1、2021 全国中考真题分类汇编（三角形） -三角形中的计算与证明（压轴题） 一、选择题 1.(2021安徽省安徽省)在中，分别过点B，C作平分线的垂线， VACB90BAC ABC 垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME则下列结论错误的是（） A.B.C.D. CDMEME/ /ABBDCDMEMD 2 【答案】A 【解析】 HFAB 【分析】设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF延长AC与BD并交于点 VCAEVFAE(SAS)VCBFME/ /AB G由题意易证，从而证明ME为中位线，即，故 VAGDVABD(ASA) 判断 B 正确；又易证，从而证明D为BG中点即利用
2、直角三角形 斜边中线等于斜边一半即可求出，故判断 C 正确；由、 CDBDHDMDHM90 HCECHE90DHMCHEHDMHCE 和可证明再由 HEMEHF90EHCEHFEHCHCE90 、和可推出 HCEHEMHDMHEMMDME ，即推出，即，故判断 D 正确；假设 CD2MECD2MDDCM30DCM ，可推出，即可推出由于无法确定的大 小，故不一定成立，故可判断 A 错误 CD2ME HFAB 【详解】如图，设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF延长AC与BD并交 于点G HFABHCAC AD是BAC的平分线， HC=HF， AF=AC AFAC 在和 中， VVFAECAE
3、FAE CAE AEAE VCAEVFAE(SAS) ， ，AEC=AEF=90， CEFE C、E、F三点共线， 点E为CF中点 MBC中点， 为 ME为VCBF中位线， ME/ /AB ，故 B 正确，不符合题意； GADBAD 在和中， ABD AGD ADAD ADGADB90 VAGDVABD ASA () ， 1 GDBDBG ，即D为BG中点 2 在VBCG中，BCG90， 1 CDBG ， 2 ，故 C 正确，不符合题意； CDBD ， HDMDHM90HCECHE90DHMCHE HDMHCE HFABME/ /AB ， HFME ， HEMEHF90 AD是BAC的平分线，
4、 EHCEHF ， EHCHCE90 ， HCEHEM HDMHEM， MDME ，故 D 正确，不符合题意； 假设， CD2ME ， CD2MD 在中， RtVCDMDCM30 无法确定的大小，故原假设不一定成立，故 A 错误，符合题意 DCM 故选 A 二填空题 1. （2021 江苏省苏州市）江苏省苏州市）如图，射线OM，ON互相垂直，点B位于射线OM的上方，且 在线段OA的垂直平分线l上，AB5将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线 段AB，若点B恰好落在射线ON上，则点A到射线 ON 的距离为 【分析】设OA的垂直平分线与OA交于C,将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对 应线段
5、AB，C随之旋转到C，过A作AHON于H，过C作CDON于D，过A 作AEDC于E，由OA8，AB5，BC是OA的垂直平分线，可得OB5，OCAC 4，BC3，cosBOC ,sinBOC,证明BOCBCDCAE,从 而在 RtBCD中求出CD，在 RtACE中，求出CE，得DECD+CE ，即可得到A到ON的距离是 【解答】解：设OA的垂直平分线与OA交于C,将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得 到对应线段AB， 过A作AHON于H，过C作CDON于D，如图： OA8，AB5， OB4，OCAC4，cosBOC, 线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段AB，C随之旋转到C， BCBC3，A
6、CAC4, BCDBCODCO90DCOBOC, cosBCD, RtBCD中，即， CD， AEON, BOCCAE, sinCAEsinBOCsinBOC, RtACE中，即， CE， DECD+CE， 而AHON，CDON， 四边形AEDH是矩形， AHDE,即A到ON的距离是 故答案为： 三、解答题 ABCBCD 1.(2021安徽省安徽省)如图 1，在四边形ABCD中，点E在边BC上，且 AE/CDDE/ /ABCF/ /AD ，作交线段AE于点F，连接BF （1）求证：； ABFEAD （2）如图 2，若，求BE的长； AB9CD5ECFAED BE （3）如图 3，若BF的延长线
7、经过AD的中点M，求的值 EC 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 12 【解析】 DCEDEC ABEAEB 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，即 ABAEDEDCAFCD可 得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以 AFDEABFEAD ，根据 SAS 即可证得； （2）证明EBFEAB，利用相似三角形的性质即可求解； ABAEBE VABEVDCECE1 （3）延长BM、ED交于点G易证，可得；设， DCDECE BExDCDEaABAEaxAFCDa ，由此可得，；再证明 MABMDGDGABaxFABFEG ，根据全等三角形的性质可得证明， FAABaax 根
8、据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而 FEEGa(x1)a(x1) BE 求得的值 EC 【详解】（1）证明：AE/ /CD， AEBDCE ； DE/ /AB， 12 ABEDEC ， ABCBCD ， DCEDEC ABEAEB ， DEDC ABAE， AF/ /CDAD/ /CF ， 四边形AFCD是平行四边形 AFCD AFDE VABFVEAD在 与中 AB EA 12 AFED ， ABFEAD(SAS) （2）ABFEAD， BFAD ， 在中， AFCDADCF BFCF ， FBCFCB ， 又， FCB221 FBC1 ， 在EBF与VEAB中 EBF1 B
9、EFAEB ， EBFEAB ； EBEF EAEB ； 9 AB ， AE9 ； 5 CD ， AF5 ； EF4 ， EB 9 4 EB ， 6 BE6 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G VVDCEABCDCE ABE与均为等腰三角形， ABEDCE ， ABAEBE DCDECE ， CEBExDCDE a设 1， 则， ABAEaxAFCDa EFa(x1) ， AB/DG ， 3G ； VMDG MAB 在与中， G 3 45 ， MAMD MABMDG(AAS) ； DGABax EGa(x1) ； AB/ /EG ， FABFEG ， FAAB FEEG ， aax a(
10、x1)a(x 1) ， x(x1)x1 ， x22x10 ， (x1)2 2 ， x12 ， 1 1 2 x （舍）， x x 212 BE 12 EC 2. （2021 湖北省武汉市）湖北省武汉市）问题提出 如图（1），在ABC和DEC中，ACBDCE90，ECDC，点E在ABC内 部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，表示AF，BF； （2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时（1）中的结论仍然成立 问题拓展 如图（3），在ABC和DEC中，ACBDCE90，ECkDC（k是常数），点E 在ABC内部，表示线段AF，BF
11、 【分析】（1）证明ACDBCE（SAS），则CDE为等腰直角三角形，故DEEF CF，进而求解； （2）由（1）知，ACDBCE（SAS），再证明BCGACF（AAS），得到GCF 为等腰直角三角形，则GFCF，即可求解； （3）证明BCECAD和BGCAFC，得到，则BGkAF，GC kFC，进而求解 【解答】解：（1）如图（2），ACD+ACE90， BCEACD， BCAC，ECDC， ACDBCE（SAS） ， BEADAF，EBCCAD， 故CDE为等腰直角三角形， 故DEEFCF， 则BFBDBE+EDAF+CF； 即BFAFCF； （2）如图（1），由（1）知， CAFCBE，
12、BEAF， 过点C作CGCF交BF于点G， FCE+ECG90，ECG+GCB90， ACFGCB， CAFCBE，BCAC， BCGACF（AAS） ， GCFC，BGAF， 故GCF为等腰直角三角形，则GF， 则BFBG+GFAF+CF， 即BFAFCF； （3）由（2）知，BCEACD， 而BCkAC，ECkDC， 即， BCECAD， CADCBE， 过点C作CGCF交BF于点G， 由（2）知，BCGACF， BGCAFC， ， 则BGkAF，GCkFC， 在 RtCGF中，GF， 则BFBG+GFkAF+FC， 即BFkAFFC 3. （2021 湖南省邵阳市）湖南省邵阳市）如图，在
13、 RtABC中，点P为斜边BC上一动点，将ABP沿 直线AP折叠，使得点B的对应点为B，连接AB，CB，BB，PB （1）如图，若PBAC，证明：PBAB （2）如图，若ABAC，BP3PC，求 cosBAC的值 （3）如图，若ACB30，是否存在点P，使得ABCB若存在，求此时 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）易证PBAB所以BPABAP，又由折叠可知BAPBAP，所以 BPABAP故PBAB； （2） 设ABACa，AC、PB交于点D，则ABC为等腰直角三角形再证明CDP BDA，可得 设BDb， 则CDb 则ADa b，PDb， 由解得b再过点D作DEAB于点E，则BDE 为等
14、腰直角三角形所以BEsin45BD，AEABBE，AD故 cosBACcosEAD即可求； （3）分点P在BC外的圆弧上；点P在BC上两种情况分别求解即可 【解答】解：（1）证明：PBAC，CAB90， PBAB BPABAP， 又由折叠可知BAPBAP， BPABAP 故PBAB （2）设ABACa，AC、PB交于点D， 则ABC为等腰直角三角形， BC，PC，PB， 由折叠可知，PBAB45， 又ACB45， PBAACB， 又CDPBDA， CDPBDA 设BDb，则CDb ADACCDab， PDPBBDPBBDb， 由得： 解得：b 过点D作DEAB于点E，则BDE为等腰直角三角形
15、BEsin45BD， AEABBEABBEa 又ADACCDaba cosBACcosEAD （3）存在点P，使得CBABm ACB30，CAB90 BC2m 如答图 2 所示， 由题意可知，点B的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A 当P为BC中点时，PCBPAPABm， 又B60， PAB为等边三角形 又由折叠可得四边形ABPB为菱形 PBAB， PBAC 又APAB， 则易知AC为PB的垂直平分线 故CBPCABm，满足题意 此时， 当点B落在BC上时，如答图 3 所示， 此时CBABm， 则PB， PCCB+PBa+， 综上所述，的值为或 4. （2021 江苏省连云港）江苏省连云
16、港） 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动 （1）VABC是边长为 3 的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE1，小亮以BE为 边作等边三角形BEF，如图 1，求CF的长； （2）是边长为 3等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边 VABC的ACBE 三角形，如图 2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； BEF （3）ABC是边长为 3 的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等 VCDBM 边三角形BMN，如图 3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为 3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过 AB
17、CDCB 程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图 4，当点E BFGHAE 到达点B时，点F、G、H与点B重合则点H所经过的路径长为_，点G所经过的 路径长为_ 3 3 2 3 【答案】（1）1；（2）3；（3）3；（4）； 24 4 【解析】 【 分 析 】（ 1 ） 由ABC、BEF是 等 边 三 角 形 ，BABC，BEBF， ABECBFABECBF ，可证即可； （2）连接，、是等边三角形，可证，可得 CFABCBEFABECBF BCFABCECCFACEFC ，又点在处时，点在A处时，点与重合可得 FAC3 点运动的路径的长； （3） 取中点，连接， 由、是等
18、边三角形，可证， BCHHNABCBMNDBMHBN HNCDMDNH 可得又点在处时，点在处时，点与重 NHBCMC3 3 2 3 CD3 合可求点所经过的路径的长； N 2 （4） 连接CG ,AC，OB，由CGA=90，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运 BC 动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x x，由勾股定理即， CO2BO2BC2 xBC3 2 3 2 B N可 求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长 24 3 4 【详解】解:（1）、是等边三角形， ABCBEF ， BABCBEBFABCEBF60 ， ABECBECBFCBE ， ABEC
19、BF ， ABECBF ； CFAE1 （2）连接， CF 、是等边三角形， ABCBEF ， BABCBEBFABCEBF60 ， ABECBECBFCBE ， ABECBF ， ABECBF ， CFAEBCFBAE60 ， ABC60 ， BCFABC ， CF/ /AB E 在C CFACEFC又点 处时，点在A处时，点与重合 FAC3 点运动的路径的长； （3）取BC中点H，连接HN， 1 BHBC ， 2 1 BHAB ， 2 CDAB ， 1 BDAB ， 2 BHBD ， 、是等边三角形， ABCBMN ， BMBNABCMBN60 ， DBMMBHHBNMBH ， DBMHB
20、N ， DBMHBN ， HNDMBHNBDM90 ， NHBC MC3 3 HNCDMDNH又点 在处时，点在处时，点与重合， 2 3 点所经过的路径的长； NCD3 2 （4）连接CG ,AC，OB， CGA=90， 点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动， BC 四边形ABCD为正方形，BC为边长， COB=90，设OC=x x， COBOBCx2x232 222 由勾股定理即， 3 2 x ， 2 13 23 2 2 点G所经过的路径长为BC长 =， 424 点H在以BC中点为圆心，BC 长为直径的弧上运动， BN 点H所经过的路径长为的长度， BN 点G运动圆周的四分之一， 点H
21、也运动圆周的四分一， 133 2 点H所经过的路径长为的长 =， BN 424 3 3 2 故答案 为； 4 4 5. （2021 河北省）河北省）在一平面内，线段AB20，线段BCCDDA10，将这四条线段顺 次首尾相接把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角 （0）到某一位 置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置 论证：如图 1，当ADBC时，设AB与CD交于点O，求证：AO10； 发现：当旋转角 60时，ADC的度数可能是多少？ 尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离； 拓展：如图 2，设点D与B的距离为d，若BCD的平分线所在直线交AB于点P， 直
22、接写出BP的长（用含d的式子表示）； 当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值 【分析】论证：由AODBOC，得AOBO，而AB20，可得AO10； 发现：设AB的中点为O，当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转 60时，BC也从初始 位置BC绕点B顺时针旋转 60，BC旋转到BO的位置，即C以O重合，从而可得 ADC60； 尝试：当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQAB于Q，过M作MN AB于N，由已知可得AD10，设AQx，则BQ20 x，100 x2400（20 x）2， 可得AQ，DQ，再由MNDQ，得，MN，即点M到AB 的距离为； 拓展： 设直线CP交DB
23、于H，过G作DGAB于G，连接DP，设BGm，则AG20 m，由AD2AG2BD2BG2，可得m，BG，而BHPBGD， 有，即可得BP； 过B作BGCD于G， 设ANt， 则BN20t，DN ，由 ADNBGN，表达出NG，BG， Rt BCG中 ，CG， 根 据DN+NG+CG 10 ， 列 方 程+ +10 ，解得t，即可得 cos 【解答】论证： 证明：ADBC， AB，CD， 在AOD和BOC中， ， AODBOC（ASA） ， AOBO， AO+BOAB20， AO10； 发现：设AB的中点为O，如图： 当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转 60时，BC也从初始位置BC绕点B顺时针旋
24、转 60， 而BOBC10， BCO是等边三角形， BC旋转到BO的位置，即C以O重合， AOADCD10， ADC是等边三角形， ADC60； 尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ AB于Q，过M作MNAB于N，如图： 由已知可得AD10，BDBC+CD20，BMCM+BC15， 设AQx，则BQ20 x， AD2AQ2DQ2BD2BQ2， 100 x2400（20 x）2， 解得x， AQ， DQ， DQAB，MNAB， MNDQ， ，即， MN， 点M到AB的距离为； 拓展： 设直线CP交DB于H，过G作DGAB于G，连接DP，如图： BCDC10
25、，CP平分BCD， BHCDHC90，BHBDd， 设BGm，则AG20m， AD2AG2BD2BG2， 100（20m）2d2m2， m， BG， BHPBGD90，PBHDBG， BHPBGD， ， BP； 过B作BGCD于G，如图： 设ANt，则BN20t，DN， DBGN90，ANDBNG， ADNBGN， ， 即， NG，BG， RtBCG中，BC10， CG， CD10， DN+NG+CG10， 即+10， t+（20t）+2010t， 20+2010t，即 2t2， 两边平方，整理得：3t240t4t， t0， 3t404， 解得t（大于 20，舍去）或t， AN， cos 方法
26、二：过C作CKAB于K，过F作FHAC于H，如图： ADCD10，ADDC， AC2200， AC2AK2BC2BK2， 200AK2100（20AK）2， 解得AK， CK， RtACK中，tanKAC， RtAFH中，tanKAC， 设FHn，则CHFHn，AH5n， ACAH+CH10， 5n+n10， 解得n， AFn， RtADF中， cos 6. （2021 四川省成都市）四川省成都市）在 RtABC中，ACB90，AB5，BC3，将ABC绕点B 顺时针旋转得到ABC，其中点A，C的对应点分别为点A，C （1）如图 1，当点A落在AC的延长线上时，求AA的长； （2）如图 2，当点
27、C落在AB的延长线上时，连接CC，交AB于点M，求BM的 长； （3）如图 3，连接AA，CC，直线CC交AA于点D，点E为AC的中点，连接 DE在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说 明理由 【分析】（1）先求出AC4，再在 RtABC中，求出AC4，从而可 得AA8; （2）过C作CE/AB交AB于E,过C作CDAB于D,先证明CEBC3,再根据SABC ACBCABCD,求出CD，进而可得DE和BE及CE,由CE/AB得,即 可得BM; （3） 过A作AP/AC交CD延长线于P,连接AC,先证明ACPACDP， 得AP ACAC,再证明APDACD得A
28、DAD,DE是AAC的中位线，DEAC,要使 DE最小，只需AC最小，此时A、C、B共线，AC的最小值为ABBCABBC2， 即可得DE最小值为AC1 【解答】解：（1）ACB90,AB5，BC3， AC4， ACB90，ABC绕点B顺时针旋转得到ABC，点A落在AC的延长线上, ACB90，ABAB5， RtABC中，AC4， AAAC+AC8; （2）过C作CE/AB交AB于E,过C作CDAB于D,如图： ABC绕点B顺时针旋转得到ABC， ABCABC,BCBC3， CE/AB, ABCCEB, CEBABC, CEBC3， RtABC中，SABCACBCABCD,AC4，BC3，AB5
29、， CD， RtCED中，DE， 同理BD， BEDE+BD，CEBC+BE3+， CE/AB, , ， BM; （3）DE存在最小值 1，理由如下： 过A作AP/AC交CD延长线于P,连接AC，如图： ABC绕点B顺时针旋转得到ABC， BCBC,ACBACB90，ACAC, BCCBCC, 而ACP180ACBBCC90BCC, ACDACBBCC90BCC, ACPACD, AP/AC， PACD, PACP, APAC, APAC, 在APD和ACD中， , APDACD(AAS), ADAD,即D是AA中点， 点E为AC的中点， DE是AAC的中位线， DEAC, 要使DE最小，只需
30、AC最小，此时A、C、B共线，AC的最小值为ABBCABBC 2， DE最小为AC1 7. （2021 四川省乐山市）四川省乐山市）在等腰VABC中，ABAC，点D是BC边上一点（不与点 BCAD 、重合），连结 CDABEAEDEBDE 60 （1）如图 1， 若， 点关于直线的对称点为点， 结， 则 _； C60ADA60AEBE （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结 在图 2 中补全图形； 探究与的数量关系，并证明； CDBE ABAD kADECBEBDAC （3）如图 3，若，且，试探究、之间满足的 BCDE 数量关系，并证明 【答案】（1）30；（2）见解析；见解析；（3）
31、，见 CDBEACk(BDBE) 解析 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）按要求补全图即可 先根据已知条件证明ABC是等边三角形，再证明AEBADC，即可得出 CDBE ACBC ACBADEBACEAD （3）先证明，再证明，得出，从而证明 ADDE BDBEBCACk(BDBE) AEBADC，得出，从而证明 【详解】解：（1）， ABACC60 ABC是等边三角形 B=60 点关于直线的对称点为点 DABE ABDE， BDE 30 故答案为：30 ； （2）补全图如图 2 所示； 与的数量关系为：； CDBECDBE 证明：，
32、ABACBAC60 为正三角形， VABC ADA 60又绕点顺时针旋 转， ADAEEAD 60， ， ， BADDAC60BADBAE60 ， BAEDAC ， AEBADC CDBE （3）连接AE ABADACAD kABAC ， BCDEBCDE ACBC ADDE 又， ADEC ACBADE， ， ABACAEAD BACEAD ， BADDACBADBAE DACBAE ， ， AEBADCCDBE ， BDDCBC BDBEBC AC k 又， BC ACk(BDBE) 8. （2021 四川省凉山州）四川省凉山州）如图，在四边形中，过点D作 ABCDADCB90 DEABD
33、EBE 于E，若 （1）求证：； DADC （2）连接交于点，若，求DF长 ACDEFADE30,AD6的 6 3 6【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为 正方形，得到条件证明ADECDG，可得AD=CD； （2）根据ADE=30，AD=6，得到AE，DE，从而可得BE，BG，设DF=x，证明 AEFABC，得到比例式，求出x值即可 【详解】解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD， DEB=ABC=G=90，DE=BE， 四边形BEDG为正方形， BE=DE=DG，BDE=BDG=45，
34、 ADC=90，即ADE+CDE=CDG+CDE=90， ADE=CDG，又DE=DG，AED=G=90， ADECDG（ASA） ， AD=CD； （2）ADE=30，AD=6， AE=CG=3，DE=BE=， AD2AE23 3 四边形BEDG为正方形， BG=BE=， 3 3 BC=BG-CG=-3， 3 3 设DF=x，则EF=3 3-x， DEBC， AEFABC， EFAE 3 3x3 = ，即， BCAB 3 333 33 6 36 解得：x=， 6 36 即DF的长为 9. （2021 四川省眉山市）四川省眉山市）如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，ACBC 2，边长为
35、 2 的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE （1）求证：ACDBCE； （2）当点D在ABC内部，且ADC90时，设AC与DG相交于点M，求AM的长； （3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写 出AD的长 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形两条对角线互相垂直平分且相等的性质， 可证明ACDBCE； （2）过点M作MHAD于点H，当ADC90时，则ADM45，由正方形的边 长和AC的长，可计算出AD的长，利用AMH和DMH边之间的特殊关系列方程，可 求出AM的长； （3）A、D、E三点在同一直线上又分两种情况，即点D在A、E两点
36、之间或在射线AE 上，需要先证明点B、E、F也在同一条直线上，然后在ABE中用勾股定理列方程即可 求出AD的长 【解答】解：（1）如图 1，四边形DEFG是正方形， DCE90，CDCE； ACB90， ACDBCE90BCD， 在ACD和BCE中， ， ACDBCE（SAS） （2）如图 1，过点M作MHAD于点H，则AHMDHM90 DCG90，CDCG， CDGCGD45， ADC90， MDH904545， MHDHtan45DH； CDDGsin452，AC2， AD， tanCAD， AH3MH3DH， 3DH+DH3； MHDH， sinCAD， AMMH （3）如图 3，A、D
37、、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间 CDCECF，DCEECF90， CDECEDCEFCFE45； 由ACDBCE，得BECADC135， BEC+CEF180， 点B、E、F在同一条直线上， AEB90， AE2+BE2AB2，且DE2，ADBE， （AD+2）2+AD2（2）2+（2）2， 解得AD1 或AD1（不符合题意，舍去）； 如图 4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上 BCFACE90ACF，BCAC，CFCE， BCFACE（SAS） ， BFCAEC， CFECED45， BFC+CFEAEC+CED180， 点B、F、E在同一条直线上； ACBC
38、，ACDBCE90+ACE，CDCE， ACDBCE（SAS） ， ADBE； AE2+BE2AB2， （AD2）2+AD2（2）2+（2）2， 解得AD+1 或AD1（不符合题意，舍去） 综上所述，AD的长为1 或+1 10. （2021浙江省湖州市）已知在ACD 中，P 是 CD 的中点，B 是 AD 延长线上的一点， 连结 BC，AP （1）如图 1，若ACB90，CAD60，BDAC，AP3，求 BC 的长； （2）过点 D 作 DEAC，交 AP 延长线于点 E，如图 2 所示，若CAD60，BDAC， 求证：BC2AP； （3）如图 3，若CAD45，是否存在实数m，当 BDmAC
39、 时，BC2AP？若存在， 请直接写出m的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）2 3；（2）略；（3）2 AC 2 ACB90,CAD60AB AC【解析】（1） 解：， cos60 BDAC ， ADAC ， V ADC 是等边三角形， ACD60 CD 是的中点， APCD， AP AC sin60 在中， RtVAPCAP32 BCACtan602 3 （2）证明：连结， BEDEAC CAPDEP ， CPDP,CPADPE ， VV CPADPE AAS ， 1 APEPAE,DE AC 2 ， BDAC ， BDDE ， 又DEAC， VBDEBDBE,EBD60 BDECAD
40、60，是等边三角形， BDAC ， ACBE ， CABEBA60,AB BA 又， VVAEBCBC2AP CABEBA SAS ， （3）存在这样的m,m2 11. 【（2021浙江省宁波市）浙江省宁波市）证明体验】 ADVABCADC60ABAEAC （1）如图 1，为的角平分线，点E在上，求 DEADB 证：平分 【思考探究】 ABFCADFBFC （2）如图 2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G若， DGCD3BD 2 ，求的长 【拓展延伸】 （3）如图 3，在四边形中，对角线平分， 点E在 ABCDACBAD,BCA2DCAAC 上，若，求的长 BC5,CD2 5,AD2
41、AEAC EDCABC 916 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 23 【解析】 【分析】（1）根据 SAS 证明EADCAD，进而即可得到结论； BDDE （2）先证明EBDGCD，得，进而即可求解； VV CDDG ABAFADCFVAFCVADC （3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得 CDCE VV,CEDBFCCE4 DCEBCF ，可得，最后证明 BCCF VEADVDAC ，即可求解 【详解】解：（1）平分， ADBAC ， EADCAD AEAC,ADAD ， VEADVCAD SAS ， ， ADEADC60 ， EDB180ADEADC60 BDEADEDEADB
42、 ，即平分； （2）， FBFC ， EBDGCD ， BDEGDC60 ， VEBDVGCD BDDE CDDG EADCAD， DEDC3 ， DG2 9 BD ； 2 ABAFADCF （3）如图，在上取一点F，使得，连结 平分， ACBAD FACDAC ， ACAC VAFCVADC SAS ， CFCD,ACFACD,AFC ADC ， ACFBCFACB2ACD DCEBCF ， EDCFBC ， VDCEVBCF CDCE ,CEDBFC BCCF BC5,CFCD2 5 ， CE4 ， AED180CED180BFCAFCADC 又， EADDAC VEADVDAC EAAD
43、1 ， ADAC2 AC4AE， 416 ACCE 33 12. （2021 浙江省绍兴市）浙江省绍兴市）如图，在ABC中，A40，E分别在边AB，AC上，连 结CD，BE （1）若ABC80，求BDC，ABE的度数； （2）写出BEC与BDC之间的关系，并说明理由 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BDCBCD(18080)50,根据 三角形的内角定理得到ACB180405060,推出BCE是等边三角形， 得到EBC60,于是得到结论; (2)设BEC,BDC,由于 A+ABE40+ABE,根据等腰三角形的性质得 到CBEBEC,求得ABCABE+CBEA+2ABE40+ABE,推出 C
44、BEBEC,于是得到结论。 【解答】解：（1）ABC80，BDBC, BDCBCD(18080)50, A+ABC+ACB180,A40, ACB180405060, CEBC, BCE是等边三角形， EBC60, ABEABCEBC20; (2)BEC与BDC之间的关系：BEC+BDC110, 理由：设BEC,BDC, 在ABE中，A+ABE40+ABE, CEBC, CBEBEC, ABCABE+CBEA+4ABE40+ABE, CEBC, CBEBEC, ABCABE+CBEA+2ABE40+2ABE, 在BDC中，BDBC, BDC+BCD+DBC6+40+2ABE180, 70ABE
45、, +40+ABE+70ABE110, BEC+BDC110 13. （2021 重庆市重庆市A A） 在V中，ABAC，D是边BC上一动点，连接AD， 将AD ABC 绕点逆时针旋转至的位置，使得 AAEDAEBAC180 1BAC90BEACFBE ABC（1）如图 ，当时，连接，交于点若平 分， BD2AF ，求的长； （2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG猜想AG与CD存在的数量关系， 并证明你的猜想； （3）如图，在（2）的条件下，连接，若，当， 3DGCEBAC120BDCD AEC 150 BDDG 时，请直接写出的值 CE AGCD6 1 BDDG 【答案】（1）2；
46、（2），证明见解析；（3） 2 CE2 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，证明，得： CEFFHBCHVABFVHBF AFHFVFHC2 FHCFFCE，再在等腰 直角中，找到，再去证明为等腰三角 2 形，即可以间接求出的长； AF （2）作辅助线，延长至点，使，连接，在中，根据三角形 BAMAMABEMVBEF 1 AGMEADCAEM 的中位线，得出，再根据条件证明：，于是猜想得以证明； 2 （3）如图（见解析），先根据旋转的性质判断出VADE是等边三角形，再根据 ABCAEC180A,B,C,E 证出四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的 和差可得是等腰直角三角形，设
47、，从而可得 CEDE2a CDE ADa CDaBDPBAP120 2 ,2 2，根据三角形全等的判定定理与性质可得， 从而可得，根据矩形的判定与性质可得四边形是 AGDGDPAPD90AGDP BDDGACAPCP 矩形，最后根据等量代换可得，解直角三角形求 DGAP CECECE 出CP6a即可得出答案 【详解】解：（1）连接，过点作，垂足为 CEFFHBCH ABCBAC90 BE平分， FAFH ABAC ， ABCACB45， 2 FHCF 2 ， BACDAE180 ， BACDAE90 ， BADCAE ， AB=AC VACE ABDBADCAE 在和中， ADAE VV AB
48、DACE(SAS) ， BDCE2ABDACE45 ， BCE90 ， ABC BE平分， ABFCBF . AFBBEC ， AFBEFC ， BECEFC ， CEBEFC 2 AFCF= 2 2 （2） 1 AG CD 2 延长BA至点M，使AMAB，连接EM GBE 是的中点， 1 AG ME 2 BACDAEBACCAM180 ， DAECAM ， DACEAM ， ADAE 在和中， VAEM ADCDACEAM ACAM VADCVAEM(SAS) ， CDME ， 1 AG CD 2 AC,BEPDE,DP （3）如图，设交于点，连接， DAEBAC180BAC120 ， DA
49、E60 ， ADAE 由旋转的性质得：， VADE 是等边三角形， AED60,ADDE ， AEC150 ， CEDAECAED90 ， BAC120,ABAC ， 1 ABCACB(180BAC) 30 2 ， ABCAEC180 ， A,B,C,E 点四点共圆， 1 AEBACB30 AED由圆周角定理 得：， 2 1 BEAD DEBAED30 垂直平分，（等腰三角形的三线合一）， 2 AGDG,APDP,BDABAC ， ABC BE平分， 1 ABECBEABC15 ， 2 CDECBEDEB45 ， RtVCDE 是等腰直角三角形， CEDE,CD2CE ， CEDE2aAD2a
50、,CD2 2a设， 则， 1 AGCD2a 由（2）可知， 2 DGAGa 2 ， AGDG AD 222 ， VAGD90 ADG 是等腰直角三角形，且， 1 EGDAGD45 （等腰三角形的三线合一）， 2 BDGEGDCBE30 ， BDBA 在和BAP中， BDP BPBP DPAP VBDPBAP(SSS) ， BDPBAP120 ， GDPBDPBDG90CDP180BDP60 ， CPD180CDPACB90 ， AGDGDPAPD90 ， AGDP 四边形是矩形， DGAP ， RtCDPcos2 236 CPCDPCDa a在 中， 2 BDDGACAPCP6a6 则 CEC
