1、第 2 节向心力 1向心力 (1)定义：做匀速圆周运动的物体所受的总 01 指向圆心的合力。 (2)方向：始终指向 02 圆心，与 03 线速度方向垂直。 (3)对于做匀速圆周运动的物体，物体的速度大小 04 不发生改变，因此，所 受合力只改变速度的 05 方向。 (4)效果力：向心力由某个力或者几个力的合力提供，是根据力的 06 作用效 果命名的。 2向心力的大小 (1)在探究向心力大小的表达式的实验中，为了研究向心力大小与物体的质 量、速度和轨道半径的关系，运用的实验方法是 07 控制变量法；现将小球分别 放在两边的槽内，为探究小球受到的向心力大小与角速度大小的关系，做法是： 在小球运动半
2、径 08 相等(填“相等”或“不相等”)的情况下，用质量 09 相同 (填“相同”或“不相同”)的钢球做实验。 (2)向心力大小的表达式：Fn 10 m2r 或 Fn 11 mv 2 r 。 3变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 (1)变速圆周运动 变速圆周运动所受合力并不指向 12 运动轨迹的圆心，合力一般产生两个方 面的效果： 合力 F 跟圆周相切的分力 Ft，改变线速度的 13 大小，Ft与 v 同向时，线 速度 14 越来越大，反向时线速度 15 越来越小。 合力 F 指向圆心的分力 Fn，提供物体做圆周运动所需的 16 向心力，改变 线速度的 17 方向。 (2)一般曲线运动 定义
3、：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可 以看作 18 圆周运动的一部分。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时， 就可以采用 19 圆周运动的分析方法进行处理。 典型考点一对向心力的理解 1(多选)下列关于向心力的说法中，正确的是() A物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B向心力只改变做圆周运动物体的线速度的方向，不改变线速度的大小 C做匀速圆周运动物体的向心力，一定等于其所受的合力 D做匀速圆周运动物体的向心力是恒力 答案BC 解析力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而 不是因为做圆周运动才产生
4、向心力，故 A 错误；向心力始终与线速度方向垂直， 只改变线速度的方向不改变线速度的大小，故 B 正确；在匀速圆周运动中，物体 的向心力一定等于其所受的合力，但该力方向不断变化，是变力，故 C 正确，D 错误。 典型考点二向心力的来源 2(多选)如图所示，用长为 L 的细线拴住一个质量为 M 的小球，使小球在 水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为，关于小球的受力情况，下 列说法中正确的是() A小球受到重力、线的拉力和向心力三个力 B向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力 C向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量 D向心力的大小等于 Mgtan 答案BCD 解析对于匀速圆周运动
5、，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合 力，受力分析时不能再说物体受到向心力，故 A 错误，B 正确；再根据力的合成 求出合力大小，故 C、D 正确。 典型考点三实验探究向心力大小的表达式 3. 用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小 Fn与质 量 m、角速度和半径 r 之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀 速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球 对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标 尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。请回答相关问题： (1)在研究向心力的大小 Fn与质量
6、m、角速度和半径 r 之间的关系时我们主 要用到了物理学中的_。 A理想实验法B等效替代法来源:学科网 ZXXK C控制变量法D演绎法 (2)图中是在研究向心力的大小与_的关系。 A质量 mB角速度 C半径 r (3)若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为 1 9，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为() A19B31 C13D11来源:学+科+网 Z+X+X+K 答案(1)C(2)B(3)B 解析(1)研究向心力 Fn与质量 m、角速度、半径 r 的关系，需要先控制某 些量不变，研究另外两个物理量的关系，采用控制变量法，应选 C。 (2)图中所展
7、示的是两球质量相同，转动半径相同，皮带围绕在不同半径的转 轮上，其角速度不同，验证的是向心力的大小与角速度的关系，应选 B。来源:Z#xx#k.Com (3)由向心力公式 Fnm2rm v R 2r， 皮带速度 v 一定， 球的转动半径 r 相同， 两球质量 m 相同，则 FnR2常数，变速轮塔对应的半径之比为 31，应选 B。 典型考点四向心力公式的理解和应用 4(多选)如图所示，质量相等的 A、B 两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直 内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有() A线速度 vAvB B运动周期 TATB C它们受到的摩擦力 fAfB D筒壁对它们的弹力 NANB
8、 答案AD 解析因为两物体做匀速圆周运动的角速度相等，又 rArB，所以 vA rAvBrB，A 正确；因为相等，所以周期 T 相等，B 错误；因竖直方向物体 受力平衡，有 fmg，故 fAfB，C 错误；筒壁对物体的弹力提供物体做匀速圆周 运动的向心力，所以 NAmrA2NBmrB2，D 正确。 5 甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施， 它的基本装置是将绳子上端固定 在转盘的边缘上， 绳子的下端连接座椅， 人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。 若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中 P 为处于 水平面内的转盘，可绕竖直转轴 OO转动，设绳长 l10 m，质点的质量 m
9、60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离 d4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段 时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角37，不计 空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin370.6，cos370.8，g10 m/s2，求质点 与转盘一起做匀速圆周运动时： (1)绳子拉力的大小； (2)转盘角速度的大小。 答案(1)750 N(2) 3 2 rad/s 解析(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中 F 为绳子的拉力，在竖 直方向： Fcos37mg0 解得 F mg cos37750 N。 (2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心 力， 根据
10、向心力公式有 mgtan37m2r rdlsin37 联立解得 gtan37 dlsin37 3 2 rad/s。 典型考点五变速圆周运动和一般曲线运动问题 6.长沙市橘子洲湘江大桥桥东有一螺旋引桥，供行人上下桥。假设一行人沿 螺旋线自外向内运动，如图所示。已知其走过的弧长 s 与时间 t 成正比。则关于 该行人的运动，下列说法正确的是() A行人运动的线速度越来越大 B行人所受的合力大小不变 C行人运动的角速度越来越小 D行人所受的向心力越来越大 答案D 解析依题意 skt，可知该行人运动的线速度大小不变，A 错误；由微元法 将行人沿螺旋线运动的每一小段视为圆周运动的一部分，轨道半径逐渐减小
11、，其 向心力 Fnm v2 r 越来越大，线速度大小不变，在沿轨迹切线方向的分力为 0，故 所受合力即为向心力，也越来越大，B 错误，D 正确；运动的角速度v r越来越 大，C 错误。 7. 一根长为 0.8 m 的绳子，当受到 7.84 N 的拉力时被拉断。若在此绳的一端 拴一个质量为 0.4 kg 的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运 动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。g 取 9.8 m/s2，求物体运动至最低点时 的角速度和线速度的大小。 答案3.5 rad/s2.8 m/s 解析当物体运动到最低点时，物体受重力 mg、绳子拉力 FT，合力充当向 心力， 根据向心力公
12、式得 FTmgm2r， 又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子拉物体的力大小相等， 绳子被拉断时受到的拉力为 FT7.84 N， 故 FT7.84 N， 所以，绳子被拉断时物体的角速度为 FTmg mr 7.840.49.8 0.40.8 rad/s3.5 rad/s， 物体的线速度大小为 vr3.50.8 m/s2.8 m/s。 1下列关于向心力的说法中，正确的是() A物体开始做圆周运动后，过一段时间后就会受到向心力 B向心力与重力、弹力、摩擦力一样，是一种特定的力，它只有在物体做 圆周运动时才产生 C向心力既可以改变物体运动的方向，又可以改变物体运动的快慢 D向心力可以是重力、弹力、
13、摩擦力等力中某一个力，也可以是这些力中 某几个力的合力 答案D 解析物体做圆周运动的同时就会受到向心力，A 错误。向心力与重力、弹 力、摩擦力不一样，它是效果力，可以是某一个力，也可以是某几个力的合力， 也可以是某一个力的分力，B 错误，D 正确。向心力方向始终与速度方向垂直， 只改变速度的方向，不改变速度的大小，故 C 错误。 2 某质点从 a 到 c 沿曲线做加速运动， 在 b 点所受合力 F 的方向可能是() 答案D 解析质点从 a 到 c 做曲线运动，根据轨迹可知合力与运动方向不在一条直 线上，且合力的方向指向曲线内侧，A、B 图中的 F 指向曲线的外侧，故 A、B 错误；质点从 a
14、到 c 做加速曲线运动，质点所受合力在与曲线相切方向的分力与 速度方向相同，故 C 错误，D 正确。 3某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端 拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图所示)，则下 列说法中正确的是() A保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变 B保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大 C保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变 D保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小 答案B 解析由向心力的表达武 Fnm2r 可知，保持绳长不变，增大角速度，向 心力增大，绳对手的拉力将增大，A 错误，B 正确；保持角速度不变
15、，增大绳长， 向心力增大，绳对手的拉力将增大，C、D 错误。 4(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于 O 点，将其拉离竖直位置一个角度 后释放， 则小球以 O 点为圆心做圆周运动， 运动中提供小球所需向心力的是() A绳的拉力 B重力和绳拉力的合力 C重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 答案CD 解析如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心 力是指向圆心方向的合力。因此，提供小球所需向心力的可以说是小球所受合力 沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故选 C、D。 5未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带
16、来的 不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋 转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站 在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是() A旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大 B旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小 C宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大 D宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小 答案B 解析旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即 FN m2r，解得 FN mr，若宇航员受到的支持力与他站在地面上时受到的支持力 大小相等，则 FNmg，故 g r，则旋转舱的半径越大，角速度就
17、应越小，与 宇航员的质量无关，B 正确。 6质量为 m 的飞机，以速率 v 在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，空 气对飞机作用力的大小等于() Amg2v 4 R2 Bmv 2 R Cm v4 R2g 2 Dmg 答案A 解析空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的分力使飞机 克服重力作用；其二：水平方向的分力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速 圆周运动。对飞机的受力情况进行分析，如图所示。飞机受到重力 mg、空气对飞 机的作用力 F，两力的合力为 Fn，方向沿水平方向指向圆心。由题意可知，重力 mg 与 Fn垂直，故 F m2g2F2n，又 Fnmv 2 R ，联立解得 F
18、mg2v 4 R2，A 正 确。 7如图所示，物体 A、B 随水平圆盘绕轴匀速转动，物体 B 在水平方向所 受的作用力有() A圆盘对 B 及 A 对 B 的摩擦力，两力都指向圆心 B圆盘对 B的摩擦力指向圆心，A 对 B 的摩擦力背离圆心 C圆盘对 B 及 A 对 B 的摩擦力和向心力 D圆盘对 B 的摩擦力和向心力 答案B 解析以 A 为研究对象，B 对 A 的静摩擦力指向圆心，提供 A 做圆周运动 的向心力，根据牛顿第三定律，A 对 B 有背离圆心的静摩擦力；以 A、B 组成的 整体为研究对象，圆盘对 B 一定施加指向圆心的静摩擦力，以提供 A、B 整体做 圆周运动的向心力，B 正确。
19、8 如图所示， 在匀速转动的圆筒内壁上， 有一物体随圆筒一起转动而未滑动。 当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法 正确的是() A物体所受弹力增大，摩擦力也增大了来源:Zxxk.Com B物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C物体所受弹力和摩擦力都减小了 D物体所受弹力增大，摩擦力不变 答案D 解析物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力 G、筒壁对它 的弹力 FN和筒壁对它的摩擦力 f(如图所示)。其中 G 和 f 是一对平衡力，筒壁对 它的弹力 FN提供它做匀速圆周运动的向心力。 当圆筒匀速转动时， 不管其角速度 多大，只要物体随圆筒一起匀速转动而未滑
20、动，则物体所受的摩擦力 f 大小始终 等于其重力。而根据向心力公式可知 FNFnm2r，当角速度变大时，FN也变 大。故 D 正确。 9如图所示，在光滑杆上穿着两个质量分别为 m1、m2的小球，且 m12m2， 用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此 时两小球到转轴的距离 r1与 r2之比为() A11B1 2 C21D12 答案D 解析两个小球绕共同的圆心做匀速圆周运动， 它们之间的拉力互为向心力， 角速度相同。设绳的拉力大小为 FT，两球转动的角速度为，则：FTm12r1， FTm22r2，由上述两式得 r1r212，D 正确。 10. 如图所示，质量为 m
21、 的物体，沿半径为 r 的圆轨道自 A 点滑下，A 与圆 心 O 等高，滑至 B 点(B 点在 O 点正下方)时的速度为 v。已知物体与轨道间的动 摩擦因数为，求物体在 B 点所受的摩擦力大小。 答案m gv 2 r 解析物体由 A 滑到 B 的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作用，做 圆周运动。物体在 B 点的受力情况如图所示，其中轨道弹力 FN与重力 Gmg 的 合力提供物体做圆周运动的向心力，由向心力公式得 FNmgmv 2 r ，得 FNmg mv 2 r ，则滑动摩擦力为 FfFNm gv 2 r 。 11. 长为 L 的细线，拴一质量为 m 的小球，一端固定于 O 点，让小球在
22、水平 面内做匀速圆周运动，如图所示，当摆线 L 与竖直方向的夹角为时，求： (1)细线的拉力 F 大小； (2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的角速度及周期。 答案(1) mg cos (2) gLtansin (3) g Lcos 2 Lcos g 解析做匀速圆周运动的小球受力如图所示， 小球受重力 mg 和细线的拉力 F 的作用。 (1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向指 向圆心 O。 由平行四边形定则得小球受到的合力大小为 mgtan， 细线对小球的拉力大小为：F mg cos。 (2)由向心力公式得：mgtanmv 2 r ， 由几何关系得 rL
23、sin， 所以，小球做匀速圆周运动的线速度的大小为 v gLtansin。来源:Zxxk.Com (3)小球运动的角速度 v r gLtansin Lsin g Lcos， 小球运动的周期 T2 2 Lcos g 。 12. 在一根长为 L 的不计质量的细杆中点 B 和末端 C 各连一质量为 m 的小球 甲和乙， 如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点 A 转动， 将杆拉到某位置放开， 末端乙球摆到最低位置时，杆 BC 受到的拉力刚好等于乙球重力的 2 倍。重力加 速度为 g。求： (1)乙球通过最低点时的线速度大小； (2)杆 AB 段此时受到的拉力大小。 答案(1) gL(2)3.5mg 解析(1)乙球通过最低点时，FnTBCmg 故 2mgmgmv 2 乙 L 得乙球通过最低点时的线速度大小为：v乙 gL。 (2)以甲球为研究对象，甲球通过最低点时做圆周运动的向心力 FnTAB mg2mg 故 TAB3mgm v2 甲 1 2L 且 v 甲1 2v C 得杆 AB 段此时受到的拉力大小为：TAB3.5mg。
