1、1/8 素养培优课素养培优课(二二)向心力的应用和计算向心力的应用和计算 培优目标培优目标：1.通过生活实例通过生活实例，进一步理解向心力的概念和特点进一步理解向心力的概念和特点，知道向心力知道向心力 的来源。的来源。2.掌握向心力表达式，并会分析、计算向心力。掌握向心力表达式，并会分析、计算向心力。3.通过数理表达式通过数理表达式 会求解水平面内圆周运动的临界与极值问题。会求解水平面内圆周运动的临界与极值问题。 匀速圆周运动问题求匀速圆周运动问题求 解解 1匀速圆周运动的特点匀速圆周运动的特点 线速度大小不变线速度大小不变、方向时刻改变方向时刻改变；角速度角速度、周期周期、频率都恒定不变频率
2、都恒定不变；向心加向心加 速度和向心力大小都恒定不变速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变但方向时刻改变。 2求解步骤求解步骤 解决匀速圆周运动相关问题的方法就是解决动力学问题的一般方法解决匀速圆周运动相关问题的方法就是解决动力学问题的一般方法， 其解决其解决 问题的步骤也是解决动力学问题的步骤问题的步骤也是解决动力学问题的步骤， 但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些 运动学规律运动学规律， 同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面、 圆心和圆心和 半径等半径等。 3几种常见匀速圆周运动的向心力分析
3、几种常见匀速圆周运动的向心力分析 图形图形受力分析受力分析 以向心加速度方以向心加速度方 向向为为x轴正方向建轴正方向建 立坐标系立坐标系，将各力将各力 进行正交分解进行正交分解 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 和向心力公式列关和向心力公式列关 系式系式 2/8 FTcos mg FTsin m2lsin FNcos mg FNsin m2r 在水平面上在水平面上 F升 升cos mg F升 升sin m2r 在光滑水平面上在光滑水平面上 FNmAg F 拉拉 mBg mA2r 【例【例 1】如图所示如图所示，一长为一长为 L 的细绳一端固定在天花板上的细绳一端固定在天花板上，另一端与一质另
4、一端与一质 量为量为 m 的小球相连接的小球相连接。现使小球在一水平面内做匀速圆周运动现使小球在一水平面内做匀速圆周运动，此时细绳与竖此时细绳与竖 直方向的夹角为直方向的夹角为，不计空气阻力不计空气阻力，重力加速度大小为重力加速度大小为 g。 (1)求维持小球做圆周运动的向心力大小求维持小球做圆周运动的向心力大小 Fn； (2)求小球做圆周运动的线速度大小求小球做圆周运动的线速度大小 v； (3)某同学判断某同学判断，若小球的线速度增大若小球的线速度增大，细绳与竖直方向的夹角细绳与竖直方向的夹角也将增大也将增大， 3/8 但但不能等于不能等于 90。试证明当试证明当趋近于趋近于 90时时，细绳
5、对小球的拉力将趋近于无穷大细绳对小球的拉力将趋近于无穷大。 解析解析(1)小球做匀速圆周运动时受细线的拉力和重力作用小球做匀速圆周运动时受细线的拉力和重力作用， ， 由向心力的定由向心力的定 义及力的合成法则得义及力的合成法则得 FnF合 合 mgtan 。 (2)由向心力的公式得由向心力的公式得 mgtan mv 2 R ，又，又 RLsin ， 所以所以 v gLtan sin 或或 gL cos sin 。 (3)细绳对小球的拉力细绳对小球的拉力 FT mg cos ， ， 当当趋近于趋近于 90时，时，cos 趋近于趋近于 0，所以，所以 FT趋近于无穷大。趋近于无穷大。 答案答案(1
6、)mgtan (2) gLtan sin 或或 gL cos sin (3)见解析见解析 向心力是效果力向心力是效果力， 它由某一个力它由某一个力， 或某一个力的分力或某一个力的分力， 或几个力的合力提供或几个力的合力提供， 它不是性质力它不是性质力，分析物体受力时不能分析向心力分析物体受力时不能分析向心力。同时同时，还要清楚向心力的不同还要清楚向心力的不同 的表达式的表达式。 两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球， 细线上端固定在同一点细线上端固定在同一点。 若两个若两个 小球以相同的角速度小球以相同的角速度， 绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动绕共同
7、的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动， 则图中两个则图中两个 小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是() ABCD B如图所示如图所示，小球做匀速圆周运动小球做匀速圆周运动，对小球受力分析对小球受力分析，根根 据向心力的公式有据向心力的公式有 mgtan m2Lsin ， 整理得整理得 Lcos g 2， ，g 2 是常量，即两球处于同一高度，是常量，即两球处于同一高度，B 正确。正确。 4/8 圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题 关于圆周运动的临界问题关于圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源要特别注意分析物体做圆周运
8、动的向心力来源， 考虑达到临界条件时物体所处的状态考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度即临界速度、临界角速度临界角速度，然后分析该状然后分析该状 态下物体的受力特点态下物体的受力特点，结合圆周运动知识列方程求解结合圆周运动知识列方程求解。 1与绳的弹力有关的临界问题与绳的弹力有关的临界问题 此问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度此问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度或线速度)等等。 2与支持面弹力有关的临界问题与支持面弹力有关的临界问题 此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度或线速度)
9、等等。 3因静摩擦力而产生的临界问题因静摩擦力而产生的临界问题 此问题要分析出静摩擦力达最大时这一临界状态下的角速度此问题要分析出静摩擦力达最大时这一临界状态下的角速度(或线速度或线速度)等等。 【例【例 2】(多选多选)如图所示如图所示，在水平转台上放一个质量在水平转台上放一个质量 M2 kg 的木块的木块，它它 与转台间的最大静摩擦力为与转台间的最大静摩擦力为 Fmax6.0 N，绳的一端系在木块上绳的一端系在木块上，另一端通过转另一端通过转 台的中心孔台的中心孔 O(孔光滑孔光滑)悬挂一个质量悬挂一个质量 m1.0 kg 的物体的物体，当转台以角速度当转台以角速度5 rad/s 匀速转动
10、时匀速转动时， 木块相对转台静止木块相对转台静止， 则木块到则木块到 O 点的距离可以是点的距离可以是(g 取取 10 m/s2， M、m 均视为质点均视为质点)() A0.04 mB0.08 mC0.16 mD0.32 m BCD当当 M 有远离轴心运动的趋势时，有远离轴心运动的趋势时， 有有 mgFmaxM2rmax， 解得解得 rmaxmg Fmax M2 0.32 m， 当当 M 有靠近轴心运动的趋势时，有靠近轴心运动的趋势时， 有有 mgFmaxM2rmin， 解得解得 rminmg Fmax M2 0.08 m。故选项。故选项 B、C、D 正确。正确。 静摩擦力产生的临界情况静摩擦
11、力产生的临界情况 在水平转台上做圆周运动的物体在水平转台上做圆周运动的物体， 若有静摩擦力参与若有静摩擦力参与， 则当转台的转速变化则当转台的转速变化 5/8 时时，静摩擦力也会随之变化静摩擦力也会随之变化，当当 F 静静达到最大值时 达到最大值时，对应有临界角速度和临界线对应有临界角速度和临界线 速度速度。 解决这类问题一定要牢记解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围静摩擦力大小有个范围、 方向可以改变方向可以改变”这一这一 特点。特点。 跟进训练跟进训练 如图所示如图所示，表面粗糙的水平圆盘上表面粗糙的水平圆盘上，叠放着质量相等的叠放着质量相等的 A、B 两物块两物块，且且 A、 B
12、 随圆盘一起做匀速圆周运动随圆盘一起做匀速圆周运动(最大静摩擦力等于滑动摩擦力最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，则下列说法正确则下列说法正确 的是的是() AB 受到的向心力是受到的向心力是 A 受到的向心力的受到的向心力的 2 倍倍 B圆盘对圆盘对 B 的摩擦力是的摩擦力是 B 对对 A 的摩擦力的的摩擦力的 2 倍倍 CA 有沿半径方向向外滑动的趋势有沿半径方向向外滑动的趋势，B 有沿半径方向向内滑动的趋势有沿半径方向向内滑动的趋势 D若若 B 先滑动先滑动，则则 A、B 之间的动摩擦因数之间的动摩擦因数A小于小于 B 与圆盘之间的动摩与圆盘之间的动摩 擦因数擦因数B B由题意可知由题意可知，
13、两物块的角速度大小相等两物块的角速度大小相等、质量相等质量相等，则两物块受到的向则两物块受到的向 心力大小相等，选项心力大小相等，选项 A 错误；错误；B 受到圆盘的摩擦力受到圆盘的摩擦力 F12m2r，B 对对 A 的摩擦的摩擦 力力 F2m2r1 2F 1，选项，选项 B 正确；正确；A 和和 B 都有沿半径方向向外滑动的趋势，选都有沿半径方向向外滑动的趋势，选 项项 C 错误错误； 若若 B 先滑动先滑动， 则则B2mg2m2r， Amgm2r， 解得解得B 2r g ， A 2r g ， AB，选项，选项 D 错误。错误。 1如图所示如图所示，质量相等的小球质量相等的小球 A、B 分别
14、固定在轻杆的中点及端点分别固定在轻杆的中点及端点， ，当轻当轻 杆在光滑的水平面上绕杆在光滑的水平面上绕 O 点匀速转动时点匀速转动时，求轻杆的求轻杆的 OA 段及段及 AB 段对段对 A、B 两球两球 的拉力的拉力 FT1与与 FT2之比为之比为() A11B21C32D23 6/8 C由题可知由题可知 A、B 两球的角速度两球的角速度相同。对相同。对 A、B 分别进行受力分析，如分别进行受力分析，如 图所示图所示，其中其中 FT1是杆是杆 OA 段对球段对球 A 的拉力的拉力，FT2是杆是杆 AB 段对球段对球 A 的拉力的拉力，FT2 是杆是杆 AB 段对球段对球 B 的拉力。的拉力。
15、对对 A 球，有球，有 FT1FT2mA2r1， 对对 B 球，有球，有 FT2mB2r2， 因因 mAmB，r22r1，FT2FT2， 则联立以上各式解得则联立以上各式解得 FT1FT232，C 正确。正确。 2如图所示如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔，用一细绳穿过用一细绳穿过 小孔连接质量分别为小孔连接质量分别为 m1、m2的小球的小球 A 和和 B，让让 B 球悬挂球悬挂，A 球在光滑的圆盘面球在光滑的圆盘面 上绕圆盘中心做匀速圆周运动上绕圆盘中心做匀速圆周运动，角速度为角速度为，半径为半径为 r，则下列关于则下列关于 r 和和关系的
16、关系的 图像可能正确的是图像可能正确的是() AB CD B根据根据 m2gm1r2得得 rm2g m1 1 2，可知 ，可知 r 与与 1 2成正比，与 成正比，与2成反比，成反比，故故 A 错误，错误，B 正确；因为正确；因为1 r m1 m2g 2，则 ，则1 r与 与2成正比，故成正比，故 C、D 错误。错误。 3如图所示如图所示，将完全相同的两小球将完全相同的两小球 A、B 用长为用长为 L0.8 m 的细绳悬于以速的细绳悬于以速 度度 v4 m/s 向右运动的小车顶部向右运动的小车顶部，两小球分别与小车前两小球分别与小车前、后竖直壁接触后竖直壁接触，由于由于 7/8 某种原因某种原
17、因，小车突然停止小车突然停止，此时悬线所受拉力之比此时悬线所受拉力之比 FBFA为为(g10 m/s2)() A11B12 C13D14 C当车突然停下时，当车突然停下时，B 不动，绳对不动，绳对 B 的拉力仍等于小球的重力；的拉力仍等于小球的重力；A 向右向右 摆动做圆周运动摆动做圆周运动，突然停止时突然停止时，A 点所处的位置为圆周运动的最低点点所处的位置为圆周运动的最低点，由此可以由此可以 算出此时绳对算出此时绳对 A 的拉力为的拉力为 FAmgmv 2 L 3mg，所以所以 FBFA13，选项选项 C 正正 确。确。 4如图所示如图所示，在水平圆盘上放有质量相同的滑块在水平圆盘上放有质
18、量相同的滑块 1 和滑块 和滑块 2，圆盘可绕垂圆盘可绕垂 直圆盘的中心轴直圆盘的中心轴 OO转动转动。两滑块与圆盘的动摩擦因数相同两滑块与圆盘的动摩擦因数相同，均为均为，最大静摩最大静摩 擦力认为等于滑动摩擦力擦力认为等于滑动摩擦力。两滑块与轴两滑块与轴 O 共线共线，且滑块且滑块 1 到转轴的距离为到转轴的距离为 r，滑滑 块块 2 到转轴的距离为到转轴的距离为 2r，现将两个滑块用轻质细线相连现将两个滑块用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无保持细线伸直且恰无 张力张力。当圆盘从静止开始转动当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大角速度极其缓慢地增大，针对这个过程针对这个过程，求解下求解下
19、 列问题：列问题： (1)求轻绳刚有拉力时圆盘的角速度；求轻绳刚有拉力时圆盘的角速度； (2)求当圆盘角速度为求当圆盘角速度为 g r 时时，滑块滑块 1 受到的摩擦力受到的摩擦力。 解析解析(1)轻绳刚有拉力时，滑块轻绳刚有拉力时，滑块 2 与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力， 则由牛顿第二定律：则由牛顿第二定律：mgmv202r 解得解得0 g 2r。 。 (2)当圆盘角速度为当圆盘角速度为 g r g 2r， ，此时滑块此时滑块 2 与转盘间的摩擦力是最大与转盘间的摩擦力是最大 静摩擦力，则静摩擦力，则 对滑块对滑块 2：Tmgm22r 对滑块对滑块 1：Tf1m2r 解得解得 f10。 8/8 答案答案(1) g 2r (2)摩擦力为摩擦力为 0
