1、第十章 复数 10.1.1复数的概念 数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似x+4=3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入 了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x+ 4=3的方程在整数范围内 有解； 因为类似2x=5的方程在整数范围内无解,所以人们引入了分数 并将整数扩充成有理数，使得类似2x=5的方程在有理数范围内有解； 因为类似x2=7的方程在有理数范围内无解,所以人们引入了无 理数并将有理数扩充成实数,使得类似x2=7的方程在实数范围内有解. 我们已经知道，类似x2=-1的方程在实数范围内无解.那么， 能否像前面一 样,引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩
2、 充呢？ 3 32 3 32 322322 pqqpqq x 人们早在16世纪就发现，可以通过公式 来求方程x3=px+q(p,q均为正实数)的正根。 例如，方程x3=9x+28的正根为 如果方程是x3=15x+4，则由公式可得 当时人们已经知道x=4是x3=9x+28的唯一正根，因此 应该成立。 43141431414 322322 x ,11121112 33 x , 411121112 33 1 表示的是平方为-1的数，实数范围内这样的数是 不存在的，这该如何解释呢？ 11 2 如果规定 ，并将 按照类似实数的运输安法则进行 形式计算，则可以给上述结论一个圆满的解释： 1 1112161
3、128 1123123212 32 23 3 所以可以认为 , 121112 3 类似地，可以认为 , 121112 3 , 411121112 33 从而形式上就有 , 4121211121112 33 这里的 历史上被认为是一个“虚幻”的数。1 欧拉首先提出用 i 表示 极大的方便了计算。 1 一般地，为了使得方程x2=一1有解,人们规定 i 的平方等于一 1.即 i2=-1 并称 i为虚数单位. 虚数单位 i 与上述 表示的意义是一样的.但是，为了避免混淆. 如不特别声明.以后我们不再使用类似 这样的表达式.也就是说， 在 中.还是要求a0,请大家务必注意这一点. 1 1 a （1）你认
4、为可以怎样表示2与 i 的和？又该怎样表示3减去i ? （2）你认为5与 i 的乘积可以怎样表示？这个数具有什么性质？ 实数 a 与 i 的和记作 a+i . 复数：形如a+bi的数（a,b 是实数），复数一般用小写字母z表示. 即z= a + b i (a,b?R).其中a称为z的实部，b称为z的虚部， 分别记作 Re(z)=a, Im(z)=b. 复数全体组成的集合叫复数集，记作：C C= z| z=a+bi ,a,b?R 实数 0 与 i 的和为 i ; 实数 b 与 i 的积记作 bi 实数 0 与 i 的积为 0 , 实数 1 与 i 的积为 i . Rbaibaz, 实部 虚部 任
5、意一个复数由实部和虚部唯一确定. 实数 b=0 虚数 b0 纯虚数 非纯虚数 a=0 a0且b0. 复数集C和实数集R之间有什么关系？ 复数z=a+bi （a,b?R） 复数集C 实数 集R i为虚数单位 自然数 整数 有理数 实数 ？ 负数 分数 无理数 数 系 的 扩 充 复数 虚数 根据实际需要把数进行扩充根据实际需要把数进行扩充。 例1分别求实数x的取值，使得复数z = (x 2) + (x+ 3)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数. 分析：复数z的实部是 x-2x+3复数 z的虚部是 解： (1)当 x+3=0，即 x=-3 时，复数z是实数. (2)当 x+3 0，即
6、x -3 时，复数z是虚数. (3)当 x-2=0 且 x+30，即 x=2 时，复数z是存虚数. 00 00 0 0 ba ba b b biaz ，非纯虚数 ，纯虚数 虚数 实数 复数 练习A1.下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ .3,47,22 ,56 ,0 ,2,3iiiiii 实数： 虚数： 存虚数： , 0, 3 ii ,2 .3,47,22 ,56 ,2iiiiii 练习A3.分别写出下列各复数的实部与虚部. (1) -3+2i；(2) 3-5i；(3) -7；(4) 8i. 练习B 1.根据以下复数z的值,分别写 Re(z)与Im(z). . 5 1 3 1
7、2; 2 3 2 1 1iziz 练习B2.分别求实数m的取值范围，使得复数E=(m+2)+(m-6)i (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数 解： (1) m = 6； (2)m6 (3) m = -2, 1 当实数m为何值时， 分别是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 imm m mm z65 3 6 2 2 【解】由已知得复数z的实部为 虚部为 m2+5m+6. 03 065 1 2 m mm z为实数复数2 3 32 m m mm或 03 065 2 2 m mm z是虚数复数23mm且 065 0 3 6 3 2 2 mm m mm z是纯虚数复数3 32 32 m
8、m mm 且 或 2.如果（m2-1）+（m2-2m）i0，则实数m的值为. 2 解：m2-10 且 m2-2m=0 所以m=2. 分析：两个实数可以比较大小，但是当两个复数中至少有一个是虚数时，则不 可以比较大小.如果两个复数可以比较大小，那么这两个复数必定全是实数. 复数相等：两个复数z1与z2，实部与虚部对应相等，就称这两个复数相等， 记作：z1=z2 如果a,b,c,d都是实数，那么 a+bi=c+di db ca 【注意】两个不相等的实数，可以比较大小; 但是两个复数，如果不全是实数，一般不规定它们之间的 大小，只能说它们相等或不相等. 例2分别求满足下列关系的实数x与y的值. (1
9、) (x+2y )i=6x + (x一y) i ; (2) (x + y+ 1) (xy + 2) i =0 . 解：（1）根据复数相等的定义，得 ,1 ,62 yx xyx 解这个方程组，得 . 3 5 , 3 2 yx （2）由复数等于0的充要条件，得 ,02 ,01 yx yx 解这个方程组，得. 2 1 , 2 3 yx 两复数相等等价于其实 部与虚部分别对应相等。 复数为0是 实部为0， 虚部也为0. 练习A 4.已知(x-2)+ yi=0,求实数x与y的值. 4解. x=2, y=0. 练习B 3.分别求满足下列关系的实数x与y的值. (1) (x+y-3)+ (x-y-1)i =
10、 3 + 3i； (2) (x+y + 1)(x2y + l)i=0, 0 1 2, 1 5 1 y x y x 练习A 5.已知z1的实部是1, z2的实部为0,则z1=z2可能成立吗？ 为什么？ 解：5. 不可能.因为两个复数z1与z2，只有实部与虚部 都对应相等才能说它们相等. 练习B 4.写出复数是正实数的一个充要条件 解：4. 复数是正实数的一个充要条件是：复数的实部 为正实数且虚部等于零. 1.已知关于实数x，y的方程组 有实数解，求实数a，b的值. iibyxayx iyyix 8942 312 解：根据复数相等的充要条件，得 解得 y yx 31 12 4 2 5 y x 代入，得5+4a-（6+b）i9-8i 且a，bR 86 945 b a 2 1 b a 解得 a0且b0. 实数 b=0 虚数 b0 纯虚数 非纯虚数 a=0 复数z=a+bi （a,b?R） Rbaibaz, 实部虚部i为虚数单位 课堂小结 a+bi=c+di db ca 复数相等 【注意】如果两个复数不全是实数，一般不规定它们之间的大 小，只能说它们相等或不相等. 下课了
