1、5.实验：用单摆测量重力加速度实验：用单摆测量重力加速度 实验目标实验目标1.明确用单摆测定重力加速度的原理和方法明确用单摆测定重力加速度的原理和方法2.学会用单摆测当地学会用单摆测当地 的重力加速度的重力加速度，学会减小实验误差的方法学会减小实验误差的方法3.知道如何选择实验器材知道如何选择实验器材，能熟练地使用能熟练地使用 秒表秒表 一、实验一、实验原理原理 单摆在偏角很小单摆在偏角很小(小于小于 5)时时，可看成简谐运动可看成简谐运动，其周期其周期 T2 l g， ，可得可得 g4 2l T2 . 据此据此，通过实验测出摆长通过实验测出摆长 l 和周期和周期 T，即可计算得到当地的重力加
2、速度即可计算得到当地的重力加速度 二、实二、实验器材验器材 铁架台及铁夹铁架台及铁夹、金属小球金属小球(上面有一个通过球心的小孔上面有一个通过球心的小孔)、秒表秒表、细线细线(长长 1 m 左右左右)、 刻度尺刻度尺(最小刻度为最小刻度为 mm)、游标卡尺游标卡尺 三、实三、实验步骤验步骤 (1)让细线穿过球上的小孔让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆制成一个单摆 (2)将小铁夹固定在铁架台上端将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外使铁夹伸出桌面之外，然然 后把单摆上端固定在铁夹上后把单
3、摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂使摆球自由下垂 (3)用刻度尺量出悬线长用刻度尺量出悬线长 l，用游标卡尺测出摆球直径用游标卡尺测出摆球直径 d，然后计算出悬点到球心然后计算出悬点到球心 的距离的距离 lld 2即摆长 即摆长 (4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于并使这个角小于 5，再释放小球再释放小球当摆球当摆球 摆动稳定以后摆动稳定以后，在最低点位置时在最低点位置时，用秒表开始计时用秒表开始计时，测量单摆全振动测量单摆全振动 30 次次(或或 50 次次)的的 时间时间，然后求出一次全振动的时间然后求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期即单摆
4、的振动周期 (5)改变摆长改变摆长，重做几次重做几次 (6)根据单摆的周期公式根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出几次实验得到的重计算出每次实验的重力加速度；求出几次实验得到的重 力加速度的平均值力加速度的平均值，即本地区的重力加速度的值即本地区的重力加速度的值 (7)将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，如有误差如有误差，分析产分析产 生误差的原因生误差的原因 四四、数据处理数据处理 (1)公式法公式法：根据公式根据公式 g4 2n2l t2 ，将每次实验的将每次实验的 l、n、t 数值代入数值代入，计算重力加速
5、计算重力加速度度 g，然后取平均值然后取平均值 (2)图像法图像法：作出作出 T2l 图像图像，由由 T24 2l g 可知可知 T2l 图线是一条过原点的直线图线是一条过原点的直线，其斜其斜率率 k4 2 g ，求出求出 k，可得可得 g4 2 k . 五五、误差分析误差分析 (1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定即悬点是否固定；球球、 线是否符合要求线是否符合要求； 振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长 等等等等 (2)本实验偶
6、然误差主要来自时间本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期即单摆周期)的测量上的测量上要从摆球通过平衡位置开要从摆球通过平衡位置开 始计时始计时，并采用倒数计时计数的方法并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数不能多记或漏记振动次数为了减小偶然误差为了减小偶然误差， 进行多次测量后取平均值进行多次测量后取平均值 (3)本实验中在长度本实验中在长度(摆线长摆线长、摆球的直径摆球的直径)的测量时的测量时，读数读到毫米即可读数读到毫米即可(即使用游即使用游 标卡尺测摆球直径也只需读到毫米标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒表读数的有效数
7、字的末位在 秒的十分位即可秒的十分位即可 六六、注意事项注意事项 (1)摆线要选摆线要选 1 m 左右左右，不要过长或过短不要过长或过短，太长测量不方便太长测量不方便，太短摆动太快太短摆动太快，不易不易 计数计数 (2)摆长要悬挂好摆球后再测摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发因为悬挂摆球后细绳会发 生形变生形变 (3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长不要把摆线长当作摆长 (4)摆球要选体积小摆球要选体积小、密度大的密度大的，不要选体积大不要选体积大、密度小的密度小的，这样可以减小空气阻这
8、样可以减小空气阻 力的影响力的影响 (5)摆角要小于摆角要小于 5(具体实验时可以小于具体实验时可以小于 15)，不要过大不要过大，因为摆角过大因为摆角过大，单摆的振单摆的振 动不再是简谐运动动不再是简谐运动，公式公式 T2 l g就不再适用 就不再适用 (6)单摆要在竖直平面内摆动单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆不要使之成为圆锥摆 (7)要从平衡位置计时要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时不要从摆球到达最高点时开始计时 (8)要准确记好摆动次数要准确记好摆动次数，不要多记或少记不要多记或少记. 【例【例 1】甲甲、乙两个学习小组分别利用单摆测定重力加速度乙两个学习小组分
9、别利用单摆测定重力加速度 (1)甲组同学采用图甲所示的实验装置甲组同学采用图甲所示的实验装置 为比较准确地测量出当地重力加速度的数值为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外除秒表外，在下列器材中在下列器材中，还应该还应该 选用选用_(用器材前的字母表示用器材前的字母表示) a长度接近长度接近 1 m 的细绳的细绳 b长度为长度为 30 cm 左右的细绳左右的细绳 c直径为直径为 1.8 cm 的塑料球的塑料球 d直径为直径为 1.8 cm 的铁球的铁球 e最小刻度为最小刻度为 1 cm 的米尺的米尺 f最小刻度为最小刻度为 1 mm 的米尺的米尺 该组同学先测出悬点到小球球心的距离该组
10、同学先测出悬点到小球球心的距离 l，然后用秒表测出单摆完成然后用秒表测出单摆完成 n 次全振动次全振动 所用的时间所用的时间 t.请写出重力加速度的表达式请写出重力加速度的表达式 g_.(用所测物理量表示用所测物理量表示) (2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示如图乙所示将摆将摆 球拉开一小角度使其做简谐运动球拉开一小角度使其做简谐运动， 速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的 关系关系，如图丙所示的如图丙所示的 vt 图线图线 由图丙可知由图丙可知，该单摆的周
11、期该单摆的周期 T_s. 更换摆线长度后更换摆线长度后，多次测量多次测量，根据实验数据根据实验数据，利用计算机作出利用计算机作出 T2l(周期二次方周期二次方 摆长摆长)图像图像， 并根据图像拟合得到方程并根据图像拟合得到方程 T24.04l0.035.由此可以得出当地的重力加速由此可以得出当地的重力加速度度 g_m/s2.(取取29.86，结果保留三位有效数字结果保留三位有效数字) 解析解析(1)根据根据 T2 l g得 得 g4 2l T2 ， 则可知要准确地测量出当地的重力加速度则可知要准确地测量出当地的重力加速度 需要测量摆长需要测量摆长，摆长等于摆线的长度和摆球的半径之和摆长等于摆线
12、的长度和摆球的半径之和，所以选择长度近所以选择长度近 1 m 的细绳的细绳， 直径为直径为 1.8 cm 的铁球的铁球，需要测量摆线长需要测量摆线长，所以需要最小刻度为所以需要最小刻度为 1 mm 的米尺的米尺，故选故选 a、 d、f. 因为因为 T t n， ，则则 g4 2n2l t2 . (2)根据单摆振动的根据单摆振动的 vt 图像知图像知，单摆的周期单摆的周期 T2.0 s. 根据根据 T2 l g得 得 T24 2l g . 图线的斜率：图线的斜率：k4 2 g 4.04 s2/m， 解得：解得：g9.76 m/s2. 答案答案(1)adf4 2n2l t2 (2)2.09.76
13、【例【例 2】用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示 (1)组装单摆时组装单摆时，应在下列器材中选用应在下列器材中选用_(选填选项前的字母选填选项前的字母) A长度为长度为 1 m 左右的细线左右的细线 B长度为长度为 30 cm 左右的细线左右的细线 C直径为直径为 1.8 cm 的塑料球的塑料球 D直径为直径为 1.8 cm 的铁球的铁球 (2)测出悬点测出悬点 O 到小球球心的距离到小球球心的距离(摆长摆长)L 及单摆完成及单摆完成 n 次全振动所用的时间次全振动所用的时间 t，则则 重力加速度重力加速度 g_(用用 L、n、t 表示表示) (3)下
14、表是某同学记录的下表是某同学记录的 3 组实验数据组实验数据，并作了部分计算处理并作了部分计算处理 组次组次123 摆长摆长 L/cm80.0090.00100.00 50 次全振动时间次全振动时间 t/s90.095.5100.5 振动周期振动周期 T/s1.801.91 重力加速度重力加速度 g/(ms 2) 9.749.73 请计算出第请计算出第 3 组实验中的组实验中的 T_s，g_m/s2. (4)用多组实验数据作出用多组实验数据作出 T2L 图像图像，也可以求出重力加速度也可以求出重力加速度 g.已知三位同学作出已知三位同学作出的的 T2L 图线的示意图如图中的图线的示意图如图中的
15、 a、b、c 所示所示，其中其中 a 和和 b 平行平行，b 和和 c 都过原点都过原点，图线图线 b 对应的对应的 g 值最接近当地重力加速度的值值最接近当地重力加速度的值则相对于图线则相对于图线 b，下列分析正确的是下列分析正确的是 _(选填选项前的字母选填选项前的字母) A出现图线出现图线 a 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长 L B出现图线出现图线 c 的原因可能是误将的原因可能是误将 49 次全振动记为次全振动记为 50 次 次 C图线图线 c 对应的对应的 g 值小于图线值小于图线 b 对应的对应的 g 值值 (5)某同学在家
16、里测重力加速度某同学在家里测重力加速度他找到细线和铁锁他找到细线和铁锁，制成制成一 个一 个 单摆单摆，如图所示如图所示由于家里只有一根量程为由于家里只有一根量程为 30 cm 的刻度尺的刻度尺于于是 他是 他 在细线上的在细线上的 A 点做了一个标记点做了一个标记，使得悬点使得悬点 O 到到 A 点间的细线长点间的细线长度 小度 小 于刻度尺量程于刻度尺量程保持该标记以下的细线长度不变保持该标记以下的细线长度不变，通过改变通过改变 O、A间间 细线长度以改变摆长细线长度以改变摆长实验中实验中，当当 O、A 间细线的长度分别为间细线的长度分别为 l1、l2时时，测得相应单摆测得相应单摆 的周期
17、为的周期为 T1、T2.由此可得重力加速度由此可得重力加速度 g_(用用 l1、l2、T1、T2表示表示) 思路点拨思路点拨：该题全面考查了重力加速度的测量该题全面考查了重力加速度的测量、数据的处理以及误差的分析数据的处理以及误差的分析，要掌要掌 握单摆的周期公式握单摆的周期公式，从而求解重力加速度从而求解重力加速度、摆长摆长、周期等物理量之间的关系周期等物理量之间的关系 解析解析(1)单摆模型需要满足的条件是摆线的长度远大于小球直径单摆模型需要满足的条件是摆线的长度远大于小球直径，小球的密度越小球的密度越 大越好大越好，这样可以忽略空气阻力这样可以忽略空气阻力(2)周期周期 T t n， ，
18、结合结合 T2 L g， ，可得可得 g4 2n2L t2 .(3) 周期周期 T t n 100.5 s 50 2.01 s，由由 T2 L g， ，解得解得 g9.76 m/s2.(4)由由 T2 L g， ，两边两边 平方后可知平方后可知 T2L 是过原点的直线是过原点的直线，b 为正确的图线为正确的图线，a 与与 b 相比相比，周期相同时周期相同时，摆长更短摆长更短，说明说明 a 对应测量的摆长偏小对应测量的摆长偏小； c 与与 b 相比相比， 摆长相同时摆长相同时， 周期偏小周期偏小， 可能是多记录了振动次数可能是多记录了振动次数 (5) 设设 A 到铁锁重心的距离为到铁锁重心的距离
19、为 l，则第则第 1、2 次的摆长分别为次的摆长分别为 ll1、ll2，由由 T12 ll1 g ， T22 ll2 g ，联立解得：联立解得：g4 2 l1 l2 T21T22 . 答案答案(1)AD(2)4 2n2L t2 (3)2.019.76(4)B(5)4 2 l1 l2 T21T22 用图像法处理实验数据的技巧用图像法处理实验数据的技巧 用图像法处理数据既直观又方便用图像法处理数据既直观又方便， 同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造 成的影响成的影响由于由于 TL 的图像不是直线的图像不是直线，不便于进行数据处理不便于进行数据处理，所
20、以采用所以采用 T2L 的图像的图像， 目的是为了将曲线转换为直线目的是为了将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度便于利用直线的斜率计算重力加速度 1利用单摆测重力加速度时利用单摆测重力加速度时，若测得若测得 g 值偏大值偏大，则可能是因为则可能是因为() A单摆的摆锤质量偏大单摆的摆锤质量偏大 B测量摆长时测量摆长时，只考虑了悬线长只考虑了悬线长，忽略了小球的半径忽略了小球的半径 C测量周期时测量周期时，把把 n 次全振动误认为是次全振动误认为是(n1)次全振动 次全振动 D测量周期时测量周期时，把把 n 次全振动误认为是次全振动误认为是(n1)次全振动次全振动 C由单摆周期公式
21、知由单摆周期公式知 T2 l g， ，g4 2l T2 ，而而 T t n， ，所以所以 g4 2ln2 t2 ，由此可由此可知知 C 项正确项正确 2.在在“利用单摆测定重力加速度利用单摆测定重力加速度”的实验中的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到由单摆做简谐运动的周期公式得到 g 4 2l T2 .只要测出多组单摆的摆长只要测出多组单摆的摆长 l 和运动周期和运动周期 T，作出作出 T2l 图像图像，就可以求出当地的重就可以求出当地的重 力加速度力加速度理论上理论上 T2l 图像是一条过坐标原点的直线图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像某同学根据实验数据作出的图像
22、如图所示如图所示 (1)造成图像不过坐标原点的原因可能是造成图像不过坐标原点的原因可能是_ (2)由图像求出的重力加速度由图像求出的重力加速度 g_ m/s2.(2取取 9.87) 解析解析(1)既然所画既然所画 T2l 图像与纵坐标有正截距图像与纵坐标有正截距，这就表明这就表明 l 的测量值与真实值相的测量值与真实值相 比偏小了比偏小了，则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径(2)图像的斜率图像的斜率 k4 2 g 4 s2/m，则则 g4 2 k 9.87 m/s2. 答案答案(1)测摆长时漏掉了摆球半径测摆长时漏掉了摆球半径 (2)9.87 3某同学利用单摆
23、测量重力加速度某同学利用单摆测量重力加速度 (1)(多选多选)为了使测量误差尽量小为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是下列说法正确的是() A组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B组装单摆须选用轻且不易伸长的细线组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C实验时须使摆球在同一竖直面内摆动实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D摆长一定的情况下摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大摆的振幅尽量大 (2)如图所示如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约 1 m 的单摆的单摆实验时实验时，由于由于 仅有量程为仅有量程为 20 cm、精度为精
24、度为 1 mm 的钢板刻度尺的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂于是他先使摆球自然下垂，在竖直立在竖直立 柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期测出单摆的周期 T1；然后保持；然后保持 悬点位置不变悬点位置不变，设法将摆长缩短一些设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上用同样方法在竖直立柱上 做另一标记点做另一标记点，并测出单摆的周期并测出单摆的周期 T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上的两标记点；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上的两标记点 之间的距离之间的距离L.用上述测量结果用上述测
25、量结果，写出重力加速度的表达式写出重力加速度的表达式 g_. 解析解析(1)为了减小实验误差为了减小实验误差，应选用密度大应选用密度大、体积小的摆球体积小的摆球， ，A 项错误项错误；摆线应摆线应 选用不易伸缩的细线选用不易伸缩的细线，B 项正确项正确；实验时摆球应在同一竖直面内摆动实验时摆球应在同一竖直面内摆动，而不能做成圆锥而不能做成圆锥 摆摆，C 项正确项正确；摆长一定的情况下摆长一定的情况下，偏角不能超过偏角不能超过 5，因此摆的振幅不能过大因此摆的振幅不能过大，D 项错项错 误误 (2)设单摆周期为设单摆周期为 T1时时，单摆的摆长为单摆的摆长为 L，由单摆周期公式得由单摆周期公式得
26、 T12 L g， ，T2 2 LL g ，解得解得 g 42L T21T22. 答案答案(1)BC(2) 42L T21T22 4某同学在一次用单摆测重力加速度的实验中某同学在一次用单摆测重力加速度的实验中，测量测量 5 种不同摆长与单摆的振动种不同摆长与单摆的振动 周期的对应情况周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图所示的坐标系中并将记录的结果描绘在如图所示的坐标系中图中各坐标点的标号分图中各坐标点的标号分 别对应实验中别对应实验中 5 种不同摆长的情况种不同摆长的情况在处理数据时在处理数据时，该同学实验中的第该同学实验中的第_数据点数据点 应当舍弃应当舍弃画出该同学记录的画出该同学记录
27、的 T2l 图线图线求重力加速度时求重力加速度时，他首先求出图线的斜率他首先求出图线的斜率 k， 则用斜率则用斜率 k 求重力加速度的表达式为求重力加速度的表达式为 g_. 解析解析将图中各点连线如图所示将图中各点连线如图所示，可见第可见第 4 点偏离直线较远点偏离直线较远， ，则该点误差较大则该点误差较大， 所以第所以第 4 数据点应舍去；数据点应舍去； 在在 T2l 图线中直线的斜率为图线中直线的斜率为 kT 2 l ，由由 T2 l g得 得 g4 2l T2 ，则则 g4 2l T2 4 2 k . 答案答案4 42 k 5某同学在某同学在“利用单摆测重力加速度利用单摆测重力加速度”
28、”的实验中的实验中，先测得摆线长为先测得摆线长为 97.50 cm，摆摆 球直径为球直径为 2.00 cm，然后用停表记录了单摆振动然后用停表记录了单摆振动 50 次所用的时间次所用的时间，如图所示如图所示，则：则： (1)该单摆摆长为该单摆摆长为_cm，停表的示数为停表的示数为_s. (2)如果他测得的如果他测得的 g 值偏小值偏小，可能的原因是可能的原因是_ A测摆线长时摆线拉得过紧测摆线长时摆线拉得过紧 B摆线上端未牢固地系于悬点摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动振动中出现松动，使摆线长度增加了使摆线长度增加了，使周期变使周期变 大了大了 C开始计时时开始计时时，停表过迟按下停表过
29、迟按下 D实验中误将实验中误将 49 次全振动次数记为次全振动次数记为 50 次次 (3)为了提高实验精度为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长在实验中可改变几次摆长 l 并测出相应的周期并测出相应的周期 T，从而得出从而得出 几组对应的几组对应的 l 与与 T 的数据的数据，然后建立以然后建立以 l 为横坐标为横坐标、T2为纵坐标的直角坐标系为纵坐标的直角坐标系，根据数根据数 据描点并连成直线据描点并连成直线，如图所示如图所示求得该直线的斜率为求得该直线的斜率为 k，则重力加速度则重力加速度 g_.(用用 k 表示表示) 解析解析(1)摆长摆长 lld 2 98.50 cm，t99.8 s. (2)由单摆周期公式由单摆周期公式 T2 l g， ，得得 g 42l t n 2， ，所以所以 l 偏大偏大，则则 g 偏大；偏大；t 偏小偏小，则则 g 偏大；偏大；t 偏大偏大，则则 g 偏小；偏小；n 偏大偏大，则则 g 偏大偏大故选项故选项 B 正确正确 (3)由单摆周期公式可得由单摆周期公式可得 T24 2l g ，那么图中直线斜率那么图中直线斜率 k4 2 g ，所以所以 g4 2 k . 答案答案(1)98.5099.8(2)B(3)4 2 k
