1. 因为 a=2c,根据正弦定理得:sin A=2sin C, 代入上式可得:4sin2C=1,所以 sin C= ,所以 C=30. 1 2 (2)由(1)sin A=2sin C=1,所以 A=90. 因为 a=,C=30,所以 c=,B=60. 2 2 2 所以 SABC= acsin B= =. 1 2 1 22 2 2 3 2 3 4 【类题通】 三角形面积问题的求解方法 对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪 1 2 1 2 1 2 一个公式. 【习练破】 (2019运城高二检测)在ABC 中,已知 BC=6,A=30,B=120,则ABC 的面 积为() A.9B.18C.9D.18 33 【解析】选 C.由正弦定理得=,所以 AC=6. 6 120 30 3 又因为 C=180-120-30=30, 所以 SABC= ACBCsin C= 66 =9. 1 2 1 23 1 23 类型三正弦定理的综合应用 角度 1判断三角形的形状 【典例】(2019昆明高二检测)在ABC 中,已知 =,且 sin2A+sin2B=sin2C. 求证:ABC 为等腰直角三角形.世纪 【思维引】利用正弦定理,把条件中的角转化为边,再利用勾股定理的逆定理 判断. 【证明】因为=,所以= , 又因为 =,所以 = , 所以 a2=b2,即 a=b,设=k(k0), 则 sin A= ,sin B= ,sin C= ,又因为 sin2A+sin2B=sin2C,所以+=,即 2 2 2 2 2 2 a2+b2=c2, 所以ABC 为等腰直角三角形. 【素养探】 判定三角形的形状时,判断和证明要掌握推理的基本形式和规则,形成重论据、 有条理、合逻辑的思维品质,突出体现逻辑推理的数学核心素养. 把本例的条件改为:acos=bcos,试判断ABC 的形状. ( 2 - )( 2 - ) 【解析】【法一化角为边】 因为 acos=bcos, ( 2 - )( 2 - ) 所以 asin A=bsin B.由正弦定理可得:a=b, 2 2 所以 a2=b2,所以 a=b,所以ABC 为等腰三角形. 【法二化边为角】 因为 acos=bcos,所以 asin A=bsin B. ( 2 - )( 2 - ) 由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即 sin A=sin B, 所以 A=B.(A+B= 不合题意舍去) 故ABC 为等腰三角形. 【类题通】 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有 关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如 a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形 的形状.利用的公式为:sin A=,sin B=,sin C=. 2 2 2 (2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的 有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 角度 2最值或范围问题 【典例】在锐角ABC 中,角 A,B,C 分别对应边 a,b,c,且 a=2bsin A,求 cos A+sin C 的取值范围. 【思维引】利用正弦定理,把 cos A+sin C 转化为一个角的函数,利用三角函 数的性质求解. 【解析】在锐角ABC 中,根据正弦定理,a=2Rsin A,b=2Rsin B,其中 R 为外接 圆半径. 因为 a=2bsin A,所以 2Rsin A=4Rsin Bsin A,所以 sin B= .因为ABC 为锐角 1 2 三角形,所以 B= . 6 令 y=cos A+sin C=cos A+sin-(B+A) =cos A+sin=cos A+sin cos A+cos sin A ( 6 + ) 6 6 = cosA+sin A= 3 2 3 2 3( 3 2 + 1 2) =sin. 3 ( + 3) 由锐角ABC 知, -BA ,所以 A . 2 2 3 2 所以A+ ,所以 sin, 2 3 3 5 6 1 2 ( + 3) 3 2 所以sin ,即y180,故舍去).所以ABC 是等腰直角三角 形. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 关键能力关键能力素养形成素养形成 类型一利用余弦定理解三角形 【典例】(1)在ABC 中,a=1,b=2,cos C= ,则 c=_;sin A=_. 1 4 (2)在ABC 中,已知 a=2,b=6+2,c=4,求 A,B,C. 633 【思维引】(1)直接利用余弦定理求 c,再利用余弦定理求 cos A,再利用同角 三角函数的关系式求 sin A. (2)利用余弦定理的变形公式求解. 【解析】(1)根据余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=12+22-212 =4,解得 c=2.由 1 4 a=1,b=2,c=2 得 cos A= , 2+ 2 - 2 2 7 8 所以 sin A=. 1 - ( 7 8) 2 15 8 答案:2 15 8 (2)根据余弦定理得 cos A= 2+ 2 - 2 2 =. (6 + 2 3)2+ (4 3)2- (2 6)2 2 (6 + 2 3) (4 3) 3 2 因为 A(0,),所以 A= ,cos C= 6 2+ 2 - 2 2 =, (2 6)2+ (6 + 2 3)2- (4 3)2 2 2 6 (6 + 2 3) 2 2 因为 C(0,),所以 C= .所以 B=-A-C=- - =, 4 6 4 7 12 所以 A= ,B=,C= . 6 7 12 4 【内化悟】 1.已知三角形的三边解三角形时,结果是唯一的吗? 提示:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角;值为负,角 为钝角,结果唯一. 2.已知三角形的两边及其夹角解三角形,选用正弦定理好,还是选用余弦定理好? 提示:若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些 问题(在(0,)上,余弦值所对角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好. 【类题通】 1.已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推 论求出其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解. 2.已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理 的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角;最后利用三角形的 内角和定理求出第三个角. 【习练破】 (1)在ABC 中,若 AB=,AC=5,且 cos C=,则 BC=_. 5 9 10 【解析】由余弦定理得()2=52+BC2-25BC,所以 BC2-9BC+20=0,解得 5 9 10 BC=4 或 BC=5. 答案:4 或 5 (2)已知ABC 中,abc=2(+1),求ABC 中各角的度数. 63 【解析】已知 abc=2(+1),令 a=2k,b=k,c=(+1)k(k0),由 6363 余弦定理的推论,得 cos A=, 2+ 2 - 2 2 ( 6)2+ ( 3 + 1)2 - 2 2 2 6 ( 3 + 1) 2 2 因为 0A180,所以 A=45. cos B= , 2+ 2 - 2 2 22+ ( 3 + 1)2- ( 6)2 2 2 ( 3 + 1) 1 2 因为 0B180,所以 B=60. 所以 C=180-A-B=180-45-60=75. 【加练固】 在ABC 中,若 b2=a2+c2+ac,则 B 等于() A.60B.45或 135C.120D.30 【解析】选 C.因为 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ac, 所以 ac=-2accos B,cos B=- , 1 2 又 0Bc2且 b2+c2a2且 c2+a2b2. (3)ABC 为钝角三角形a2+b2c2或 b2+c2a2或 c2+a2b2. 【习练破】 在ABC 中,若 b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断ABC 的形状. 【解析】【法一化角为边】将已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B) =2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理,得 b2+c2-b2- ( 2+ 2 - 2 2 ) 2 c2( 2+ 2 - 2 2 ) 2 =2bc, 2+ 2 - 2 2 2+ 2 - 2 2 所以 b2+c2=a2. ( 2 + 2 - 2) + (2 + 2 - 2)2 42 44 42 所以 A=90.所以ABC 是直角三角形. 【法二化边为角】由正弦定理,已知条件可化为 sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C. 又 sin Bsin C0, 所以 sin Bsin C=cos Bcos C,即 cos(B+C)=0. 又因为 0B+C180,所以 B+C=90,所以 A=90. 所以ABC 是直角三角形. 【加练固】 在ABC 中,acos A+bcos B=ccos C,试判断ABC 的形状. 【解析】由余弦定理知 cos A=, 2+ 2 - 2 2 cos B=,cos C=, 2+ 2 - 2 2 2+ 2 - 2 2 代入已知条件得 a+b+c=0, 2+ 2 - 2 2 2+ 2 - 2 2 2 - 2 - 2 2 通分得 a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理得(a2-b2)2=c4.所以 a2-b2=c2,即 a2=b2+c2或 b2=a2+c2. 根据勾股定理知ABC 是直角三角形. 类型三正弦定理、余弦定理的综合应用 角度 1综合利用正弦定理、余弦定理解三角形 【典例】(2020潍坊高一检测)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (a+2c)cos B+bcos A=0. (1)求 B. (2)若 b=3,ABC 的周长为 3+2,求ABC 的面积. 3 世纪 【思维引】(1)先利用正弦定理把条件式中的边转化为角,进行三角恒等变换 求角,(2)利用余弦定理并结合已知周长求出 ac 的值. 【解析】(1)由已知及正弦定理得(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0, (sin Acos B+sin Bcos A)+2sin Ccos B=0, sin(A+B)+2sin Ccos B=0, 又 sin(A+B)=sin C,且 C(0,),sin C0, 所以 cos B=- ,因为 0B0, a=,则 b+c 的取值范围是_(用区间表示). 3 2 【解析】由 b2+c2-a2=bc 得,cos A= ,因为 0A0 知,B 为钝角,又因为=1,则 b=sin B,c=sin C,b+c=sin B+sin C=sin B+ sin= sin B+cos B=sin, ( 2 3 - ) 3 2 3 23 ( + 6) 因为 B,所以B+ , 2 2 3 2 3 6 5 6 所以 sin,b+c. 1 2 ( + 6) 3 2 ( 3 2 ,3 2) 答案:( 3 2 ,3 2) 2.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知=. - 2 2 - (1)求的值. (2)若 cos B= ,ABC 的周长为 5,求 b 的长. 1 4 【解析】(1)由正弦定理可设=k, 则=, 2 - 2 - 2 - 所以=, - 2 2 - 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=,所以 sin C=2sin A,因此=2. (2)由=2 及正弦定理,得 c=2a. 由余弦定理及 cos B= , 1 4 得 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2 =4a2, 1 4 所以 b=2a.又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 关键能力关键能力素养形成素养形成 类型一测量高度问题 【典例】(2019东莞高一检测)如图,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D,测得BCD=15,BDC=30,CD=30,并在 点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60,则塔高 AB 等于 () A.5B.15C.5D.15 6326 【思维引】在BCD 中,由正弦定理求 BC,在 RtABC 中,求塔高 AB. 【解析】选 D.在BCD 中,CBD=180-15-30=135. 由正弦定理得=,所以 BC=15. 30 30 135 2 在 RtABC 中,ACB=60,AB=BCtan ACB=15=15. 236 【内化悟】 1.求高度问题一般应用什么思想方法? 提示:应用转化的思想方法,把立体问题平面化,即转化到三角形中来解决问题. 2.解三角形时,如何根据条件选择应用正弦定理和余弦定理? 提示:根据题目条件和所求,以及定理的作用选用.如已知三边求角,可以用余弦 定理. 【类题通】 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要 选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划 解题思路. 【习练破】 如图所示,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10 m,从 D,C 两地测得 A 点的仰角 分别为 30和 45,则 A 点离地面的高 AB 等于 () A.10 mB.5 m 3 C.5(-1) mD.5(+1) m 33 【解析】选 D.方法一:设 AB=x m,则 BC=x m. 所以 BD=(10+x)m.所以 tan ADB=. 10 + 3 3 解得 x=5(+1).所以 A 点离地面的高 AB=5(+1)m. 33 方法二:因为ACB=45,所以ACD=135, 所以CAD=180-135-30=15. 由正弦定理得 AC=sin ADC =sin 30= m, 10 15 20 6 - 2 所以 AB=ACsin 45=5(+1)m. 3 类型二测量角度问题 【典例】(2019合肥高二检测)甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60的 B 处,乙 船以每小时 a 海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a 海里,问甲船 3 应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇? 世纪 【思维引】假设两船在 C 点相遇,甲船沿方向行驶,把问题转化为在三角形 ABC 内求CAB 来求解. 【解析】如图所示. 设经过 t 小时两船在 C 点相遇, 则在ABC 中,BC=at(海里),AC=at(海里), 3 B=90+30=120,由正弦定理=,得 sin CAB= , 120 3 3 2 3 1 2 因为 0CAB90,所以CAB=30, 所以DAC=60-30=30,所以甲船应沿着北偏东 30的方向前进,才能最快 与乙船相遇. 【类题通】 测量角度问题的技巧 (1)测量角的大小,可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦 定理解三角形,能够解决不能直接测得的角的大小的问题. (2)在利用正弦定理、余弦定理解决航海问题中的综合题时,要根据实际,找出 等量关系,画示意图时,要注意方向角的画法. 【习练破】 在海岸 A 处,发现北偏东 45方向,距离 A 处(-1)n mile 的 B 处有一艘走 3 私船,在 A 处北偏西 75的方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 3 处向北偏东 30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 【解析】设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,画出示意图,则有 CD=10t,BD=10t, 3 在ABC 中,因为 AB=-1,AC=2,BAC=120, 3 所以由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos BAC=(-1)2+22-2(-1) 33 2cos 120=6, 所以 BC=且 sin ABC=sin BAC=, 6 2 6 3 2 2 2 所以ABC=45,BC 与正北方向成 90角. 因为CBD=90+30=120,在BCD 中, 由正弦定理得 sin BCD= ,所以BCD=30. 10120 10 3 1 2 即缉私船沿北偏东 60方向能最快追上走私船. 类型三测量距离问题 角度 1两点不可到达的距离问题 【典例】如图,A,B 两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量 A,B 两点间距 离的方法.世纪 【思维引】在岸边选定两点 C,D,分别在ADC 和BDC 中,构建方程求解. 【解析】测量者可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a, 并且在 C,D 两点分别测得BCA=,ACD=, CDB=,BDA=, 在ADC 和BDC 中,应用正弦定理得 AC=, ( + ) 180 - ( + + ) ( + ) ( + + ) BC=. 180 - ( + + ) ( + + ) 计算出 AC 和 BC 后,再在ABC 中, 应用余弦定理计算出 A,B 两点间的距离 AB=. 2+ 2- 2 【素养探】 在利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程中,经常利用核心素养中 的数学建模和数学运算,通过对条件与结论的分析,建立数学模型,应用正弦定 理和余弦定理,经过数学运算求解. 对于本例题,你能否给出另外一种测量方法? 【解析】测量者可以在河岸边选定点 E,C,D,使 A,E,C 三点共线,B,E,D 三点共 线,测得 EC=a,ED=b,并且分别测得BEC=AED=,BCA=,ADB=, 在AED 和BEC 中,应用正弦定理得 AE=, - ( + ) ( + ) BE=. - ( + ) ( + ) 在ABE 中,应用余弦定理计算出 A,B 两点间的距离 AB= . 2+ 2- 2 ( - ) 角度 2两点在障碍物两侧的距离问题 【典例】如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,先选定适当的位置 C, 用经纬仪测出角 ,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离. 即 AB=.若测得 CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,试计算 2+ 2- 2 AB 的长. 世纪 【思维引】在ABC 中,运用余弦定理求解. 【解析】在ABC 中, 由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB, 所以 AB2=4002+6002-2400600cos 60=280 000. 所以 AB=200(m). 7 即 A,B 两点间的距离为 200 m. 7 【类题通】 求解距离问题的方法 测量两个不可到达的点之间的距离,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理 求三角形的边长问题,然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达 的两点距离测量问题,运用正弦定理解决. 【发散拓】 当 A,B 两点之间的距离不能直接测量时,求 A,B 两点之间的距离分为以 下三类: (1)两点间不可通又不可视(如图):可取某点 C,使得 A,B 与 C 之间的距离可直 接测量,测出 AC=b,BC=a 以及ACB=,利用余弦定理得: AB=. 2+ 2- 2 (2)两点间可视但不可到达(如图):可选取与 B 同侧的点 C,测出 BC=a 以及 ABC 和ACB,先使用内角和定理求出BAC,再利用正弦定理求出 AB. (3)两点都不可到达(如图):在河边测量对岸两个建筑物之间的距离,可先在 一侧选取两点 C,D,测出 CD=m,ACB,BCD,ADC,ADB,再在BCD 中求出 BC,在 ADC 中求出 AC,最后在ABC 中,由余弦定理求出 AB. 【延伸练】 如图所示,某观测站 C 在城 A 的南偏西 20的方向,从城 A 出发有一条走向为 南偏东 40的公路,在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一辆汽车 正沿公路向 A 城驶去,行驶了 20 km 后到达 D 处,测得 C,D 两处的距离为 21 km, 这时此车距离 A 城多少千米? 【解析】在BCD 中,BC=31 km,BD=20 km, CD=21 km, 由余弦定理得 cos BDC=- . 2+ 2 - 2 2 202+ 212 - 31 2 2 20 21 1 7 所以 cos ADC= , 1 7 所以 sin ADC=. 1 - 2 4 3 7 在ACD 中,由条件知 CD=21 km, BAC=20+40=60, 所以 sin ACD=sin(60+ADC)= + =. 3 2 1 7 1 2 4 3 7 5 3 14 由正弦定理得=, 所以 AD=15(km). 21 3 2 5 3 14 故这时此车距离 A 城 15 km. 【习练破】 一艘海轮从 A 处出发,以 40 n mile/h 的速度沿南偏东 40方向直线航行, 30 min 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65,那么 B,C 两点间的距离是 () A.10 n mileB.10 n mile 23 C.20 n mileD.20 n mile 23 【解析】选 A.如图所示, 由已知条件可得CAB=30,ABC=105, AB=40 =20(n mile). 1 2 所以BCA=45,所以由正弦定理可得=. 45 30 所以 BC=10 (n mile). 20 1 2 2 22 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.在ABC 中,下列式子与的值相等的是() A.B.C.D. 【解析】选 C.由正弦定理得=, 所以=. 2.在ABC 中,A=30,a=3,b=2,则这个三角形有 () A.一解B.两解C.无解D.无法确定 【解析】选 A.因为 ba,A=30,所以 Bb,且 B(0,),所以 B= ,所以 A=, 6 7 12 所以 S= bcsin A= 22sin= 22=+1. 1 2 1 22 ( 7 12) 1 22 6 +2 43 答案:+1 3 4.(2019沈阳高一检测)在ABC 中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为 _. 【解析】由正弦定理得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A=-2B,即 A=B 或 A+B= , 2 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案:等腰三角形或直角三角形 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.一个三角形的两边长分别为 5 和 3,它们夹角的余弦值是- ,则三角形的第三 3 5 条边长为 () A.52B.2C.16D.4 13 【解析】选 B.设第三条边长为 x,则 x2=52+32-253=52,所以 x=2 ( - 3 5) . 13 2.(2019合肥高一检测)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若ABC 的 面积为,则 C=() 2+ 2 - 2 4 A.B.C.D. 2 3 4 6 【解析】选 C.因为 a2+b2-c2=2abcos C,且 SABC=, 2+ 2 - 2 4 所以 SABC= absin C,所以 tan C=1. 2 4 1 2 又 C(0,),故 C= . 4 3.已知 a,b,c 为ABC 的三边,B=120,则 a2+c2+ac-b2=_. 【解析】由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120=a2+c2+ac,所以 a2+c2+ac-b2=0. 答案:0 4.在ABC 中,若 b=1,c=,C=,则 a=_. 3 2 3 【解析】由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,所以()2=a2+12-2a1cos, 3 2 3 所以 a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0, 所以 a=1,或 a=-2(舍去).所以 a=1. 答案:1 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得 AC 的长度为 4 m,A=30, 则其跨度 AB 的长为 () A.12 mB.8 mC.3 mD.4 m 33 【解析】选 D.由题意知,A=B=30, 所以C=180-30-30=120, 由正弦定理得=, 即 AB=4m. 4120 30 3 2.(2019洛阳高二检测)一艘船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 n mile 的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为 () A. n mile/hB.34 n mile/h 17 6 26 C. n mile/hD.34 n mile/h 17 2 22 【解析】选 A.如图所示,在PMN 中,=, 45 120 所以 MN=34,所以 v= n mile/h. 68 3 26 4 17 6 2 3.(2019杭州高一检测)如图所示,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在 的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,ACB=45,CAB=105后, 就可以计算出 A,B 两点的距离为() A.50 mB.50 m 23 C.25 mD. m 2 25 2 2 【解析】选 A.由正弦定理得=, 又因为ABC=30,所以 AB=50(m). 50 2 2 1 22 4.如图,某人向正东方向走了 x 千米,然后向右转 120,再朝新方向走了 3 千米,结 果他离出发点恰好千米,那么 x 的值是_. 13 【解析】由余弦定理得 x2+9-3x=13, 整理得 x2-3x-4=0,解得 x=4(舍负). 答